【數(shù)學(xué)知識點Ep22】高等數(shù)學(xué)：同濟高等數(shù)學(xué)教材相關(guān)內(nèi)容總結(jié)（二十二）泰勒公式
2023-04-09 20:11 作者:躺坑老碧的學(xué)習(xí)瞎記 | 我要投稿
（合計496字，用時60min——）
第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
第三節(jié) 泰勒公式
背景：在微分的應(yīng)用中知道，當|x|很小時，有如下的近似等式——
——這些都是用一次多項式來近似表達函數(shù)的例子。顯然，在x=0處這些一次多項式及其一階導(dǎo)數(shù)的值，分別等于被近似表達的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的相應(yīng)值。
缺陷：
精確度不高，它所產(chǎn)生的誤差僅是關(guān)于x的高階無窮??；
用它來作近似計算時，不能具體估算出誤差大小；
對于精確度要求較高且需要估計誤差的時候，就必須用高次多項式來近似表達函數(shù)，同時給出誤差公式。
泰勒（Taylor）中值定理：如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，則對任一x∈(a,b)，有
——這里ξ是x0與x之間的某個值。
概念：
函數(shù)f(x)按(x-x0)的冪展開的n次泰勒多項式：
f(x)按(x-x0)的冪展開的帶有拉格朗日余項的n階泰勒公式：
拉格朗日余項：
f(x)按(x-x0)的冪展開的帶有佩亞諾（Peano）型余項的n階泰勒公式：
佩亞諾（Peano）型余項：
帶有拉格朗日型余項的麥克勞林（Maclaurin）公式：
帶有佩亞諾型余項的麥克勞林（Maclaurin）公式：
近似公式：
誤差估計式：
泰勒公式的誤差估計式：
麥克勞林公式誤差估計式：
