前文回顧

? ? ? ? 在前文中我介紹了「開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)Open Loop Transfer Function」、「閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)Close Loop Transfer Function」和「開環(huán)傳遞函數(shù)Loop Transfer Function」以及它們的系統(tǒng)框圖，不熟悉的話請(qǐng)回看之前的文章。

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? ? ? ??同時(shí)推薦我翻譯的《理解零點(diǎn)和極點(diǎn)》，以幫助理解本文。

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正文

1、系統(tǒng)建模

? ? ? ??假設(shè)有一個(gè)水池，其底面積為A；水位高度為h；水箱底有個(gè)漏水孔，其流阻為R；不考慮自然下雨蒸發(fā)，設(shè)計(jì)一個(gè)自動(dòng)注水系統(tǒng)控制注水流量f，使得水位h保持在10。

? ? ? ??漏水速度與水壓有關(guān)，而水壓又與水位高度有關(guān)，所以漏水速度loss=ρgh/R。由于不考慮自然下雨蒸發(fā)（外界干擾），所以其擾動(dòng)D(s)=0。于是水池中水體積的變化量為dv=f*dt-loss*dt=A*dh（變化的水體積=注水量-漏水量=水池底面積*變化的水位），由此可以列出微分方程：

? ? ? ??對(duì)其進(jìn)行拉普拉斯變換后即可得到其系統(tǒng)傳遞函數(shù)G：

? ? ? ??顯然這是一個(gè)一階系統(tǒng)，其擁有一個(gè)極點(diǎn)。由于物理量ρg/AR都是正數(shù)，所以其極點(diǎn)位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。

? ? ? ??為了簡化問題，把一些參數(shù)歸一化。令A(yù)=1、ρg/AR=1，則可得開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)Open Loop Transfer Function為G=1/(s+1)，其極點(diǎn)p=-1。令水位傳感器H=1，待設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)C=K，目標(biāo)水位h=10，此時(shí)便得到了閉環(huán)系統(tǒng)的框圖：

2、比例控制

? ? ? ? K是個(gè)常數(shù)，我們給系統(tǒng)引入了一個(gè)最簡單的控制邏輯——比例控制。K是對(duì)誤差Error的敏感程度，換句話說就是注水系統(tǒng)的注水流量對(duì)水位差的放大程度。K的值越大，在等同水位差時(shí)注水流量越大。于是可以得出環(huán)路傳遞函數(shù)Loop Transfer Function為GCH=K/(s+1)，|GCH|稱為環(huán)路增益Loop Gain，所以調(diào)節(jié)K就是在調(diào)節(jié)環(huán)路的增益Gain。

? ? ? ??最終系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Close Loop Transfer Function為GC/(1+GCH)，我們需要求出其極點(diǎn)，也就是特征方程1+GCH=0的根。解1+K/(s+1)=0得s=-(K+1)，也就是極點(diǎn)p=-(K+1)。由于目標(biāo)值Reference是個(gè)常數(shù)10，所以其拉式變換式為10/s，于是可以得出水位為h(t)=10K/(K+1)*(1-exp(pt))（假設(shè)初始水位為0），初始值為0，隨著時(shí)間推移水位指數(shù)衰減到10K/(K+1)處。

PS：有人或許會(huì)想Close Loop Transfer Function的分子G也有個(gè)極點(diǎn)啊，別忽略了呀！實(shí)際上這個(gè)極點(diǎn)特征方程也有，一個(gè)在分子一個(gè)在分母相互抵消沒了，所以Close Loop Transfer Function極點(diǎn)只剩下特征方程的根了。可以自行推算公式證明。

???? ? ?通過以上結(jié)果可以觀察到，Close Loop Transfer Function的極點(diǎn)p，在輸出水位的exp指數(shù)項(xiàng)里頭。這也說明為什么設(shè)計(jì)系統(tǒng)要保證所有極點(diǎn)都在左半平面。在左半平面時(shí)p的實(shí)數(shù)部是負(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)于衰減的exp指數(shù)項(xiàng)；如果p在右半平面，則p的實(shí)數(shù)部是個(gè)正數(shù)，意味著exp是個(gè)增長的、指數(shù)爆炸的輸出，系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。

