不自量力 -- 線性諧振子

2021-10-19 12:52 作者:nyasyamorina 0人讀過 | 我要投稿

在上古時期,? 曾經(jīng)在一篇專欄里說過粒子能量分立是因為求解 S-L 問題必定會出現(xiàn)分立值.? well,? 不能說完全錯,? 但是這是在數(shù)學(xué)上的解釋,? 完全沒有給出物理意義.

實際上,? 以前的我是完全沒有學(xué)過量力的.? 現(xiàn)在努力惡補(bǔ)了一下,? 發(fā)現(xiàn)能量分立的物理意義還是非常強(qiáng)的.

在求解定態(tài)薛定諤方程時,? 會出現(xiàn)兩個代表"能量"的量:? 環(huán)境勢能 U 和粒子自身的能量 E.? 當(dāng)粒子能量小于環(huán)境在無窮遠(yuǎn)處的勢能,? 即 $E%3C%5Clim_%7Br%5Crightarrow%5Cinfty%7DU$ 時,? 粒子如果出現(xiàn)在無窮遠(yuǎn)處,? 代表粒子需要穿過無窮厚的并且能量比自身大的勢壘,? 這顯然是不可能的.? 也就是說這時候粒子被限制在有限的空間內(nèi)? ----? 如同一根琴弦,? 被限制時只能以特定諧波震動? ----? 粒子也被限制成特定的震動模式,? 而這些模式是可以分別計算出能量的,? 如此造成了粒子的能量分立.

在經(jīng)典力學(xué)里,? 質(zhì)點在平衡位置 x? 處做微小震動時,? 勢能可以展開為

$U(x)%3DU(x_0)%2BU'(x_0)(x-x_0)%2B%5Cfrac%7BU''(x_0)%7D%7B2%7D(x-x_0)%5E2%2B%5Ccdots$

對坐標(biāo)進(jìn)行變換,? 重新設(shè)定零勢能點,? 則在平衡位置附近的勢能可以表達(dá)為? $U%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Comega%5E2x%5E2$ ,? 其中 x 是偏離平衡位置的位移,? m 是質(zhì)點質(zhì)量,? ω 是震動頻率.? 那么這個質(zhì)點體系被稱作線性諧振子.

類似地,? 在量子力學(xué)里,? 粒子處于相同勢場里也被稱作線性諧振子.

不難知道,? 線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程為? $%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B2m%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Cpsi%7D%7Bdx%5E2%7D-%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Comega%5E2x%5E2%5Cright)%5Cpsi%3DE%5Cpsi$ .? 其中 ψ 是描述粒子的波函數(shù),? E 是粒子的能量.? 根據(jù)上面說到能量分立的原因,? 在無窮遠(yuǎn)處勢能為無窮大,? 所以粒子的能量也必定至無窮大都是分立的.? 不過就算不知道能量分立的物理原因,? 接下來的數(shù)學(xué)推導(dǎo)也會很自然地把能量限制在特定值上.

為了書寫方便,? 設(shè)? $%5Calpha%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bm%5Comega%7D%7B%5Chbar%7D%7D%2C%5C%3B%5Clambda%3D%5Cfrac%7B2E%7D%7B%5Chbar%5Comega%7D%2C%20%20%5Cxi%3D%5Calpha%20x$ ,? 那么定態(tài)方程可以重寫為? $%5Cfrac%7Bd%5E2%5Cpsi%7D%7Bd%5Cxi%5E2%7D%2B(%5Clambda-%5Cxi%5E2)%5Cpsi%3D0$ .

在無窮遠(yuǎn)處,? λ 的值小得可以忽略,? 則定態(tài)方程變?yōu)? $%5Cfrac%7Bd%5E2%5Cpsi%7D%7Bd%5Cxi%5E2%7D%3D%5Cxi%5E2%5Cpsi$ ,? 解得? $%5Cpsi%3De%5E%7B%5Cpm%5Cxi%5E2%2F2%7D$ .? 其中冪系數(shù)為正的解不符合波函數(shù)的有限性,? 所以可以波函數(shù)為? $%5Cpsi(%5Cxi)%3DH(%5Cxi)e%5E%7B-%5Cxi%5E2%2F2%7D$ ,? 其中 H 是未知的函數(shù).? 把波函數(shù)代入定態(tài)方程可以得到關(guān)于 H 的微分方程? $%5Cfrac%7Bd%5E2H%7D%7Bd%5Cxi%5E2%7D-2%5Cxi%5Cfrac%7BdH%7D%7Bd%5Cxi%7D%2B%5Cleft(%5Clambda-1%5Cright)H%3D0$ .

