不管怎么說，還是先放出Maxwell方程：

它總不會出問題，碰到各種奇怪的問題總是可以回到這個式子?，F(xiàn)在我們想考慮磁介質(zhì)，那就必須引入一些額外的東西/模型/特定性假設(shè)。磁介質(zhì)的模型有分子電流模型和磁荷模型兩個，并不存在哪個對哪個錯的問題，因?yàn)閺姆肿咏嵌瓤炊叨际清e的，實(shí)際的分子既沒有環(huán)狀電流也沒有磁單極子，而是由電子自旋、核自旋、電子的軌域運(yùn)動貢獻(xiàn)的磁矩。所以分子電流和磁荷都是描述磁介質(zhì)的等價模型而已，并不是說真的由分子電流或者磁荷。所以不應(yīng)該把哪個當(dāng)作另一個的補(bǔ)充或者附屬。

如果從分子電流觀點(diǎn)來看，那就是要在Maxwell方程組基礎(chǔ)上加上一些特定性假設(shè)：介質(zhì)內(nèi)部是一個個小電流環(huán)。這些磁偶極子會貢獻(xiàn)出凈的電流，導(dǎo)致Maxwell方程中多處一些項(xiàng)。分子電流觀點(diǎn)中，基本量是E和B，其他的都是衍生量。

把介質(zhì)磁矩的體積密度記為M（磁化強(qiáng)度矢量）。那本構(gòu)關(guān)系就是M[E,B]，最簡單的情況就是線性磁化：

那么M怎么產(chǎn)生凈電流呢？隨便一畫就可以看出來：

把這個磁化電流和束縛電荷、束縛電流一起加到Maxwell方程里邊，就得到

在目前的觀點(diǎn)下，這兩個都是輔助量，沒有物理意義，單純是數(shù)學(xué)上的簡化過程，就算不引入，仍然可以更直觀的直接用P和M求解。

這樣事情就辦完了。

如果從磁荷觀點(diǎn)看，那就是另外一套對于介質(zhì)的特定性假設(shè)：介質(zhì)由（真空中沒有的）磁荷構(gòu)成，介質(zhì)的總磁荷總是0（磁荷不能在宏觀上分離開來，必須以磁偶極子的形式成對存在。換句話說，沒有自由磁荷，只有束縛磁荷），但是對于外加磁場，分子的磁荷可以分離開來（磁極化），產(chǎn)生新的磁場。這時候就沒有分子電流了。

磁荷觀點(diǎn)下，基本的物理量是磁場強(qiáng)度H。這里的H并不a priori地和前面那個H一樣，二者的物理意義是完全不同的?，F(xiàn)在的H是電流和磁荷產(chǎn)生出來的物理量，前面的H則單純是一個輔助量。只是為了兩個理論等價，我們才a posteriori地把二者劃上等號。

磁荷直觀上很好理解，完全跟電荷是對偶的一回事。磁荷記為q_m，單位是Nm/A。同時直接把電場中的\epsilon_0對偶過去變成\mu_0。所以對偶地，就有

再加上

就變成靜磁場的基本規(guī)律（新的Maxwell方程）。這樣磁荷也有Coulumb定律、磁偶極子等等。所以H叫磁場強(qiáng)度不是沒有理由的，因?yàn)樗娴氖呛碗妶鰪?qiáng)度對應(yīng)的磁場強(qiáng)度。

真空中沒有磁荷，磁荷只能在介質(zhì)中存在，在外界磁場H下，磁分子磁極化，也可以有位移極化和取向極化，不過一般都當(dāng)作磁偶極子的取向極化。于是可以類似地定義磁極化強(qiáng)度矢量J（單位體積磁偶極矩，注意這個磁偶極矩和通常說的磁矩會差一個\mu_0，這是量綱的原因；所以才要換一個符號）。磁極化對Maxwell方程的影響就是要假如一項(xiàng)“束縛磁荷”（不過沒人叫它束縛磁荷，因?yàn)閴焊淮嬖谧杂纱藕桑?/p>