???? ? ?同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，其極點(diǎn)p的位置與增益K有關(guān)。令p>0時(shí)可以求得K<-1。K是個(gè)負(fù)數(shù)意味著注水系統(tǒng)是一個(gè)相反的邏輯：水位偏低時(shí)（Error>0）不僅不注水還反向抽水；水位偏高時(shí)（Error<0）還繼續(xù)往里注。顯然這種操作不但不能讓水位達(dá)到目標(biāo)水位，反而會(huì)距離目標(biāo)越來越遠(yuǎn)。K為負(fù)數(shù)但沒小于1時(shí)系統(tǒng)沒有發(fā)散是因?yàn)槁┧募s束。雖然水位偏高了還繼續(xù)往里注水，但由于水位上升會(huì)導(dǎo)致漏水加強(qiáng)，兩者達(dá)到了一個(gè)平衡后水位也就不再增長了。當(dāng)K<-1后由于注水力度大于漏水的自然調(diào)節(jié)，系統(tǒng)就會(huì)發(fā)散。

PS：當(dāng)極點(diǎn)p位于虛軸時(shí)，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。因?yàn)槠渲笖?shù)項(xiàng)exp始終是一個(gè)常數(shù)，雖然不會(huì)發(fā)散但也不會(huì)衰減（可以認(rèn)為系統(tǒng)能量無法釋放）。一旦外部激勵(lì)施加到極點(diǎn)位置時(shí)（外部能量注入），極點(diǎn)將變成“雙重極點(diǎn)”（兩極點(diǎn)位置重合），此時(shí)系統(tǒng)輸出發(fā)散（一直注入能量但無法釋放），系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。典型例子為無阻尼振蕩系統(tǒng)施加共振頻率，共振振幅將變成無窮大。

? ? ? ??當(dāng)K為正數(shù)時(shí)極點(diǎn)p位于左半平面，而且K值越大p越往左（遠(yuǎn)離原點(diǎn)）。極點(diǎn)左移意味著exp項(xiàng)衰減速度越快，系統(tǒng)的響應(yīng)速度也越快。即調(diào)大K值會(huì)加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，如下圖所示：

? ?? ? ?我們發(fā)現(xiàn)調(diào)大K值有利于提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，使得水位更快接近目標(biāo)值。這就是比例控制最直接的體現(xiàn)：提高系統(tǒng)作用的力度以加快系統(tǒng)的響應(yīng)。但有時(shí)候K并不是越大越好，這個(gè)問題留到下一篇文章分析。

3、穩(wěn)態(tài)誤差

? ? ? ??細(xì)心的讀者應(yīng)該會(huì)發(fā)現(xiàn)，不同的K值最終水位的穩(wěn)定高度也不一樣，但始終與目標(biāo)水位10有個(gè)誤差，這個(gè)誤差稱為穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差定義為系統(tǒng)穩(wěn)定后目標(biāo)值與穩(wěn)定值的差值，即

? ? ? ??通過上面計(jì)算可以知道水位最終穩(wěn)定高度為10K/(1+K)，于是可以求得ess=10-10K/(1+K)=10*1/(1+K)?？梢钥吹絜ss也是和K有關(guān)，通過圖5驗(yàn)證：當(dāng)K=1時(shí)可得ess=5；K=10時(shí)可得ess=0.91。K越大誤差越小，但無法等于0?；蛟S你會(huì)想，讓K→∞，那穩(wěn)態(tài)誤差不就沒有了嗎？然而現(xiàn)實(shí)情況中會(huì)有很多非線性約束。在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中討論的一般是BIBO（Bounded Input Bounded Output）系統(tǒng)，無界的輸入將使得系統(tǒng)不再是線性系統(tǒng)，上述的模型計(jì)算都將失效。以注水系統(tǒng)來說，注水系統(tǒng)也沒法實(shí)現(xiàn)水位偏差一點(diǎn)點(diǎn)時(shí)就往里注入無窮大的水流量。既然K無法取得無窮大，穩(wěn)態(tài)誤差就會(huì)存在，所以這就是比例控制的缺陷：無法消除穩(wěn)態(tài)誤差。想要消除穩(wěn)態(tài)誤差，僅僅使用比例控制是不夠了，需要引入新的控制手段。這個(gè)問題留到下一章討論，現(xiàn)在討論一些新的知識(shí)。

