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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號(hào)

在本筆記本中，我們向讀者介紹了基本的隨機(jī)波動(dòng)率模型，并通過(guò)連續(xù)順序重要性重采樣討論了它們的估計(jì)。我們使用收益率數(shù)據(jù)集來(lái)討論 CSIR 在隨機(jī)波動(dòng)率模型估計(jì)中的實(shí)現(xiàn)和性能。

第一個(gè)隨機(jī)波動(dòng)率模型

令 yt 為時(shí)間 t?的股票收益，σt 為其標(biāo)準(zhǔn)差?？紤]以下離散時(shí)間隨機(jī)波動(dòng)率模型：

?

zt～N(0,1) 和 ηt～N(0,τ2) ，

τ>0 和 |φ1|<1 以確保波動(dòng)率遵循平穩(wěn)過(guò)程。直觀地說(shuō)，波動(dòng)過(guò)程被建模為一個(gè)潛在過(guò)程，其中 log(σ2t) 遵循 AR(1) 過(guò)程。在下一個(gè)塊中，我們模擬了這個(gè)過(guò)程。在筆記本上，我們將繼續(xù)處理這些模擬數(shù)據(jù)。為簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，我們定義 αt=log(σ2t) 和 θ=(?0,?1,τ) 為參數(shù)向量。

1. ## ＃＃我們模擬數(shù)據(jù)。

2. ##我們?cè)O(shè)定pi_0 = 0.05, pi = 0.98, tau = 0.02

3. 


4. 


5. ##模擬數(shù)據(jù)的函數(shù)

6. 


7. #Input 2: T - 時(shí)間序列的大小

8. #Ouput: retF - 模擬的收益率（y）和波動(dòng)率（alpha）。

9. 


10. pi <- thta[2] # 自相關(guān)系數(shù) phi

11. tu2 <- heta[3] # 具有tau2方差的正常誤差

12. 


13. eta <- rorm(T, 0, sqrt(tau2)) # AR(1)波動(dòng)率模型的誤差

14. z <- rnrm(T, 0, 1) # 倍增項(xiàng)回報(bào)模型

15. alha[1] <- cost # 在開(kāi)始階段沒(méi)有自相關(guān)的觀察值

16. 


17. # 仿真時(shí)間序列

18. smdf <- s_sm(theta, T)

19. y <- smdf$y

20. lpa <- smdf$apha

隱馬爾可夫模型：定義

上面顯示的模型屬于更一般的隱馬爾可夫模型類(lèi)。設(shè) h(αt|αt-1;θ) 為躍遷密度，g(yt|αt;θ) 為測(cè)量密度。那么在這種情況下，躍遷密度和測(cè)量密度都是高斯的，其中?

?和?

.

序列蒙特卡羅

對(duì)于估計(jì)，我們使用序列蒙特卡羅，通過(guò)生成 P?隨機(jī)抽取，稱(chēng)為“粒子”，以近似預(yù)測(cè)和過(guò)濾密度。雖然有很多變體，但我們只討論（連續(xù)）序列重要性重采樣（SIR）。

SIR有兩個(gè)步驟，預(yù)測(cè)和過(guò)濾步驟。

預(yù)測(cè)步驟?如下：?

• 輸入：粒子?

• 從?

• ;

• 輸出：對(duì)于每個(gè)粒子?

• ?利用躍遷密度對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行傳播，得到一個(gè)新的預(yù)測(cè)粒子，即?

具有連續(xù)序列重要性重采樣的過(guò)濾步驟：算法

連續(xù)序列重要性重采樣(CSIR) 是 SIR 的一種變體，它提供了過(guò)濾粒子的連續(xù)版本。該方法的主要優(yōu)點(diǎn)是它確保模擬似然相對(duì)于參數(shù) θ?的向量是“平滑的”，以便能夠使用基于梯度的優(yōu)化方法進(jìn)行優(yōu)化。

使用 CSIR 的過(guò)濾步驟的算法如下：

• 輸入：

• 具有條目 u(j) 的排序均勻隨機(jī)采樣向量（拒絕采樣）；

• 對(duì)于定義為 W(i)t 的每個(gè)粒子 α(i)t 在 yt 處評(píng)估的正態(tài) PDF；

• 從預(yù)測(cè)密度 α(i)t 中排序。

代碼

下面我們生成粒子集，并使用 SIR 近似過(guò)濾和預(yù)測(cè)密度。在第一個(gè)圖中，我們顯示了預(yù)測(cè)密度平均值及其 95 和 5 分位數(shù)。在同一個(gè)圖中，我們還繪制了波動(dòng)率的真實(shí)值。在第二個(gè)圖中，我們繪制了過(guò)濾密度的熱圖。黑線(xiàn)是真正的波動(dòng)率。

1. # --> （原始）序列重要性取樣算法：過(guò)濾步驟

2. 


