1.1?模型的復(fù)雜表示

在上一節(jié)中(“眾里尋他千百度”-深度學(xué)習(xí)的本質(zhì))，討論了如何通過簡單的回歸模型預(yù)測(cè)未來一天的youtube頻道的觀看人數(shù)。事實(shí)上，在上一節(jié)的案例介紹中，使用的是線性回歸模型?，F(xiàn)在，考慮更復(fù)雜的情況。因?yàn)榫€性回歸模型的特點(diǎn)是只能簡單的認(rèn)為前一天的觀看人數(shù)和后一天的觀看人數(shù)之間是簡單的直線關(guān)系，但是在現(xiàn)實(shí)的情況中，可能二者之間的關(guān)系比較復(fù)雜，可能呈現(xiàn)出先上升后下降再上升的態(tài)勢(shì)。因此，需要考慮如何表示復(fù)雜的曲線，來增強(qiáng)模型的擬合能力。

在上圖中，紅色的曲線可以看成由三段直線組成，在機(jī)器學(xué)習(xí)中稱為分段直線（Picese Linear Curve）。在圖1中可以通過常數(shù)項(xiàng)（Constant）和多個(gè)藍(lán)色曲線的總和來表示紅色的曲線，其中，“0號(hào)位”的直線代表常數(shù)項(xiàng)。由于紅色曲線左側(cè)的直線與“1號(hào)位”中間的直線斜率相等，因此，紅色曲線左側(cè)的直線可以通過“0號(hào)位”的直線代表常數(shù)項(xiàng)與“1號(hào)位”分段直線相加來表示。依此類推，紅色曲線中間的直線可以通過“0號(hào)位”的直線代表常數(shù)項(xiàng)與“2號(hào)位”分段直線相加來表示；紅色曲線右側(cè)的直線可以通過“0號(hào)位”的直線代表常數(shù)項(xiàng)與“3號(hào)位”分段直線相加來表示。如此，便證明了可以通過常數(shù)項(xiàng)和多個(gè)藍(lán)色曲線的總和來表示紅色的曲線。

前一天的觀看人數(shù)和后一天的觀看人數(shù)之間的關(guān)系可能并不是分線段直線的表示形式，可能是在圖2中黑色的連續(xù)曲線（Continuous Curve）的形式。經(jīng)過進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，在黑色曲線上標(biāo)記合適點(diǎn)（圖2中綠色的點(diǎn)）或者標(biāo)記足夠的點(diǎn)，便可以使用分線段的直線來近似表示黑色的連續(xù)曲線。

由于分線段的直線可以使用常數(shù)項(xiàng)和多個(gè)藍(lán)色曲線表示，這就等價(jià)于使用足夠多的藍(lán)色曲線可以近似表示黑色的連續(xù)曲線。因此，復(fù)雜模型表示問題的本質(zhì)在于如何尋找藍(lán)色曲線的函數(shù)表達(dá)式。

如圖3所示，可以通過sigmoid函數(shù)曲線（虛線）來代替藍(lán)色的曲線。在機(jī)器學(xué)習(xí)中，藍(lán)色的曲線也被稱為Hard Sigmoid。

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Sigmoid函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式見公式（1），函數(shù)中包括了3個(gè)參數(shù)c、b和w。其中，c決定了Sigmoid曲線的高度，b決定了Sigmoid曲線變化的快慢，w決定了Sigmoid曲線的坡度。

綜上所述，可以使用三個(gè)不同的Sigmoid函數(shù)之和加上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)來近似表示紅色的曲線，見公式（2）。在式（2）中，i代表不同的Sigmoid函數(shù)，本例中i取整數(shù)1至3。

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1.2多元特征的引入

未來一天的觀看人數(shù)可能不僅僅只和前一天的觀看人數(shù)有關(guān)，可能還和前幾天的觀看人數(shù)都有聯(lián)系。在這種情況下可以將多元的情況引入，模型的表現(xiàn)會(huì)更好。由此，可以將公式（2）進(jìn)一步拓展為公式（3）。

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在公式（3）中，下標(biāo)j表示輸入x的編號(hào)，如果認(rèn)為未來一天的觀看人數(shù)與前三天的觀看人數(shù)都有關(guān)系，j的取值即為1至3。

現(xiàn)在假定i和j的取值均為整數(shù)1至3，進(jìn)一步討論公式（3）的表達(dá)形式。假設(shè)，Sigmoid函數(shù)里的表達(dá)式是一個(gè)整體，用符號(hào)r表示，r和x之間的關(guān)系見公式（4）。

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可以將其進(jìn)一步表示成矩陣的形式見式（5），式（5）的簡寫表達(dá)為式（6）。

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在式（6）中，，，為向量，為矩陣。

將向量r代入Sigmoid函數(shù)，可得向量a，見公式（7）。

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由于式（3）本質(zhì)上為3個(gè)Sigmoid函數(shù)之和，只是權(quán)重c不同，類似于用權(quán)重c加權(quán)，再加上常數(shù)項(xiàng)b。因此式（3）可以寫成和作點(diǎn)積，再加上常數(shù)項(xiàng)b的形式，見公式（8）。

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1.3神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的形成