4、終值定理

? ? ? ??前文在計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)，是解出了輸出水位表達(dá)式h(t)=10K/(K+1)*(1-exp(pt))。但問題是并不是所有的系統(tǒng)都會(huì)像一階系統(tǒng)這么容易解出結(jié)果。這里有一份二階系統(tǒng)的輸出解，可以看看輸出表達(dá)式有多復(fù)雜，計(jì)算過程略（大概24頁A4紙）。

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? ? ? ? 如果是三階或更高階的系統(tǒng)，其輸出表達(dá)式就更難求解了。我們需要一個(gè)簡單的手段解出穩(wěn)態(tài)誤差，下面有請(qǐng)終值定理：

? ? ? ??在極限存在的情況下，穩(wěn)態(tài)誤差為：

? ? ? ??以水池系統(tǒng)為例，我們可以計(jì)算水位的穩(wěn)態(tài)誤差為：

? ? ? ??可見最后值與前面算出來的一樣。終值定理好處在于可以不用求出解析解時(shí)直接從復(fù)頻域中得出終值，前提是時(shí)域的極限存在。比如K=-5時(shí)系統(tǒng)是發(fā)散的，求出的ess=-2.5是無意義的。

5、根軌跡

? ? ? ??同上，我們求解特征方程1+GCH=0的根得到極點(diǎn)p=-(K+1)。因?yàn)橐浑A系統(tǒng)是個(gè)一元一次方程所以容易求解。隨著系統(tǒng)階數(shù)增加，我們將面臨一元三次方程甚至一元五次方程，其求解將異常困難。所以伊文思(w.R.Evans) 提出了根軌跡。

? ? ? ??為了直觀理解根軌跡，先看以下圖片：

? ? ? ??假設(shè)另一個(gè)系統(tǒng)（先忘掉水池系統(tǒng)）的Loop Transfer Function為(s+2)/(s(s+1))，其具有一個(gè)零點(diǎn)：z1=-2，兩個(gè)極點(diǎn)：p1=0、p2=-1，其根軌跡為：

? ? ? ??可以直觀的看到，隨著K的變化，閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位置也在變化，也就是特征方程1+GCH=0的根也在變化。隨著K從0→∞，根在復(fù)平面上行走留下了一串軌跡，其軌跡定義為根軌跡。通過根軌跡可以知曉極點(diǎn)的走向，從而通過指定極點(diǎn)p的位置倒算出需要設(shè)置K的值（使用計(jì)算機(jī)）。

? ? ? ??當(dāng)K=0時(shí)，可以認(rèn)為反饋被“切斷”，Close Loop極點(diǎn)的位置即為Loop極點(diǎn)位置。所以我們是在拿Loop Transfer Function來繪制根軌跡以確定Close Loop Transfer Function的極點(diǎn)走向。當(dāng)K=∞時(shí)，Close Loop極點(diǎn)的位置在Loop零點(diǎn)的位置（沒有零點(diǎn)則無窮遠(yuǎn)）（可以通過數(shù)學(xué)證明，此略）。即Close Loop極點(diǎn)起于Loop極點(diǎn)，終于Loop零點(diǎn)。

? ? ? ??這里也可以為零點(diǎn)作用給出一個(gè)解釋：對(duì)于純開環(huán)系統(tǒng)Open Loop System，輸出取決于極點(diǎn)，零點(diǎn)用于影響極點(diǎn)的輸出權(quán)重。但由于極點(diǎn)位置固定，輸出特性無法改變。而在閉環(huán)系統(tǒng)Close Loop System中，零點(diǎn)還起到影響根軌跡的作用，從而改變極點(diǎn)位置，最終改變輸出特性。

? ? ? ??如下圖16所示，與圖15對(duì)比，當(dāng)添加一個(gè)零點(diǎn)z2=1后，根軌跡的走向被完全改變：

? ? ? ??對(duì)于特征方程1+GCH=0，可以得GCH=-1，也就是說根的幅角arg(GCH)=π，即180°。所以整個(gè)根軌跡都會(huì)滿足幅角=π，作出Loop Transfer Function的幅角圖像，可以看出非常明顯的顏色分區(qū)如圖14、17所示，交界處即為根軌跡：

? ?? ? ?讀者可以自行學(xué)習(xí)更多根軌跡的知識(shí)，了解根軌跡的性質(zhì)以及如何作出根軌跡。在這里允許偷一下懶，利用計(jì)算機(jī)程序MATLAB，便可快速得出根軌跡以及對(duì)應(yīng)的K值，以水池系統(tǒng)為例：

T=zpk([],[-1],1);

rlocus(T);?