3. # 輸入 1: appr - 預(yù)測(cè)密度

4. # 輸入 2: aha_t - 在 y[t]評(píng)估的正態(tài) pdf

5. # 輸入 3: u - 排序均勻的隨機(jī)采樣向量(拒絕采樣)

6. # 輸出：alphp - 粒子過(guò)濾

7. 


8. 


9. # 排序和加權(quán)的速度減慢

10. alhawt <- alph_wt/sum(alpha_wt)

11. alpa_rt <- cbind(seq(1,P,1),alpha_pr)

12. alhapr_id <- lpha_sort[order(alha_r[,2]),]。

13. alhapr <- alpha_ridx[,2]

14. alph_ix <- alha_p_idx[,1]

15. alha_wt <- alp_w[alpha_idx]

16. alhacwt <- c(0, cumsum(alpha_wt))

17. 


18. j <- 1

19. for (i in 1:P)

20. while((aphawt[i] < u[j]) && (u[j] <= alpawt[i+1])){

21. lp_up[j] <- alpa_r[i] 。

22. 


23. 


24. }

25. 


26. # ----------------------------------------------------------------------

27. # 設(shè)置粒子過(guò)濾

28. # ----------------------------------------------------------------------

29. P <- 200 # 設(shè)置粒子的數(shù)量

30. lph_up <- rnorm(P,0,0.1)

31. alpar <- rep(0,P)

32. aha_w <- rep(1,P)/P

33. 


34. alphup_mt <- matrix(rep(0,T*3),T)

35. ala_pmat <- matrix(rep(0, T*3),T)

36. ah_prare <- matrix(rep(0, T*20),T)

37. 


38. 


39. # 從一個(gè)近似值中生成一個(gè)由P個(gè)隨機(jī)抽樣組成的粒子集

40. # 每個(gè)時(shí)間序列點(diǎn)的預(yù)測(cè)和過(guò)濾分布的近似值

41. for (t in 1:T){

42. # 預(yù)測(cè)步驟

43. appr <- nst + phi * alpp + rnorm(P,0,srt(tau2))

44. # 更新/過(guò)濾步驟(態(tài)密度)

45. ahat <- dnorm(y[t]*rep1,P), mean=0 , sd = exp(phar/2)

46. alpap <- sir(alhapr=aph_r,alhawt=alpa_t, u=sort(runif(P,0,1))

47. # 繪制預(yù)測(cè)密度圖

48. 


49. plot(sqrt(252) * exp(alpha/2), type='l')

50. 


51. ## 篩選密度熱圖

52. 


53. het <- matrix(rep(1,T*20), T, 20)

54. 


55. plot(NULL, xlim = c(1, T), ylim = c(0, 160), main="過(guò)濾密度熱圖",

在下一部分中，我們提供了 CSIR 的 R 和 C 版本。R 版本僅出于代碼可讀性的目的而提供。

1. ###連續(xù)序列重要性重取樣：過(guò)濾步驟

2. 


3. # 輸入 1: alppr - 預(yù)測(cè)密度

4. # 輸入 2: alhawt - 在 y[t]處評(píng)估的正態(tài) pdf

5. # 輸入 3: u - 排序均勻的隨機(jī)采樣向量(拒絕采樣)

6. # 輸出：ala_up - 粒子過(guò)濾（連續(xù)版本）。

7. 


8. # R版本(性能較慢)

9. cir <- function(aph_r, phwt, u) {

10. P <- length(aphpr)

11. 


12. al_p <- rep(0,P)

13. 


14. # 排序和加權(quán)的速度減慢

15. alpha_wt <- alpha_wt/sum(alpha_wt)

16. 


17. 


18. j <- 1

19. for (i in 1:P){

20. while((a_ct[i] < u[j]) & (u[j] <= alhwt[i+1])){

21. alh_u[j] <- aph_pr[i] + ((apapr[i+1]-alar[i])/(ala_ct[i+1]-alpha_cwt[i]) * (u[j]-ala_wt[i])

22. 


23. }

24. 


25. 


26. csir.c <- function(alppr, aht, u) {

27. P <- length(alpap)

28. ala_u <- rep(0,P)

29. .C("cir", alpup=as.dole(aphup),

30. alha_pr=as.double(aha_r),

31. alh_wt=as.doublephawt),

32. u=as.double(u),

我們現(xiàn)在提供用于最大化對(duì)數(shù)似然和估計(jì)參數(shù) θ 的代碼。為了計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差，我們使用在 MLE 評(píng)估的對(duì)數(shù)似然的 Hessian 矩陣的逆矩陣的對(duì)角線(xiàn)。

我們現(xiàn)在可以轉(zhuǎn)到參數(shù) θ 的估計(jì)。使用 C 中的函數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

vas <- sfit(y, c(0.5,0.5,0.5), P, 1)

?

1. ## 顯示結(jié)果

2. matrix <- cbind(heta_mle

3. ,eta_se)

4. 矩陣

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