上面的磁荷觀點(diǎn)僅僅是對于靜磁場而言。對于含t的Maxwell方程會如何還沒考慮過，再說。

最后，如果我們a posteriori地把這個H和分子電流的H看成一樣的話，那么很容易看出這個Maxwell方程和分子電流的Maxwell方程是等價的。而且，這時候如果要去掉“束縛磁荷”，引入的輔助性物理量恰好就是B。也就是說，分子電流觀點(diǎn)下B是基本量，H是輔助量，但磁荷觀點(diǎn)下反過來。這樣說來二者就沒有孰高孰低了。

回想一下上面干了什么。其實(shí)就是對于靜磁場的兩個式子：

做了不同的物理意義闡釋。如果把H當(dāng)作輔助量，就是普通的那樣。如果把B當(dāng)作輔助量，自然會引入一個\nabla\cdot H=blabla的項(xiàng)，它的物理意義就是磁荷。不過這么看來這個磁荷和磁單極子還是不太一樣，它是介質(zhì)的一個“磁分布”的刻畫，到頭來B還是無散的，一般B有散才叫磁單極子。這里只不過是等價的概念轉(zhuǎn)換。所以這套理論并沒有真的涉及什么磁單極子之類玄妙的話題。

話說回來能不能對電場也做類似的對偶的概念轉(zhuǎn)換？嘗試做一下，會發(fā)現(xiàn)需要引入“磁流”這種東西，也就是磁荷的流動。一個小磁流圈產(chǎn)生電場。然后我們甚至可以把整個介質(zhì)中Maxwell方程轉(zhuǎn)化為以H和D為基本量的形式：

電荷產(chǎn)生電場，沒有問題。

磁流產(chǎn)生環(huán)狀的電場。磁流又有兩部分，一部分是極化磁流，另一部分是束縛磁荷的運(yùn)動帶來的磁流。另外還有一個電磁感應(yīng)部分。

磁荷產(chǎn)生磁場，這里的磁荷是束縛磁荷。

電流產(chǎn)生環(huán)狀磁場，再加上電磁感應(yīng)的部分。

于是整個還是像模像樣的一套方程，只不過束縛電荷～束縛磁荷，束縛電流～束縛磁流，磁化電流～極化磁流。

于是我們回過頭來看一下這到底是怎么一回事。從最基本的Maxwell方程出發(fā)：

我們想考察介質(zhì)。介質(zhì)會多出一些東西：束縛電荷、束縛電流、磁化電流。這就是介質(zhì)的特定性假設(shè)。假如我們把這個特定性假設(shè)換成：束縛磁荷+束縛磁流+極化磁流，也可以等價地刻畫介質(zhì)，只不過此時基本量就變成D和H了，基本方程也變成D和H描繪的包含磁荷的方程。

這兩套刻畫方式的中介物就是：

總結(jié)一下就是這幅圖：

兩邊是等價的。

不管怎么說Maxwell方程是有duality transformation symmetry的，所以這也不奇怪，只是數(shù)學(xué)上的對偶而已。注意，方程對偶的同時，介質(zhì)假設(shè)也要對偶，這樣才合得上。而且這樣看來，似乎并不是H和D自動低人一等，那么電磁場能量中E*D和H*B出來也就不顯得奇怪了。

所以總的來說，分子電流觀點(diǎn)和磁荷觀點(diǎn)到底是怎么回事呢？無非是把方程中的變量對偶(E,B~D,H)，同時把對介質(zhì)的看法(電分子～磁分子)也對偶一下，得到一個等價觀點(diǎn)罷了。（自由）磁單極子在這套理論中還是不存在的。磁荷畢竟比電流環(huán)想象起來方便一點(diǎn)，所以用磁荷觀點(diǎn)還是不錯的。而且如果討論受力的話，磁荷就簡單多了。

無非是兩個物理圖像，如果想理解B就用分子電流，想理解H就用磁荷。比如說我問這樣一個問題：永磁體內(nèi)部的B和H是長什么樣的？B無非是等效成電流環(huán)，H無非是等效成兩邊的正負(fù)磁荷：

