拓端tecdat|R語言貝葉斯MCMC：GLM邏輯回歸、Rstan線性回歸、Metropolis Hastings與Gi
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什么是頻率學派？
在頻率學派中，觀察樣本是隨機的，而參數是固定的、未知的數量。
概率被解釋為一個隨機過程的許多觀測的預期頻率。
有一種想法是 "真實的"，例如，在預測魚的生活環(huán)境時，鹽度和溫度之間的相互作用有一個回歸系數？
什么是貝葉斯學派？
在貝葉斯方法中，概率被解釋為對信念的主觀衡量。
所有的變量--因變量、參數和假設都是隨機變量。我們用數據來確定一個估計的確定性（可信度）。
這種鹽度X溫度的相互作用反映的不是絕對的，而是我們對魚的生活環(huán)境所了解的東西（本質上是草率的）。
目標
頻率學派
保證正確的誤差概率，同時考慮到抽樣、樣本大小和模型。
缺點：需要對置信區(qū)間、第一類和第二類錯誤進行復雜的解釋。
優(yōu)點：更具有內在的 "客觀性 "和邏輯上的一致性。
貝葉斯學派
分析更多的信息能在多大程度上提高我們對一個系統(tǒng)的認識。
缺點：這都是關于信仰的問題! ...有重大影響。
優(yōu)點: 更直觀的解釋和實施，例如，這是這個假設的概率，這是這個參數等于這個值的概率?？赡芨咏谌祟愖匀坏亟忉屖澜绲姆绞健?/p>
實際應用中：為什么用貝葉斯
具有有限數據的復雜模型，例如層次模型，其中
實際的先驗知識非常少
貝葉斯法則：
一些典型的貝葉斯速記法。
注意:
貝葉斯的最大問題在于確定先驗分布。先驗應該是什么？它有什么影響？
目標:
計算參數的后驗分布：π（θ|X）。
點估計是后驗的平均值。
一個可信的區(qū)間是
你可以把它解釋為一個參數在這個區(qū)間內的概率 。
計算
皮埃爾-西蒙-拉普拉斯（1749-1827）（見：Sharon Bertsch McGrayne: The Theory That Would Not Die)
有些問題是可分析的，例如二項式似然-貝塔先驗。
但如果你有很多參數，這是不可能完成的操作
如果你有幾個參數，而且是奇數分布，你可以用數值乘以/整合先驗和似然（又稱網格近似）。
盡管該理論可以追溯到1700年，甚至它對推理的解釋也可以追溯到19世紀初，但它一直難以更廣泛地實施，直到馬爾科夫鏈蒙特卡洛技術的發(fā)展。
MCMC
MCMC的思想是對參數值θi進行 "抽樣"。
回顧一下，馬爾科夫鏈是一個隨機過程，它只取決于它的前一個狀態(tài)，而且（如果是遍歷的），會生成一個平穩(wěn)的分布。
技巧 "是找到漸進地接近正確分布的抽樣規(guī)則（MCMC算法）。
?
有幾種這樣的（相關）算法。
Metropolis-Hastings抽樣
Gibbs 抽樣
No U-Turn Sampling (NUTS)
Reversible Jump
一個不斷發(fā)展的文獻和工作體系!
Metropolis-Hastings 算法
開始:
跳到一個新的候選位置:
計算后驗:
如果
如果
轉到第2步
Metropolis-Hastings: 硬幣例子
你拋出了5個正面。你對θ的最初 "猜測 "是
MCMC:
p.old <- prior *likelihoodwhile(length(thetas) <= n){theta.new <- theta + rnorm(1,0,0.05)p.new <- prior *likelihoodif(p.new > p.old | runif(1) < p.new/p.old){theta <- theta.newp.old <- p.new}
畫圖:
hist(thetas[-(1:100)] )curve(6*x^5 )
采樣鏈：調整、細化、多鏈
那個 "朝向 "平穩(wěn)的初始過渡被稱為 "預燒期"，必須加以修整。
怎么做？用眼睛看
采樣過程（顯然）是自相關的。
如何做？通常是用眼看，用acf()作為指導。
?為了保證你收斂到正確的分布，你通常會從不同的位置獲得多條鏈（例如4條）。
有效樣本量
MCMC 診斷法
R軟件包幫助分析MCMC鏈。一個例子是線性回歸的貝葉斯擬合（α,β,σ
plot(line)
預燒部分:
plot(line[[1]], start=10)
MCMC診斷法
查看后驗分布（同時評估收斂性）。
density(line)
參數之間的關聯性，以及鏈內的自相關關系
levelplot(line[[2]])acfplot(line)
統(tǒng)計摘要
運行MCMC的工具（在R內部）
邏輯Logistic回歸：嬰兒出生體重低
logitmcmc(low~age+as.factor(race)+smoke )
plot(mcmc)
MCMC與GLM邏輯回歸的比較
MCMC與GLM邏輯回歸的比較
對于這個應用，沒有很好的理由使用貝葉斯建模，除非--你是 "貝葉斯主義者"。 你有關于回歸系數的真正先驗信息（這基本上是不太可能的）。
一個主要的缺點是 先驗分布棘手的調整參數。
但是，MCMC可以擬合的一些更復雜的模型（例如，層次的logit MCMChlogit）。
Metropolis-Hastings
Metropolis-Hastings很好，很簡單，很普遍。但是對循環(huán)次數很敏感。而且可能太慢，因為它最終會拒絕大量的循環(huán)。
Gibbs 采樣
在Gibbs吉布斯抽樣中，你不是用適當的概率接受/拒絕，而是用適當的條件概率在參數空間中行進。 并從該分布中抽取一次。
然后你從新的條件分布中抽取下一個參數。
比Metropolis-Hastings快得多。有效樣本量要高得多!