關(guān)于 H 的解法稍微有點復(fù)雜,? 有心無力的可以直接跳過這部分看下面.? 但數(shù)學(xué)上產(chǎn)生能量分立的原因就在 H 里,? 所以還是不推薦跳過的.

以級數(shù)解 H,? 設(shè)? $H(%5Cxi)%3D%5Csum_%7B%5Cnu%3D0%7D%5E%5Cinfty%20a_%5Cnu%5Cxi%5E%5Cnu$ .? 那么有? $%5Cfrac%7BdH%7D%7Bd%5Cxi%7D%3D%5Csum_%7B%5Cnu%3D0%7D%5E%5Cinfty(%5Cnu%2B1)a_%7B%5Cnu%2B1%7D%5Cxi%5E%5Cnu$ 和? $%5Cfrac%7Bd%5E2H%7D%7Bd%5Cxi%5E2%7D%3D%5Csum_%7B%5Cnu%3D0%7D%5E%5Cinfty(%5Cnu%2B2)(%5Cnu%2B1)a_%7B%5Cnu%2B2%7D%5Cxi%5E%5Cnu$ .? 代入關(guān)于 H 的微分方程里,? 合并同類項得到

$%5Csum_%7B%5Cnu%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cleft((%5Cnu%2B2)(%5Cnu%2B1)a_%7B%5Cnu%2B2%7D-2%5Cnu%20a_%5Cnu%2B(%5Clambda-1)a_%5Cnu%5Cright)%5Cxi%5E%5Cnu%3D0$ .? 注意到這是一個恒等式,? 也就是說式子右邊的系數(shù)恒等于0,? 即? $(%5Cnu%2B2)(%5Cnu%2B1)a_%7B%5Cnu%2B2%7D-2%5Cnu%20a_%5Cnu%2B(%5Clambda-1)a_%5Cnu%3D0$ ,? 如此得到了系數(shù)的迭代式? $a_%7B%5Cnu%2B2%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cnu-%5Clambda%2B1%7D%7B(%5Cnu%2B2)(%5Cnu%2B1)%7Da_%5Cnu$ .? 可以看到迭代式是隔項迭代的,? 也就是說級數(shù)只與 a? 和 a? 有關(guān).

當(dāng)?ν 趨向無窮時,? 隔項系數(shù)的比例為? $%5Clim_%7B%5Cnu%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Ba_%7B%5Cnu%2B2%7D%7D%7Ba_%5Cnu%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cnu%7D$ .? 另外,? 對 $e%5E%7B%5Cxi%5E2%7D$ 進(jìn)行級數(shù)展開有 $%5Csum_%7B%5Cnu'%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5Cxi%5E%7B2%5Cnu'%7D%7D%7B%5Cnu'!%7D$ ,? 并且相鄰兩項系數(shù)的比例為? $%5Cfrac%7B%5Cnu'!%7D%7B(%5Cnu'%2B1)!%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cnu'%2B1%7D%5Coverset%7B%5Cnu'%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5CLongrightarrow%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cnu'%7D$ ,? 不難知道 2ν' =?ν,? 則 ν' 趨向無窮時相鄰系數(shù)比為 2/ν.? 這說明了在?ξ→∞ 時,? H 的行為與? $e%5E%7B%5Cxi%5E2%7D$ ?相似,? 這明顯不符合波函數(shù)的有限性.

所以 H 級數(shù)必須在某一項截斷為多項式.? 當(dāng) H 在第 n 項截斷時,? 系數(shù)迭代式有? $%5Cfrac%7B2n-%5Clambda%2B1%7D%7B(n%2B2)(n%2B1)%7D%3D0$ ,? 于是得到? λ = 2n + 1.? 并且有,? 如果n是偶數(shù)時,? 奇數(shù)項系數(shù)必然為0,? 因為奇數(shù)項的系數(shù)迭代式在n為偶數(shù)時永不等于0,? 反之亦然.? 把 H 在第n項截斷的多項式稱為 厄米(Hermite)多項式,? 記為?H?.

盡管到目前為止確定了 H 的行為,? 但仍未給出 H 的準(zhǔn)確表達(dá)式,? 這是因為系數(shù)?a? 和 a? 仍然未確定.? 實際上,? 兩個系數(shù)的取值是任意的,? 因為波函數(shù)需要進(jìn)行歸一化,? 當(dāng)歸一化時?a? 和 a? 自然會求出.? 但通常是先假定?a? 和 a? 的值再求得歸一化因子 N,? 于是最后確定為?N a? 或?N a?.