有人會覺得內(nèi)部怎么B和H反向了，磁導(dǎo)率變成負(fù)數(shù)了？根本不是這樣。這時候壓根沒法定義磁導(dǎo)率，畢竟是鐵磁質(zhì)，不是順磁性或者逆磁性的那些簡單玩意。B和H壓根不是一個方向的，沒法除，更別談磁導(dǎo)率了。磁滯回線倒是可以談?wù)劇１緲?gòu)關(guān)系是很復(fù)雜的。

話說回來，當(dāng)我們看D和H這兩個輔助量的定義的時候，感覺是反過來的，加變成減，乘變成除，而且磁化也是用\chi_mH來刻畫，為什么不用B來定義？因?yàn)檫@兩個都是charge觀點(diǎn)，這樣才是吻合的。這樣我們就能夠理解為什么這里面物理量的定義很奇怪。

基本的理論就到此為止。下面是一些雜七雜八的東西。

磁學(xué)中，最要緊的兩個東西無非是線圈和磁介質(zhì)。磁介質(zhì)在前面已經(jīng)討論過了，用磁荷觀點(diǎn)看是比較直觀的，比如說磁極的異性相吸同性相斥從磁荷來看就是顯然的，從分子電流來看反而比較繞。而線圈無非就是磁偶極子。下面討論一下線圈的問題。

出發(fā)點(diǎn)不是Maxwell方程，而是d'Alembert方程，其解和電勢是一樣的，再取一個散度就得到Biot-Sarvart定律：

（這里要注意取散度是對r還是r'，有時候會犯迷糊）

磁偶極子在均勻外磁場中不受力（磁荷觀點(diǎn)來看是最簡單的），力矩為m\times B。這很容易記住，就是把磁偶極子轉(zhuǎn)向磁場的方向。電偶極子就是p\times E，一樣的。

電偶極子的電場似乎不太會用到，用的更多的還是Coulumb定律。但是磁偶極子的磁場就用的很多了，因?yàn)闆]有磁單極子，多級展開第一項(xiàng)就是它，不管是單個電流環(huán)還是線圈都是現(xiàn)實(shí)生活中極其常見的。用Biot-Sarvart定律算出磁偶極子的磁場為：

（除去原點(diǎn)這個奇點(diǎn)）。立方衰減很好理解，因?yàn)榇藕傻膸靵龆墒瞧椒剿p，偶極子低一階。

這個是對磁偶極子r->0的極限來說的。對于有限大小的電流環(huán)來說，這只是一階近似。嚴(yán)格的結(jié)果要加上高階項(xiàng)，這里只給出軸線上的結(jié)果：

只是把分母的r換成了距離線圈上每個點(diǎn)的距離，所以還是很容易記的。這個肯定是要把分母換大的，要不然圓心處就是奇異值了，不應(yīng)該。

把這個結(jié)果積分（非常簡單的計(jì)算），就得到線圈軸線上的磁場：（有很簡單的表達(dá)式；特別是對于無限長和半無限長線圈）

至此，對于磁偶極子、有限小電流環(huán)和線圈產(chǎn)生的磁場，我們就都知道了。

關(guān)于電磁感應(yīng)。無非是這個式子：

也就是說，變化的磁場產(chǎn)生渦旋電場。這部分的（有旋）電場對應(yīng)的Lorentz力就是非靜電力，所以它給出了一個電動勢。不過一般所說的感應(yīng)電動勢分為兩種，一種就是這個感生電動勢：對于一個確定的曲面積分得到

這里的負(fù)號代表負(fù)反饋：產(chǎn)生的電流傾向于阻止B的增大（減?。＿@也就是Lenz定律，實(shí)際上反映的是能量守恒。

但是，

這個式子也經(jīng)常被用在另外一個電動勢：動生電動勢。它可以理解為磁場不變，但是區(qū)域變化，導(dǎo)致Phi的變化。所以說它并不是

對于某個固定曲面積分的后果，而是由Lorentz力提供的非靜電力。Lorentz力并不做功，這個功是外界提供的。但是對于這兩種情況，

都是成立的。所以這個式子用起來就比較方便。

引用一下Feynmann的話，就是：

So the “flux rule”—that the emf in a circuit is equal to the rate of change of the magnetic flux through the circuit—applies whether the flux changes because the field changes or because the circuit moves (or both). The two possibilities—“circuit moves” or “field changes”—are not distinguished in the statement of the rule. Yet in our explanation of the rule we have used two completely distinct laws for the two cases—v×B?for “circuit moves” and??×E=??B/?t?for “field changes.”