如果將公式（6）值公式（8），通過符號(hào)學(xué)派的符號(hào)表示，可以發(fā)現(xiàn)其實(shí)當(dāng)前的模型已經(jīng)形成了一個(gè)“網(wǎng)絡(luò)”形狀的結(jié)構(gòu)，見圖4。在圖4中，最右側(cè)的黃色方塊表示模型的輸入即x,也被稱為特征（Feature）。與輸入直接相連的箭頭表示權(quán)重w（Weight）和輸入對(duì)應(yīng)的x相乘。輸入箭頭指向的灰色方塊中是“+”號(hào)，同時(shí)代表偏差（bias）的綠色方塊指向灰色方塊，表示權(quán)重和輸入相乘的結(jié)果與偏差相加。藍(lán)色的球形表示Sigmoid函數(shù)，灰色方塊的箭頭又指向藍(lán)色球形，表示經(jīng)灰色方塊得到的結(jié)果r代入Sigmoid函數(shù)。經(jīng)過藍(lán)色的球形之后，得到黃色的方塊a。依此類推，a和權(quán)重c相乘，加上常數(shù)項(xiàng)最終得到結(jié)果y。

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在深度學(xué)習(xí)中，將藍(lán)色的球形，也就是這里的Sigmoid函數(shù)，稱為激活函數(shù)（Activation Function）。由于圖4所表示的“網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)”與人腦的神經(jīng)元十分類似，因此激活函數(shù)也被稱為神經(jīng)元（Neruon）。圖4中，一排的神經(jīng)元（3個(gè)Sigmoid）被稱為隱藏層（Hidden Layer）。隱含層的個(gè)數(shù)以及每層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)均為超參數(shù)，需要依據(jù)經(jīng)驗(yàn)和專業(yè)領(lǐng)域的認(rèn)知確定。這樣，圖4便構(gòu)成了一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Nerual Network）。

激活函數(shù)不止Sigmoid函數(shù)一種。除了Sigmoid之外，常用的激活函數(shù)還有Relu函數(shù)（Rectified Linear Unit），其函數(shù)表達(dá)式見公式（9）。

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公式（9）所表達(dá)的含義是，取0和某直線的最大值，并乘以權(quán)重C，調(diào)節(jié)曲線的高度。事實(shí)上，圖1中的深藍(lán)色曲線就是由兩個(gè)Relu函數(shù)曲線相加得到的，見圖5。至于激活函數(shù)的確定也是一個(gè)超參數(shù)，需要訓(xùn)練模型之前事先給定。??

1.4 網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程（Train）和上一節(jié)中介紹的回歸模型的訓(xùn)練步驟基本一致，包括確定包含未知參數(shù)的函數(shù)、定義損失函數(shù)、優(yōu)化參數(shù)三個(gè)步驟。

根據(jù)公式（6）至公式（8），不難發(fā)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的未知參數(shù)包括、、和b。由此，確定了包含未知參數(shù)的函數(shù)。

損失函數(shù)的定義與上一節(jié)一樣，將樣本估計(jì)值與實(shí)際值之間的均方誤差作為損失函數(shù)，這里即為L(\theta)。因此，優(yōu)化參數(shù)的過程即為尋找一組最優(yōu)的參數(shù)使得損失函數(shù)最小，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中的所有參數(shù)按照順序排成一個(gè)列向量，通過梯度下降算法，可得參數(shù)的一次更新（Update）過程見公式（10）。

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公式（10）也可通過矩陣向量表示，記為公式（11）。

在實(shí)際的訓(xùn)練過程中，每次更新參數(shù)不會(huì)使用所有的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，而是將訓(xùn)練數(shù)據(jù)劃分多個(gè)批次（Batch）進(jìn)行訓(xùn)練，如圖6所示。在圖6中，假設(shè)訓(xùn)練資料的樣本總個(gè)數(shù)為N，每個(gè)批次包含樣本個(gè)數(shù)為B，每個(gè)批次中的樣本隨機(jī)劃分。第一個(gè)批次的損失記為,第一次參數(shù)更新即用減去倍的對(duì)的梯度得到，見公式（12）。依此類推，可以對(duì)所有的批次進(jìn)行參數(shù)的更新。當(dāng)參數(shù)優(yōu)化經(jīng)歷了所有批次之后，模型訓(xùn)練經(jīng)歷了一個(gè)完整的回合（Epoch）。每個(gè)批次的樣本個(gè)數(shù)（Batch Size）以及訓(xùn)練的回合數(shù)（Epoch）也是超參數(shù)。

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1.5從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)到深度學(xué)習(xí)?

在上文中，建立了一個(gè)帶有1個(gè)隱藏層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。隨著隱藏層的不斷增加（在圖7的示例中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型包含了兩個(gè)隱藏層。），隱藏層的深度不斷變深，便得到了深度學(xué)習(xí)（Deep Learning）模型。因此，從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的角度來看，深度學(xué)習(xí)之所以稱之為“深”的根本原因是隱藏層數(shù)變深。伴隨著算力和數(shù)據(jù)量不斷革新，深度學(xué)習(xí)模型也揭開了“山外有山比山高”的序幕。

2012年，推出的AlexNet模型有8層隱藏層，把圖像分類（基準(zhǔn)資料）的錯(cuò)誤率降低為16.4%；2014年，推出的VGG模型有19層隱藏層，圖像分類的錯(cuò)誤率降低至7.3%；2014年，推出的GoogleNet有22層隱藏層，圖像分類的錯(cuò)誤率降低至6.7%;到了2015年，推出的Residual Net將隱含層的個(gè)數(shù)迅速增加至152層，圖像分類的錯(cuò)誤率降低至3.57%。深度學(xué)習(xí)模型的演化過程真正揭示了“山外有山比山高”的含義。