國內(nèi)傳統(tǒng)的教材在分析電場的思路常為：首先研究自由空間內(nèi)的電場，接著在自由空間得到的公式的基礎(chǔ)上引入相對介電常數(shù) ?，將這些公式的適用范圍擴展到包含介質(zhì)的空間，在這個過程中引入了所謂的電位移矢量，使我們能像在自由空間中分析電場一樣去分析介質(zhì)中的電場。

但對于電位移矢量的分析似乎常常停留在一個“替代符號”，而對其物理意義的理解并沒有成為重點，筆者在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)電位移矢量在電場分析中十分重要，其給出了物理不同于數(shù)學(xué)最重要的一點：直觀性，反映在對電場分布如何分析的直觀性。

故本文我們反其道而行之，從電位移矢量出發(fā)，研究自由空間與介質(zhì)中電位移矢量是如何分布的，以及采用這種方式的一些優(yōu)點。

首先簡單回顧一下電位移矢量的推導(dǎo)過程：

在自由空間中，

我們看到，其實無論是在介質(zhì)中還是在自由空間中，電位移矢量與電場強度之間只有一個比例常數(shù)，故我們在分析電場時可以完全將電場強度用電位移矢量替代。

現(xiàn)在，我們將電位移矢量換一個名稱，稱其為電通量密度。

現(xiàn)在我們解釋為何要將電位移矢量稱為電通量密度。

首先我們分析一下散度定理的微分式以及積分式：

接著，我們可以將其使用電位移矢量替代：

現(xiàn)在，我們觀察上面的第二個式子，電位移矢量的單位就是 ，這顯然是密度的單位，故我們又可以將電位移矢量稱為電通量密度。

那么這樣規(guī)定后，有什么用處呢？

我們先來看幾個簡單的例子。

例一 自由空間的點電荷

如何分析其電場分布？

方法一：使用高斯定理。

方法二：使用電通量密度。

其中分子是電通量，分母是我們研究的面的面積。

直觀來看似乎沒有改進多少，但我們從整個思路上再分析一下：

方法一的思路是，首先這是一個高度對稱的電荷系統(tǒng)，我們可以直接使用高斯定理、利用對稱性求解電場，因為在對稱性下，積分式可以被簡化為四則運算。接著我們解一個有兩個變量的方程，得到電場的分布 ?.

方法二的思路是，首先這是一個高度對稱的電荷系統(tǒng)，電場分布也即電位移矢量分布，我們可以直接使用電位移矢量的另一個身份——電通量密度的定義求解電場，即電通量除以閉曲面的面積，得到?.現(xiàn)在我們求電場分布的想法就變成了：畫個球面圈住電荷，將電荷除上球面面積，再根據(jù)電荷極性判斷一下方向即可。

但該方法的使用情況如何？我們再看一下例二。

例二 平行板電容器電場分析

平行板電容器的極板間為自由空間或均一的理想介質(zhì)。

很明顯，

其中即上下極板的電荷密度。使用高斯定理也可以很容易驗證。

但如果極板間的理想介質(zhì)并不是一樣的呢？

讀者可以自己分析，結(jié)果仍為：

分析一下電場：

由邊界條件：

由本構(gòu)關(guān)系：

但如果極板間的介質(zhì)不僅不同、還非理想呢？

由電流連續(xù)性與電場強度的邊界條件分析可得：

Now, here comes the bug!! 兩次電通量密度不同！可是平行板電容器兩極板的電荷密度不是一樣的嗎？顯然這里發(fā)生了一些我們意想不到的錯誤。

這里本文給出的解釋是，漏電導(dǎo)致在介質(zhì)接觸面上出現(xiàn)了面自由電荷 ，使得平行板電容器兩極板的電荷密度是不一樣的。我們對于電通量密度的理解依然是正確的，我們進行一個定性的分析。

對于 ，我們根據(jù)電通量密度的定義：

對于 ，我們根據(jù)電通量密度的定義：

而由電荷守恒：

所以現(xiàn)在，我們?nèi)绾卫斫怆娡磕兀?strong>電通量就是電力線，如同我們定義磁通量與磁力線。

費曼：……當(dāng)你知道你在說什么時——這是力，這是質(zhì)量，這是慣性等等——可以用一系列常識性的、經(jīng)驗性的關(guān)于世界的感知。隨著認識事物的增多，或多或少的，你可以知道該現(xiàn)象的行為模式。然而，“可憐的”數(shù)學(xué)家會將其轉(zhuǎn)變?yōu)閷λ麃碚f沒有意義的符號和方程，他們沒有直覺的指導(dǎo)，但有嚴(yán)謹、謹慎的精確數(shù)學(xué)論點。鑒于物理學(xué)家們或多或少知道一些答案的方向，他們會冒出來給出一些猜想，然后剩下的留給數(shù)學(xué)家們繼續(xù)。數(shù)學(xué)中精準(zhǔn)的嚴(yán)謹性在物理中不是很有用，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)公理的態(tài)度也是。現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家們可以做他們想要做的事情，人們不應(yīng)該批判他們，因為他們不是物理的奴隸。不能因為這樣對你們有用，所以他們必須這樣做。他們可以做他們想要的工作，這是他們自己的工作，如果你需要其他東西，請自己來做。

參考：

1.（美）威廉姆·H.哈特，（美）約翰·A.巴克著. 工程電磁場 第9版[M]. 北京：清華大學(xué)出版社, 2019.07.

2.謝處方，饒克謹編著. 電磁場與電磁波第四版[M]. 高等教育出版社, 2006.01.