We know of no other place in physics where such a simple and accurate general principle requires for its real understanding an analysis in terms of?two different phenomena. Usually such a beautiful generalization is found to stem from a single deep underlying principle. Nevertheless, in this case there does not appear to be any such profound implication. We have to understand the “rule” as the combined effects of two quite separate phenomena.

也就是說，感生電動勢和動生電動勢完全是來自于兩個不同的物理背景，但是巧合的是都可以用磁通量的導(dǎo)數(shù)來刻畫。但是這并不說明感生電動勢和動生電動勢有什么內(nèi)在的聯(lián)系。

單純這樣看起來電磁感應(yīng)是很簡單的。但是具體到一些物理情景下就沒這么簡單了。畢竟flux law并不是第一性原理，很多paradox用flux law看會存在，但回歸到Lorentz+Maxwell就解釋得通了。

如果仔細(xì)想一想的話，電感是個很神奇的物理量。

關(guān)于線圈的自感和互感?，F(xiàn)在需要引入電感的概念。和電阻、電容一樣，很容易想見，電感也是一個幾何量，這三個就構(gòu)成電路的基本元件（也有把憶阻器當(dāng)成第四個的）。按照其對電路的影響定義為：（自感記為L，互感記為M）

電路中電流的變化會產(chǎn)生電動勢，L刻畫的就是這個電動勢會有多大。電感的單位為亨利H，可以換算為V·A-1·s = m2·kg·s-2·A-2。比如這樣一個電感（就是個線圈）：

對于下圖這樣的自感：

容易看出電感為

它為什么是個幾何量？假設(shè)這個線圈里邊的電流時間變化為i(t)，那么可以算出B(r,t)來。簡單一點(diǎn)的做法是從d'Alembert方程出發(fā)，寫出磁矢勢的解。

但是現(xiàn)在不是穩(wěn)恒情況，而是帶有時間變化的，所以d'Alembet方程的解應(yīng)該是推遲勢才對：

但是對于小系統(tǒng)，我們還是干脆把光速看成無窮大算了（其實(shí)這個問題可以坑人：一個太陽系大的線圈，電感還可以套一般的公式算嗎？或者說，推廣到相對論中如何？不管怎么說電感本質(zhì)上其實(shí)只是一個近似的物理量）。于是很容易計(jì)算出：

所以自感就是

它確實(shí)是一個幾何量沒錯。（這個式子會發(fā)散，不過反正我們單純是想說明它是個幾何量，不會按這個公式去計(jì)算，所以無所謂。發(fā)散的原因在于，把導(dǎo)線看成無限細(xì)是不合理的，如果考慮進(jìn)它的橫截面積，積分出來就是一個有限值。隨著r->0，可以這么自導(dǎo)按照ln r趨向于無窮大）

類似的方法可以計(jì)算出互感：

注意到M_{12}=M_{21}，互感是對稱的。

到頭來這些公式并不會用得上，平時計(jì)算的話也只能是對于螺線管來算。

注意到，互感其實(shí)是“憑空”傳輸電能的過程。

磁能，以及自感和互感之間的關(guān)系。

假設(shè)在一個線圈中建立起I的電流。這個過程中需要克服感應(yīng)電動勢，把電能轉(zhuǎn)化為磁能。很容易看出這部分能量為1/2 LI^2。如果從磁場能量密度的角度來看，當(dāng)然也可以算出同樣的結(jié)果，不過沒有必要，記住1/2 LI^2就完事了。

