今日話題：關(guān)于有理數(shù)無理數(shù)的問題。 之前（指兩年半以前）有幸能得到數(shù)學(xué)科普自媒體大老李的指點(diǎn)，然后對有理數(shù)無理數(shù)這些做一些調(diào)整。 首先糾正一個(gè)錯(cuò)誤觀點(diǎn)，就是「無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)的定義是錯(cuò)誤的」。因?yàn)槿魏斡邢扌?shù)或者無限循環(huán)小數(shù)，我們都能寫成分?jǐn)?shù)的形式。舉個(gè)例子說明問題： 比如說，M=3.1415941594159……就這樣，4159一直循環(huán)下去，前面是3.1。 step1. 我們只需要把這個(gè)數(shù)給乘十，那就是： 10M=31.41594159…… 這樣一來小數(shù)點(diǎn)后面就全是41594159……這樣的循環(huán)了。 step2. 我們設(shè)一個(gè)數(shù)： A=0.41594159…… 就是原數(shù)乘以十減去其整數(shù)部分。 step3. 把A除以10的其循環(huán)節(jié)的位數(shù)次方，這個(gè)例子中是4，也就是10?，變成： （1/10000）×A=0.000041594159…… step4. 將A與A除以10?得到的數(shù)相減： A -（1/10000）×A=0.4159 也就是： （9999/10000）×A=0.4159=4159/10000。 計(jì)算得： A=4159/9999 step5. 將10M與A相減，得： 10M - A=31 求出： 10M=（31×9999+4159）/10000。 所以M成功用分?jǐn)?shù)表示。 用同樣的模板（模板為什么正確不證明了），我們不難發(fā)現(xiàn)，只要你是個(gè)無限循環(huán)小數(shù)，我管你怎么樣照樣給你變分?jǐn)?shù)，也就是兩個(gè)非零整數(shù)之商。有限小數(shù)更不用說。 所以，除了0之外，如果不能用兩個(gè)非零整數(shù)表示，那就一定不是有理數(shù)。 然后，首先用反證法，就能證明n次根號m如果不是整數(shù)就一定不是有理數(shù)（n，m均為整數(shù)）【這個(gè)在陳景潤的黑皮書《初等數(shù)論》里有詳細(xì)介紹】。 這就打響了無理數(shù)的第一槍——無理數(shù)存在性。她們用這樣的方式宣告著她們的存在，宣告著世界上肯定是存在有理數(shù)之外的一種數(shù)的，宣告著在有理數(shù)的稠密當(dāng)中，摻雜著一種全新的事物。 她就藏在看似密不透風(fēng)的有理數(shù)之網(wǎng)當(dāng)中，引誘著人去發(fā)現(xiàn)她，走進(jìn)她。 我們知道，一切實(shí)數(shù)都是整數(shù)和小數(shù)的集合，所以既然是小數(shù)，又是兩個(gè)整數(shù)表示不出來的數(shù)，那就是不能用兩個(gè)整數(shù)之比表示的小數(shù)唄，而無限循環(huán)和有限小數(shù)能用兩個(gè)整數(shù)之比表示的。所以怎么說？那不就是無限不循環(huán)唄。 在今后的發(fā)展歷程中，有不少曾經(jīng)習(xí)以為常地使用的數(shù)，也被證明了是無理數(shù)。在這里分享一個(gè)視頻號： BV1eb411n7Le 戴德金分割固然是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)度超高的定義方式，但是終究還是晦澀難懂，咱就一凡夫俗子，還是來點(diǎn)簡單的東西。至于【不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)】這個(gè)定義，本身就是錯(cuò)誤的，因?yàn)樘摂?shù)也不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比。 咱就是說，有的時(shí)候沒必要拿自己懂的東西出來秀優(yōu)越感，無論是科普自媒體還是RAP聽眾，科普自媒體的目的應(yīng)該是科普而不是拿知識差來秀優(yōu)越，聽「優(yōu)秀說唱作品」的也應(yīng)該是以推薦自己愛的為主而不是搞的跟個(gè)懂王一樣高高在上，你懂個(gè)錘子啊你。