特別地,? H 有迭代式? $H_%7Bn%2B1%7D(%5Cxi)%3D2%5Cxi%20H_n(%5Cxi)-%5Cfrac%7BdH_n%7D%7Bd%5Cxi%7D$ ,? 但是不知道為什么在我找到的資料里都沒有這個式子.

這一段是給出 H 的通常表示方法,? 不太感興趣的可以直接跳過.? 觀察這個函數(shù)? $u%3De%5E%7B-%5Cxi%5E2%7D$ ,? 有 $%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bd%5Cxi%7D%3D-2%5Cxi%20u$ ,? 根據(jù) Leibniz法則可以推導(dǎo)出? $%5Cfrac%7Bd%5E%7Bn%2B2%7Du%7D%7Bd%5Cxi%5E%7Bn%2B2%7D%7D%3D-2x%5Cfrac%7Bd%5E%7Bn%2B1%7Du%7D%7Bd%5Cxi%5E%7Bn%2B1%7D%7D-2(n%2B1)%5Cfrac%7Bd%5Enu%7D%7Bd%5Cxi%5En%7D$ .? 根據(jù)遞推法不難知道 u 的任意導(dǎo)數(shù)都可以表示為 u 與多項式 f 的乘積,? 即? $%5Cfrac%7Bd%5Enu%7D%7Bd%5Cxi%5En%7D%3Du%5Ccdot%20f$ .? 代入關(guān)于 u 的 n+2 階導(dǎo)公式,? 可以得到 $%5Cfrac%7Bd%5E2f%7D%7Bd%5Cxi%5E2%7D-2%5Cxi%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bd%5Cxi%7D%2B2nf%3D0$ .? 設(shè) λ = 2n + 1,? 則左式與關(guān)于 H 的微分方程一致,? 也就是說可以特別地設(shè) H = f.? 但為了滿足數(shù)學(xué)家奇怪的愛好,? 規(guī)定? $H%3E0%2C%5C%2C%5Cxi%5Crightarrow%2B%5Cinfty$ ,? 于是得到 H = (-1)? f.? 整理得到? $H_n(%5Cxi)%3D(-1)%5Ene%5E%7B%5Cxi%5E2%7D%5Cfrac%7Bd%5En%7D%7Bd%5Cxi%5En%7De%5E%7B-%5Cxi%5E2%7D$ .

于是得到波函數(shù)的表達(dá)式 ψ?(ξ) = H?(ξ) exp(-ξ2/2),? 最后需要對波函數(shù)進(jìn)行歸一化,? 歸一化因子 N 為? $%5Cfrac%7B1%7D%7BN%5E2%7D%3D%5Cint_R%5Cleft%7C%5Cpsi%5Cright%7C%5E2dx$ ,? 眾所周知,? 遇上積分直接放棄.? 得到? $N_n%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Calpha%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D2%5Enn!%7D%7D$ .

最后得到歸一化的線性諧振子波函數(shù)? $%5Cpsi_n(x)%3DN_nH_n(%5Calpha%20x)e%5E%7B-%5Calpha%5E2x%5E2%2F2%7D$ ,? 和對應(yīng)的能量? $E_n%3D%5Chbar%5Comega(n%2B0.5)$ ,? 其中 n 大于等于0.

另外,? 線性諧振子的波函數(shù)是正交的,? 并且是完備的.? 表明函數(shù)簇 {ψ?} 可以組成完整的函數(shù)空間,? 即?{ψ?} 是廣義傅里葉變換的一組基.? 按人話來說就是,? 任意函數(shù)都可以展開為?ψ? 的線性組合,? 并且根據(jù)定態(tài)波函數(shù)的演化性質(zhì),? 任意波函數(shù)在勢場 0.5mω2x2 里的演化可以分解為諧振子的線性組合再進(jìn)行演化.? 即? $%5CPsi(x%3B0)%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20c_n%5Cpsi_n(x)%5CRightarrow%5CPsi(x%3Bt)%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20c_n%5Cpsi_n(x)e%5E%7B-iE_nt%2F%5Chbar%7D$ ,? 其中? $c_n%3D%5Clangle%5Cleft.%5CPsi%5Cright%7C_%7Bt%3D0%7D%2C%5Cpsi_n%5Crangle%3D%5Cint_R%5CPsi%5E*(x%2C0)%5Cpsi_n(x)dx$ ?是任意波函數(shù)與第n個諧振子波函數(shù)的相關(guān)性.