6、伯德圖Bode Plot

? ? ? ??根軌跡提供了一個(gè)從時(shí)域的視角觀察系統(tǒng)響應(yīng)。伯德圖則是提供了頻域的視角觀察系統(tǒng)響應(yīng)。而觀察的對(duì)象也是Loop Transfer Function，可以說它再次起到了一個(gè)中間者的角色。

? ? ? ??還是以水池系統(tǒng)為例，令K=10，現(xiàn)在看看Loop Transfer Function的幅值函數(shù)圖，將其對(duì)數(shù)化+二維化后得到伯德圖：

? ? ? ??首先看幅值伯德圖，橫軸是頻率（rad/s），縱軸是開環(huán)增益Loop Gain（dB），分貝與增益換算關(guān)系為dB=20*log(|GCH|)。即20dB代表了10倍的增益、40dB代表100倍增益；以此類推-20dB代表0.1倍增益，-40dB代表0.01倍增益，而0dB代表增益為1，即環(huán)路對(duì)信號(hào)既無放大也無縮小。水池系統(tǒng)以K=10為例，可以看到起始增益為20dB。

? ? ? ??水池系統(tǒng)有個(gè)原生極點(diǎn)p=-1，所以在頻率ω=1的位置產(chǎn)生一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，幅值曲線開始以-20dB/dec的斜率降低，說明該系統(tǒng)為一階系統(tǒng)。以此類推，當(dāng)幅值曲線以-40dB/dec的斜率下降時(shí)表明該系統(tǒng)是二階系統(tǒng)。一個(gè)極點(diǎn)產(chǎn)生-20dB/dec的斜率；而一個(gè)零點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生+20dB/dec的斜率。記住這個(gè)結(jié)論。

? ? ? ??當(dāng)幅值曲線具有負(fù)斜率后，它將一直下降并在某個(gè)頻率ω穿過0dB軸。幅值低于0dB時(shí)意味反饋信號(hào)比輸入時(shí)還弱，其起到的反饋效果大打折扣，可以近似認(rèn)為沒有反饋，系統(tǒng)開環(huán)Open Loop。于是乎0dB軸成為了一個(gè)分水嶺，幅值高于0dB的頻率才有反饋效果，而低于0dB的頻率則被系統(tǒng)忽略/抑制。

? ? ? ??幅值曲線與0dB的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率ω稱為“穿越頻率ωcross”、“截止頻率”。同樣地它也成為了一個(gè)分水嶺，低于截止頻率的頻率有反饋效果，高于截止頻率的頻率被系統(tǒng)忽略/抑制。而截止頻率被稱之為系統(tǒng)的帶寬。如水池系統(tǒng)為例，其截止頻率ω=10 rad/s。

? ? ? ??現(xiàn)在看相移（幅角）伯德圖，橫軸是頻率（rad/s），縱軸是相移（°）。往環(huán)路中注入正弦波信號(hào)，正弦波繞了一個(gè)環(huán)路后，它相較注入時(shí)產(chǎn)生了相移，這個(gè)相移就是環(huán)路的相移。相移為正數(shù)表示超前；相移為負(fù)數(shù)表示滯后。觀察相移曲線也會(huì)發(fā)現(xiàn)，在ω=1的位置相移為-45°，那里正是原生極點(diǎn)的位置，而總相移達(dá)到了-90°。同樣記住這個(gè)結(jié)論：一個(gè)極點(diǎn)產(chǎn)生-90°的總相移（滯后）；一個(gè)零點(diǎn)產(chǎn)生+90°的總相移（超前），前提是零極點(diǎn)都在左半平面。