如果是互感的話，還要加上相互作用項(xiàng)MI_1I_2，證明類似。所以總磁能為：

這個式子并不是什么技術(shù)性的結(jié)果，它是本質(zhì)性的，實(shí)際上相當(dāng)于B*H在兩個線圈情形下的特有的分解形式：

三項(xiàng)是一一對應(yīng)的。而且我們可以看出，自感一定是正數(shù)，但是互感可以是負(fù)數(shù)，在H1和H2成鈍角的地方，相互作用的能量密度就是負(fù)數(shù)。實(shí)際上，

這個式子里邊把積分方向（電流方向）換一下就得到負(fù)數(shù)。

通過這個式子我們還看到一個附帶的結(jié)果：二次型的正定性要求

取到等號相當(dāng)于“無漏磁”，也就是互感最大的情況（似乎直接從積分表達(dá)式出發(fā)并不容易看出這個不等式）。一般地，定義coefficient of coupling：

刻畫了兩個電感之間的耦合程度。

這個不等式可以這樣理解。兩個線圈本身的幾何形狀決定了其自感，而不管二者的相對位置如何擺放，互感不會超出\sqrt{L_1L_2}這個自感決定的上限。如果二者離得非常遠(yuǎn)，k基本就是0。如果二者幾乎能夠重合（無漏磁），則k接近于1。

話說回來這個總磁能的分解公式本身也可以作為電感的等價定義，這是趙凱華里面三種定義中最基礎(chǔ)的一條。

關(guān)于暫態(tài)電路。如果i(t)是隨時間變化的，就必須要考慮自感和互感帶來的電動勢。

對于LR電路、RC電路等等，都是直截了當(dāng)?shù)?，不多說了。這里面有一些特征時間，特征時間對應(yīng)的指數(shù)項(xiàng)+初始值+最終值就得到了變化曲線。

關(guān)于順磁性和抗磁性，也就是磁化率\chi_m的正負(fù)號的問題。極化率肯定是正的（不管是位移極化還是取向計(jì)劃），但是磁化率則可能會比較異常。假如單把分子看成電流環(huán)，那磁化率肯定是正的。但是分子的磁矩真要說的話，是電子自旋磁矩+電子軌道磁矩+核自旋磁矩，最后一個太小就忽略掉了。整個分子的磁矩如果非0，那看成一個電流環(huán)沒問題，就是順磁性。如果整個分子的磁矩為0，則它有微弱的抗磁性（雖然經(jīng)典方法[Langevin理論]可以說明，但是終究還是個量子效應(yīng)）。對于有固有磁矩的分子，抗磁性被順磁性掩蓋掉。

話說回來磁介質(zhì)在現(xiàn)實(shí)中用的比電介質(zhì)要多得多，現(xiàn)象上也復(fù)雜得多。順磁性和抗磁性的磁性都很弱，但是另外一種情況是鐵磁質(zhì)，M[H]不是一個單值函數(shù)，并且磁性很強(qiáng)。下面討論鐵磁質(zhì)。

微觀上來說，就是個Ising模型。Curie溫度以下，自發(fā)磁化，磁疇“自發(fā)出現(xiàn)”，有鐵磁性。超過Curie溫度，就變成普通的順磁材料了。

電磁場的能量密度

現(xiàn)在看來這個式子一點(diǎn)也不奇怪，E和D、B和H都是對偶的，整個式子就很舒服。它還可以反過來定義或者計(jì)算電感。這提供了一個等效的計(jì)算自感或者互感的方法，本質(zhì)上沒有新的東西，只是有時候會簡單一點(diǎn)。之前那個電感能量的公式可以視為它的“因式分解”。

關(guān)于邊界條件。直接使用積分形式就得到：B法向連續(xù)，H切向連續(xù)。由此得到一個關(guān)于鐵磁體常識性的圖像：

所以鐵磁體就像導(dǎo)體的磁場對應(yīng)（“理想”的鐵磁體，對于實(shí)際情況只是近似的，畢竟還會有磁場漏出去）。如果進(jìn)一步做對應(yīng)的話，磁通量就是電流（Kirchhoff第一定律，無漏磁），電源就是線圈，同樣有Kirchhoff第二定律或者說Ohm定律。（這個意義下，磁通量并不是一個可有可無的物理量，而是有明確物理意義的，所以賦予它一個專門的單位也無可非議）

