牛頓385、拉格朗日中值公式給出了函數(shù)增量Δy的精確表達(dá)式

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拉格朗日中值定理（百度百科）：…

…定、理、定理：見(jiàn)《歐幾里得2》…

（…《歐幾里得》：小說(shuō)名…）

…拉格朗日中值定理：見(jiàn)《牛頓376~384》…

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定理表述

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如果函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：

（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；

那么在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b）使等式f（b）-f（a）=f’（ξ）（b-a）?成立。

…函、數(shù)、函數(shù)：見(jiàn)《歐幾里得52》…

…連、續(xù)、連續(xù)：見(jiàn)《歐幾里得44》…

…可導(dǎo)：若f（x）在x0處連續(xù)，則當(dāng)a趨向于0時(shí)，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在極限，則稱(chēng)f（x）在x0處可導(dǎo)…見(jiàn)《牛頓360》…

…ξ：大寫(xiě)Ξ，小寫(xiě)ξ，是第14個(gè)希臘字母，中文音譯：克西。

小寫(xiě)ξ用于：數(shù)學(xué)上的隨機(jī)變量…

?（“a=x，b=x+△x時(shí)，就變成了下面這種形式?！爆F(xiàn)代學(xué)者說(shuō)。）

拉格朗日中值定理的其他形式

…形、式、形式：見(jiàn)《歐幾里得13》…

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記ξ=x+θ△x（0＜θ＜1），則有

△y=f（x+△x）-f（x）=f’（x+θ△x）·△x=f’（ξ）△x（0＜θ＜1）

上式稱(chēng)為有限增量公式。（“上式給出了自變量取得的有限增量△x時(shí)，函數(shù)增量△y的精確表達(dá)式，因此也叫有限增量公式?！爆F(xiàn)代學(xué)者說(shuō)。）

…θ：第8個(gè)希臘字母。大寫(xiě)Θ，小寫(xiě)θ。音標(biāo)/'θi:t?/，英文theta，漢語(yǔ)名稱(chēng)西塔…

…△：讀音是“德?tīng)査?。音?biāo)為/delt?/。

在物理學(xué)中，△常常作為變量的前綴使用，表示該變量的變化量，如：△t（時(shí)間變化量）、△T（溫度變化量）、△X（位移變化量）、△v（速度變化量）等等…見(jiàn)《牛頓8》…

?我們知道函數(shù)的微分dy=f’（x）△x是函數(shù)的增量Δy的近似表達(dá)式，一般情況下只有當(dāng)|Δx|很小的時(shí)候，dy和Δy之間的近似度才會(huì)提高；

而有限增量公式卻給出了當(dāng)自變量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很?。r(shí)，函數(shù)增量Δy的精確表達(dá)式，這就是該公式的價(jià)值所在。

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[如果函數(shù)的增量Δy=f（x + Δx）—f（x）可表示為Δy= AΔx+o（Δx）（其中A是不隨Δx改變的常量，但A可以隨x改變），而o（Δx）是比Δx高階的無(wú)窮小，那么稱(chēng)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x是可微的，且AΔx稱(chēng)作函數(shù)在點(diǎn)x相應(yīng)于因變量增量Δy的微分，記作dy，即dy = AΔx。

…o：英文名Omicron（大寫(xiě)Ο，小寫(xiě)ο），是第十五個(gè)希臘字母。

小寫(xiě)ο用于：高階無(wú)窮小函數(shù)…

（…階，無(wú)、窮、無(wú)窮，小，無(wú)窮小，高階無(wú)窮?。阂?jiàn)《牛頓280~282》…）

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函數(shù)的微分是函數(shù)增量的主要部分，且是Δx的線(xiàn)性函數(shù)，故說(shuō)函數(shù)的微分是函數(shù)增量的線(xiàn)性主部（△x→0）。

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通常把自變量x的增量Δx稱(chēng)為自變量的微分，記作dx，即dx=Δx。于是函數(shù)y=f（x）的微分又可記作dy=f'（x）dx。

——《牛頓331》]

“怎么通俗地理解有限增量公式？——網(wǎng)友提問(wèn)

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