從初中開始學習物理的時候，老師就經(jīng)常用自行車舉例。例如自行車的車軸是輪軸，輪胎上的花紋是為了增大摩擦，滾珠軸承是為了減小摩擦，在地面上運動時，自行車后輪受到向前的摩擦力，是動力；前輪受到向后的摩擦力，是阻力……今天我們也來講一個跟自行車有關的物理問題。

—— 問題 ——

假如我們站在一旁用手扶著自行車，并且保持腳踏板在一上一下的位置。如果我用手向后拉動下方的腳踏板，請問自行車是向前走還是向后走？

我們通過這張圖再解釋一下問題：在地面上有一輛自行車，這輛自行車的輪胎非常粗糙，絕對不會和地面之間發(fā)生滑動。人不是騎在自行車上，而是站在一旁。現(xiàn)在，自行車的腳踏板一上一下放置，用力F向后（向左）拉動下面的腳踏板，此時輪胎就開始轉(zhuǎn)動。請問這個時候，自行車在地面上是向前（向右）走？還是向后(向左)走？

如果我們簡單一想，似乎兩個答案都有可能。比如，下方的腳蹬子向后（向左）用力，所以兩個踏板都應該正向（順時針）運動，鏈條吃上勁，前輪后輪也都跟著順時針運動，自行車自然向右運動了。不過，假如我們把自行車當作一個整體，給自行車一個向左的力，似乎自行車應該向左運動更合理才對。

那么實際情況到底是怎樣的呢？大家不妨自己找一輛自行車嘗試一下。下面是我對這個問題的理論解釋，雖然我盡量讓它看起來更通俗一些，但是這依然屬于一個難度較大的問題，大家如果理解過程有困難，可以直接跳到最后的結(jié)果處。

大家看：腳踏板轉(zhuǎn)動帶動中軸，中軸通過鏈條帶動后軸，后軸帶動后輪，后輪與地面摩擦…本質(zhì)上這是個圓周運動問題，我們先來回憶一下高中物理中怎么講這部分知識的：

當一個物體在做圓周運動時，在一小段時間Δt內(nèi)會有一段運動位移Δs，也會同時轉(zhuǎn)過一個圓心角Δθ。我們把單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的距離做線速度v，把單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度叫做角速度ω。

比方說：地球赤道上有一個人，隨著地球在24小時內(nèi)轉(zhuǎn)動了一圈，運動的距離就是赤道的周長——大約4萬公里，時間是86400秒，于是他的運動速度就是465m/s左右。在這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是360度，用弧度制表示就是2π，于是他的角速度是7.3x10??rad/s。

根據(jù)幾何關系，線速度和角速度之間滿足關系：線速v度等于角速度ω與半徑R的乘積。

這個公式告訴我們：在同樣的角速度下，半徑越大的地方，線速度越大。比如，地球上所有點的角速度都是一樣的，因為世界上任何一個地方的人，都用了24小時隨著地球自轉(zhuǎn)一圈。但是越靠近赤道，轉(zhuǎn)動半徑越大，線速度就越大。反過來越靠近兩極，轉(zhuǎn)動的半徑越小，線速度就越小，如果站在兩極，壓根沒有自轉(zhuǎn)速度。

毛主席說：坐地日行八萬里，說的就是赤道地區(qū)。中國古代有個傳說——夸父追日。如果夸父在赤道地區(qū)，需要達到465m/s的速度才能追上太陽，但是如果在南極或者北極，他壓根不需要跑，只需要轉(zhuǎn)腦袋，就能一直看到太陽了。

好吧基礎知識就復習到這里了?，F(xiàn)在我們開始正式解題。

我們首先把自行車的腳踏板、中軸、鏈條、后軸和后輪畫出，并且設它們的轉(zhuǎn)動半徑分別是r1、r2、r3、r4，如果下方的腳踏板受到向后的力，那么腳踏板相對于地面，一定向后運動。這是因為外力必須做正功，才能讓車運動起來。我們要計算的問題就是：當下方腳踏板向后運動時，車軸是順時針運動還是逆時針運動？這也就直接決定了車的運動方向。

首先，假設中軸是順時針運動的，并且角速度是ω1，那么后軸也一定是順時針運動的，設角速度為ω2，兩個軸靠著鏈條相連，所以它們的線速度是相等的。根據(jù)公式（2）可知：

若車輪順時針轉(zhuǎn)動，自行車必然向前（向右）運動，設速度為v，這個速度也等于自行車上所有不轉(zhuǎn)動的軸心的速度。每一個轉(zhuǎn)動點的速度都由兩部分構成，一是跟著自行車一起向前運動的速度v，二是由于轉(zhuǎn)動具有的線速度ωr。

我們看后輪的著地點：它具有向前的平動速度v和向后的轉(zhuǎn)動速度ω2r4。

由于它是著地點，與地面之間是相對靜止的，地面沒有動，因此著地點的速度也是零。得到公式：

再看下方腳踏板：它具有向前的速度v和向后的ω1r1

剛才我們說到：下方腳踏板受到向后的力，它的合速度向后。設這個速度叫做v1，那么有

現(xiàn)在，我們把（3）（4）（5）式聯(lián)立，約掉ω1和ω2，得到踏板速度v1和自行車速度v的關系：

終于，我們可以進行討論了！這個表達式中，腳踏板的速度v1方向一定與我們的假設相同，是向左（向后）的，所以v1>0; 但是由于右側(cè)表達式中有減法，所以，車的速度v不一定和我們的假設（向右）一致，實際上：

• 當r1r3-r2r4>0時，v>0，這表示車的運動方向與我們假設的向右一致——向后拉動腳踏板，自行車前進。在踏板半徑和車輪半徑一定的情況下，中軸半徑r2越小，后軸半徑r3越大，越容易滿足情況，這時我們自行車處于較低檔位。

• 當r1r3-r2r4<0時，v<0，這表示車的運動方向與我們假設的向右相反——向后拉動腳踏板，自行車后退。在踏板半徑和車輪半徑一定的情況下，中軸半徑r2越大，后軸半徑r3越小，越容易滿足情況，這時我們自行車處于較高檔位。

• 當r1r3-r2r4=0時，無論如何（6）式都不可能滿足,這表示在某個特殊情況下，我們不可能向后拉動腳踏板——如果力氣太大了，車輪會在地面上滑動，但是不會出現(xiàn)滾動。

綜上所述：當自行車處于較低檔位的時候，向后拉動下方腳踏板，自行車會前進；而自行車處于較高檔位的時候，向后拉動下方腳踏板，它會后退。也有個別情況，自行車會把自己鎖住。我嘗試了好幾輛自行車，向后拉動腳踏板，自行車都是后退的，可能我的自行車都比較高檔吧。

其實，大家還可以思考一個問題：如果踏板并非處于最低點，而是處于其他位置，當我們拉動腳踏板時，自行車的運動結(jié)果又是如何呢？先說明，不同的位置，結(jié)果是不一樣的哦！

這個問題原本出自《200道物理學難題》，在上個學期末給同學上競賽課的時候講到，結(jié)果掛在了黑板上。后來，我請教了第四十八屆國際物理奧林匹克競賽金牌高昊陽同學，給出了完美的解答，在此特別表示感謝！

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