? ? ? ??同幅值曲線一樣，相移曲線有個(gè)關(guān)鍵位是180°、-180°相移。當(dāng)相移達(dá)到±180°后，意味著反饋反相（sin(t±180°)=-sin(t)），負(fù)反饋?zhàn)兂闪苏答?。以水池系統(tǒng)為例，當(dāng)K為負(fù)數(shù)時(shí)產(chǎn)生的效果上文已經(jīng)分析。所以在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)必須注意相移曲線，在截止頻率內(nèi)相移必須控制在±180°以內(nèi)，一旦達(dá)到/穿過±180°線意味著系統(tǒng)不再穩(wěn)定。而截止頻率外由于可以近似無反饋，相移達(dá)到/越過±180°不會(huì)造成自激。圖21為當(dāng)K=-10時(shí)水池系統(tǒng)的Loop Transfer Function伯德圖，可與圖20對(duì)比：

? ? ? ??現(xiàn)在觀察當(dāng)調(diào)整K值（增益）時(shí)，伯德圖會(huì)有什么變化。圖22為K=5時(shí)水池系統(tǒng)的Loop Transfer Function伯德圖，可與圖20（K=10）對(duì)比：

? ? ? ??看伯德圖主要看這幾個(gè)參數(shù)：

1、低頻增益Gain；

2、截止頻率ωcross；

3、穿過0dB軸斜率dB/dec；

4、截止頻率處相移以及相角裕度PM。

? ? ? ??可以看到調(diào)節(jié)增益K只會(huì)影響幅值曲線（上下平移），而對(duì)相移曲線沒有影響（K取正數(shù)時(shí)）。所以改變K只會(huì)改變低頻增益Gain和截止頻率ωcross，而對(duì)斜率和相移特性無改變，但會(huì)改變相角裕度。現(xiàn)列出不同水池系統(tǒng)不同K值對(duì)應(yīng)的參數(shù)進(jìn)行對(duì)比：

K=5： Gain=14dB、ωcross=4.9、斜率=-20dB/dec、Phase=-78.4°、PM=101.6°；

K=10：Gain=20dB、ωcross=10、斜率=-20dB/dec、Phase=-84.2°、PM=95.8°。

? ? ? ??通過這幾個(gè)參數(shù)可以得出以下結(jié)論：

1、K=5的低頻環(huán)路增益Gain比K=10的小，所以K=5的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差比較大；

2、K=10的系統(tǒng)截止頻率比K=5的大，說明K=10的系統(tǒng)反應(yīng)速度（exp項(xiàng)收斂速度）比較快；

3、兩個(gè)系統(tǒng)幅頻曲線斜率均為-20dB/dec，說明兩個(gè)系統(tǒng)均為一階系統(tǒng)；

4、兩個(gè)系統(tǒng)的相角裕度均超過90°，不會(huì)穿越-180°線，系統(tǒng)均穩(wěn)定不會(huì)自激。

? ? ? ??伯德圖相較于根軌跡比較好畫，讀者可以看我翻譯的文章后面有個(gè)簡易繪制伯德圖方法。當(dāng)然借助計(jì)算機(jī)程序MATALB也可以輕松繪制伯德圖，以注水系統(tǒng)為例：

T=zpk([],[-1],1);

margin(T);

grid on;

總結(jié)

? ? ? ??本文雖然講的是比例控制，但花了大量篇幅在終值定理、根軌跡、伯德圖上。因?yàn)楸壤刂苾H僅是控制手段，但控制后的效果需要使用分析工具進(jìn)行分析，而這些都是分析工具，所以在第一篇中提前講述了分析工具，熟練掌握分析工具非常重要。

? ? ? ??順便說一個(gè)，控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)往往沒有最優(yōu)解，是各個(gè)指標(biāo)參數(shù)相互妥協(xié)的結(jié)果。以水池系統(tǒng)來說，看起來K值越大越好，但能大到多少就看現(xiàn)實(shí)情況了。比如注水系統(tǒng)最大注水量制約，或者由于注水太快受到水的慣性/傳感器延遲導(dǎo)致模型失效等等。一般來說只要滿足到設(shè)計(jì)要求即可，比如要求1s內(nèi)完成注水工作，那K值只要設(shè)置3以上就夠了；但如果加了條件要求穩(wěn)態(tài)誤差小于1，那K值得9以上才滿足要求?？傊€是看需求設(shè)置。（完）

HD-nuke8800

2022/5/1