BUGS（OpenBUGS，WinBUGS）是使用吉布斯采樣器的貝葉斯推理。
JAGS是 "吉布斯采樣器"
其他采樣器
漢密爾頓蒙特卡洛（HMC）--是一種梯度的Metropolis-Hastings，因此速度更快，對參數之間的關聯性更好。
No-U Turn Sampler（NUTS）--由于不需要固定的長度，它的速度更快。這是STAN使用的方法（見http://arxiv.org/pdf/1111.4246v1.pdf）。
(Hoffman and Gelman 2011)
其他工具
你可能想創(chuàng)建你自己的模型，使用貝葉斯MC進行擬合，而不是依賴現有的模型。為此，有幾個工具可以選擇。
BUGS / WinBUGS / OpenBUGS (Bayesian inference Using Gibbs Sampling) - 貝葉斯抽樣工具的鼻祖（自1989年起）。WinBUGS是專有的。OpenBUGS的支持率很低。
JAGS（Just Another Gibbs Sampler）接受一個用類似于R語言的語法編寫的模型字符串，并使用吉布斯抽樣從這個模型中編譯和生成MCMC樣本?？梢栽赗中使用rjags包。
Stan（以Stanislaw Ulam命名）是一個類似于JAGS的相當新的程序--速度更快，更強大，發(fā)展迅速。從偽R/C語法生成C++代碼。安裝：http://mc-stan.org/rstan.html**
Laplace’s Demon?所有的貝葉斯工具都在R中： http://www.bayesian-inference.com/software
STAN
?
要用STAN擬合一個模型，步驟是:
為模型生成一個STAN語法偽代碼（在JAGS和BUGS中相同
運行一個R命令，用C++語言編譯該模型
使用生成的函數來擬合你的數據
STAN示例--線性回歸
STAN代碼是R（例如，具有分布函數）和C（即你必須聲明你的變量）之間的一種混合。每個模型定義都有三個塊。
1.數據塊:
int n; //vector[n] y; // Y 向量
這指定了你要輸入的原始數據。在本例中，只有Y和X，它們都是長度為n的（數字）向量，是一個不能小于0的整數。
2. 參數塊
?real beta1; ?// slope
這些列出了你要估計的參數：截距、斜率和方差。
3. 模型塊
sigma ~ inv_gamma(0.001, 0.001);yhat[i] <- beta0 + beta1 * (x[i] - mean(x));}y ~ normal(yhat, sigma);
注意:
你可以矢量化，但循環(huán)也同樣快
有許多分布（和 "平均值 "等函數）可用
請經常參閱手冊！?https://github.com/stan-dev/stan/releases/download/v2.9.0/stan-reference-2.9.0.pdf
2. 在R中編譯模型
你把你的模型保存在一個單獨的文件中， 然后用stan_model()命令編譯這個模型。
這個命令是把你描述的模型，用C++編碼和編譯一個NUTS采樣器。相信我，自己編寫C++代碼是一件非常非常痛苦的事情（如果沒有很多經驗的話），而且它保證比R中的同等代碼快得多。
注意：這一步可能會很慢。
3. 在R中運行該模型
這里的關鍵函數是sampling()。還要注意的是，為了給你的模型提供數據，它必須是列表的形式
模擬一些數據。
X <- runif(100,0,20)Y <- rnorm(100, beta0+beta1*X, sigma)
進行取樣!
sampling(stan, Data)
這里有大量的輸出，因為它計算了
print(fit, digits = 2)
MCMC診斷法
為了應用coda系列的診斷工具，你需要從STAN擬合對象中提取鏈，并將其重新創(chuàng)建為mcmc.list。
extract(stan.fitalply(chains, 2, mcmc)
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