上面的這套磁路理論有引入什么新的、獨(dú)立于Maxwell方程的假設(shè)嗎（就像導(dǎo)體一樣）？是有的：實(shí)際上就是對于鐵磁體的特定性假設(shè)（無漏磁）。這樣一個假設(shè)/近似對于考慮磁鐵的時候是經(jīng)常用到的，如果不用的話根本沒法算。

說起來磁鐵這種東西是比較玄妙的，即使學(xué)過電磁學(xué)，但是很多東西算起來還是相當(dāng)不容易。

關(guān)于betatron，有一個穩(wěn)定軌道的1/2條件，還是很巧妙的。

關(guān)于交流電路。首先，交流電路的理論都是不符合Maxwell方程的，就像電感的定義本身就不符合Maxwell方程一樣。我們實(shí)際上做的是似穩(wěn)近似，也就是要求波長遠(yuǎn)大于電路的尺度，這樣每個時刻都可以近似看成一個靜電場，要不然連電壓的概念都沒法成立。不過好在光速非?？?，對于一個m尺度的電路，只有頻率超過3e8Hz的高頻電路才會出問題，所以似穩(wěn)近似一般是沒什么問題的。如果是微波的話，傳統(tǒng)的電路理論就完全不行，必須要老老實(shí)實(shí)用Maxwell方程。

交流電理論說白了很簡單，就是把直流理論里的電流和電壓變成phasor（相量，即除去exp(j\omega t)時變部分的物理量，用tilde與原先的物理量區(qū)分），把電阻變成阻抗就完事了。其它都跟直流電路完全一樣。但是具體用Kirchhoff的時候，還是要注意一下互感這回事（同名端/異名端），這并不是沒用的，它會在變壓器原理中體現(xiàn)。這樣理論上所有東西都清楚了。前面的這套理論相當(dāng)于Maxwell方程在似穩(wěn)近似下在交變電路中的代數(shù)化形式，沒有必要從Maxwell開始推，只需要用這個代數(shù)形式玩就可以了。

用這些簡單的規(guī)律就能算出很多有意思的結(jié)果，比如RC低通濾波器：

結(jié)合Fourier變換就能知道輸入的波形會給出怎樣的輸出波形。這種玩意在Mathematica里很容易模擬。之后關(guān)于功率，功率因數(shù)，諧振電路之類的東西都是直截了當(dāng)?shù)摹５切枰貏e注意的是變壓器這種東西。它當(dāng)然無非是代數(shù)Kirchhoff可以推出來的，但是因?yàn)橛兄雍唵蔚默F(xiàn)成結(jié)論，而且極其常用，所以連Kirchhoff都可以省略，只需要記住現(xiàn)成結(jié)論即可，也就是所謂的輸入等效電路和輸出等效電路。

記法是很簡單的，如果N_1>N_2就說明N_1這邊感受到的作用被放大了，如果是阻抗就放大(N_1/N_2)^2，如果是電動勢就放大N_1/N_2。

關(guān)于量綱。

磁感應(yīng)強(qiáng)度：標(biāo)準(zhǔn)的是特斯拉T，這是個很大的單位，比如一般核磁共振是幾個T。另外一個常用的單位是高斯Gs，是T的萬分之一。同時由此導(dǎo)出磁通量單位韋伯Wb=T*m^2。磁導(dǎo)率的物理意義體現(xiàn)在磁路中。

真空磁導(dǎo)率：4π×10?7?V·s/(A·m)；真空電容率8.8541878128(13)×10?12?F?m?1。這兩個單位確實(shí)麻煩，記住數(shù)值就可以了。至于單位，如果要用的話，還是從Maxwell方程里推比較好。

磁場強(qiáng)度：國際單位制中并沒有一個專門給它的單位，從介質(zhì)Maxwell方程可以看出單位應(yīng)該是A/m。在CGS單位制中有一個專門的單位奧斯特Os，1Os=1000/4π A/m，大概是80左右。同理，從介質(zhì)Maxwell方程也能看出D的單位應(yīng)該是C/m^2。

以上就是Maxwell方程中出現(xiàn)的東西。