牛頓329、微分的實(shí)際意義：計(jì)算復(fù)雜函數(shù)的微小變化量

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微分到底是什么意思？實(shí)際意義是什么？——網(wǎng)友提問(wèn)

…微、分、微分：見(jiàn)《牛頓321~327》…

…意、義、意義：見(jiàn)《歐幾里得26》…

（…《歐幾里得》：小說(shuō)名…）

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Alphacalculus（發(fā)布于 2016-11-30，210人贊同了該回答）：

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一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，自變量有微小的變化量，比如0.003，求函數(shù)的變化量是多少，也就是求函數(shù)的微分。

…復(fù)、雜、復(fù)雜：見(jiàn)《歐幾里得133》…

…函、數(shù)、函數(shù)：見(jiàn)《歐幾里得52》…

…量：見(jiàn)《歐幾里得27》…

…自變量：見(jiàn)《牛頓43》…

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微分就是微小的部分，微小的變化量；復(fù)雜函數(shù)意味著里面可能有x^2，ln x，…等很難計(jì)算的函數(shù)，所以通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出微分。

…^：乘方…

…x^2：x的平方…

…導(dǎo)、數(shù)、導(dǎo)數(shù)：見(jiàn)《牛頓288~294》…

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比如函數(shù)y=x^2，導(dǎo)數(shù)dy/dx=2x，dy=2xdx，△y=2x△x，在x=2時(shí)，代入△x=0.003就能計(jì)算出此時(shí)函數(shù)的微小變化量。

…計(jì)、算、計(jì)算：見(jiàn)《歐幾里得157》…

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精選評(píng)論：

2020-11-06，小妖君：這才是真正的回答者，上面那些炫技的說(shuō)到底還是自私。（9贊）

Kuiper（編輯于2018-11-22，15人贊同了該回答）：

微分是一個(gè)小量，具體可視為一個(gè)小常量、或一個(gè)具有無(wú)窮小性的小變量。

…具、體、具體：見(jiàn)《牛頓123》…

…常、量、常量：見(jiàn)《牛頓64》…

…無(wú)、窮、無(wú)窮，小，無(wú)窮?。阂?jiàn)《牛頓280》…

…性：1.物質(zhì)所具有的性能；物質(zhì)因含有某種成分而產(chǎn)生的性質(zhì)：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動(dòng)詞或形容詞之后構(gòu)成抽象名詞或?qū)傩栽~，表示事物的某種性質(zhì)或性能：黨～。紀(jì)律～。創(chuàng)造～。適應(yīng)～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見(jiàn)《歐幾里得10》…

…變、量、變量：見(jiàn)《歐幾里得29》…

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無(wú)窮小是量的一種性質(zhì)而非量本身，要盡量說(shuō)某變量具有無(wú)窮小性，而非某量是無(wú)窮小量。

…性、質(zhì)、性質(zhì)：見(jiàn)《歐幾里得37》…

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微分小量一般是小常量，只在考察其具有的“無(wú)窮小性”時(shí)才將其視為變量。

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[已注銷]（編輯于2020-11-02，22人贊同了該回答）：

總感覺(jué)高贊說(shuō)的都不是人（小學(xué)生能看懂的）話，都是長(zhǎng)篇大論的文言文，都不是我想要的答案。

這種問(wèn)題對(duì)于初學(xué)者最好的回答就是，能用最簡(jiǎn)單的幾句話，一個(gè)例子，就能讓對(duì)數(shù)學(xué)一竅不通，一點(diǎn)不懂的人，一眼就都能明白微分是干啥的，我為啥要學(xué)，學(xué)了它能干啥。

…簡(jiǎn)、單、簡(jiǎn)單：見(jiàn)《伽利略13》…

…數(shù)、學(xué)、數(shù)學(xué)：見(jiàn)《歐幾里得49》…

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碰巧看到了一段用人話說(shuō)明微分意義的片段，附上來(lái)分享一下：

…說(shuō)、明、說(shuō)明：見(jiàn)《歐幾里得149》…

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微分可以得知函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)的斜率，也可以了解函數(shù)在瞬間的變化。

…斜、率、斜率：見(jiàn)《牛頓289》…

…變、化、變化：見(jiàn)《伽利略10》…

（…《伽利略》：小說(shuō)名…）

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只這么說(shuō)可能不太好理解，我們來(lái)看一個(gè)具體的例子。

請(qǐng)想象一下開車行駛在大街上的場(chǎng)景。

設(shè)橫軸為經(jīng)過(guò)時(shí)間、縱軸為行駛距離，那么下圖應(yīng)該可以表現(xiàn)二者的關(guān)系。

…關(guān)、系、關(guān)系：見(jiàn)《歐幾里得75》…

從圖中可以看出，車輛在40s內(nèi)大約行駛了120m，所以用下述表達(dá)式可以很快地計(jì)算出這一期間的行駛速度。

…計(jì)、算、計(jì)算：見(jiàn)《歐幾里得157》…

…速、度、速度：見(jiàn)《伽利略3》…

120m/40s=3m/s

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不過(guò)這是平均速度，車輛并沒(méi)有一直保持3m/s的速度。

從圖中也可以看出，車輛在剛發(fā)動(dòng)時(shí)速度較慢，緩緩前進(jìn)，而在因紅燈而停止時(shí)速度變?yōu)?，完全不動(dòng)了。

就像這樣，一般來(lái)說(shuō)各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的瞬時(shí)速度都取值不同。

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剛才我們計(jì)算了40s內(nèi)的速度，為了求出“瞬間的變化量”，我們來(lái)漸漸縮小時(shí)間的間隔。

看一下圖中10s到20s的情況。

這一期間車輛跑了大約60m，所以可以這樣求出它的速度。

60m/10s=6m/s

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這與求某個(gè)區(qū)間內(nèi)圖形的斜率是一回事。

使用同樣的做法，接著求10s和11s之間的斜率，進(jìn)而求10.0s和10.1s之間的斜率。

逐漸縮小時(shí)間的間隔，最終就可以得出10s那一瞬間的斜率，也就是速度。

像這樣縮小間隔求斜率的方法正是微分。

…方、法、方法：見(jiàn)《歐幾里得2、3》…

“希臘時(shí)代的阿基米德（Archimedes）已經(jīng)懂得用無(wú)窮分割的方法正確地計(jì)算一些面積，這跟現(xiàn)代積分的觀念已經(jīng)很相似。

由此可見(jiàn)，在歷史上，積分觀念的形成比微分還要早——這跟課程上往往先討論微分再討論積分剛好相反。

請(qǐng)看下集《牛頓330、微分的歷史》”

若不知曉歷史，便看不清未來(lái)

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