學(xué)不明白的數(shù)學(xué)分析（六十二）

2023-02-27 18:11 作者:不能吃的大魚 0人讀過(guò) | 我要投稿

這是數(shù)學(xué)分析部分的最后一篇啦！

其實(shí)也挺快的，從下冊(cè)開始寫到現(xiàn)在，一共也就一個(gè)多月……果然東西雖然是越來(lái)越難的，但是因?yàn)楹颓懊娴穆?lián)系十分的緊密，所以前面的東西一旦講完，對(duì)于學(xué)習(xí)后面的東西也是相當(dāng)有裨益的，于是速度也就越來(lái)越快，內(nèi)容也相對(duì)緊湊了一些。

Fourier級(jí)數(shù)部分因?yàn)榉旁跀?shù)學(xué)分析部分其實(shí)講不了太多，這部分內(nèi)容實(shí)際上是十分有必要去單獨(dú)學(xué)習(xí)的，將其混在其他內(nèi)容當(dāng)中去學(xué)習(xí)也不太可能吸收得到太多東西。所以，有一些內(nèi)容也會(huì)略寫，甚至用圖片來(lái)展示。有興趣的小伙伴是可以自己去參閱專門的Fourier分析的教材或者文獻(xiàn)的，這里我就不多講了~

那我們就開始最后一篇吧！

Chapter? Seventeen? Fourier分析

17.4? 平方平均逼近

對(duì)于一般的連續(xù)函數(shù)，我們已經(jīng)知道可以用代數(shù)多項(xiàng)式和三角多項(xiàng)式進(jìn)行一致逼近。那么，對(duì)于不連續(xù)的函數(shù)，又有什么樣的結(jié)論呢？

對(duì)于代數(shù)多項(xiàng)式，我們暫不討論；而對(duì)于三角多項(xiàng)式而言，一般而言也做不到。如果大家已經(jīng)實(shí)際操作過(guò)Fejér定理的證明，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上我們利用了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性。如果這一性質(zhì)得不到滿足，那么證明就不再成立，從而我們也能就明白為什么非連續(xù)函數(shù)很有可能無(wú)法被三角多項(xiàng)式一致逼近。更簡(jiǎn)單點(diǎn)說(shuō)，就是：

$%5Csup_%7B-%5Cpi%20%5Cle%20x%20%5Cle%20%5Cpi%7D%7C%20f(x)-T_n(x)%7C%5Crightarrow%200%5Cquad(n%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E)$

在函數(shù)的間斷點(diǎn)處一般無(wú)法被滿足。

于是，如果此時(shí)我們還想尋求函數(shù)的逼近方式，我們只能退而求其次，放寬逼近的要求，以期得到能夠逼近的結(jié)論；同時(shí)，逼近的性質(zhì)還能比較好，能夠讓我們處理很多的問題。

這種想法類似于我們上一節(jié)介紹的放寬收斂性的思路，所以此時(shí)我們要做的，就是重新定義一種逼近方式，使得通常意義下的能夠被三角多項(xiàng)式一致逼近的函數(shù)在新的定義下仍然能被三角多項(xiàng)式逼近，而通常意義下不能被三角多項(xiàng)式一致逼近的函數(shù)有一部分能夠在新的意義下做到逼近。

我們?cè)贔ourier級(jí)數(shù)的收斂性中定義的Cesàro求和，實(shí)際上就是以部分和序列的平均值作為新的意義下的部分和序列，以其收斂性定義Fourier級(jí)數(shù)的收斂性。我們吸收借鑒這種平均化的思想，定義一種新的逼近方式，即：

$%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20(f(x)-T_n(x))%5E2%5Ctext%20dx%20%5Crightarrow%200%5Cquad(n%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E)$

（這種平均值可以理解為類似概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)當(dāng)中介紹的殘差。）

我們稱這種逼近方式為平方平均逼近。

顯然，如果函數(shù) $f$ 能夠被三角多項(xiàng)式一致逼近，則其一定能被三角多項(xiàng)式平方平均逼近；反之則不一定成立。

此時(shí)，我們對(duì)要討論的 $f$ 的要求弱一些，只需滿足 $f%5E2$ 在 $%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$ 上可積且絕對(duì)可積。我們將其記為：

$f%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$

由于：

$%7Cf%7C%5Cle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(1%2Bf%5E2)$

則由比較判別法，我們就知道 $f$ 在 $%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$ 上一定可積且絕對(duì)可積。

我們前面提到過(guò)，積分相當(dāng)于是求函數(shù)間的內(nèi)積。而這一概念實(shí)際上對(duì)我們討論平均平方逼近的問題有著重要作用，因此，我們需要引入函數(shù)內(nèi)積的定義：

對(duì)任意的 $f%2Cg%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ ，稱積分：

$%5Cleft%20%5Clangle%20f%2Cg%5Cright%20%5Crangle%3D%5Cint_a%5Eb%20f(x)g(x)%5Ctext%20dx$

為 $f$ 和 $g$ 的內(nèi)積，其性質(zhì)與向量?jī)?nèi)積（數(shù)量積）類似。有了內(nèi)積的定義之后，我們進(jìn)而定義：

$%5C%7Cf%5C%7C%3D%5Csqrt%7B%5Cleft%20%5Clangle%20f%2Cf%5Cright%20%5Crangle%7D%20%3D%5Cbigg(%5Cint_a%5Eb%20f%5E2(x)%5Ctext%20dx%5Cbigg)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D$

稱為函數(shù) $f$ 的范數(shù)。不難證明，函數(shù)的范數(shù)與向量的范數(shù)之間具有相同的性質(zhì)。（包括正定性，線性和三角不等式。）

類比于向量的相關(guān)知識(shí)，當(dāng) $f%2Cg%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ 滿足：

$%5Cleft%20%5Clangle%20f%2Cg%5Cright%20%5Crangle%3D%5Cint_a%5Eb%20f(x)g(x)%5Ctext%20dx%3D0$

時(shí)，我們稱 $f$ 和 $g$ 是正交的。

設(shè) $%5C%7B%5Cvarphi%20_1%2C%5Cvarphi%20_2%2C%5Ccdots%5C%7D$ 是 $%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ 上的一個(gè)函數(shù)系。如果其滿足：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cleft%20%5Clangle%20%5Cvarphi_k%2C%5Cvarphi%20_l%5Cright%20%5Crangle%3D%5Cint_a%5Eb%20%5Cvarphi_k(x)%5Cvarphi_l(x)%5Ctext%20dx%3D%0A%5Cbegin%20%7Bcases%7D%0A0%2C%26k%E2%89%A0l%5C%5C%0A%5Clambda%20_k%2C%26k%3Dl%0A%5Cend%20%7Bcases%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

就稱其為 $%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ 上的一個(gè)正交函數(shù)系，簡(jiǎn)稱為正交系；若同時(shí)還有 $%5Clambda%20_k%3D1$ ，就稱其為規(guī)范正交系。

按照這個(gè)定義，我們就可以說(shuō)，三角函數(shù)系是一個(gè)正交系，而在每一個(gè)函數(shù)前都乘一個(gè)對(duì)應(yīng)的常系數(shù)來(lái)修正，修正之后的三角函數(shù)系就是規(guī)范正交系。

于是我們就知道，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)實(shí)際上是函數(shù)向一個(gè)特殊的規(guī)范正交系展開得到的結(jié)果。那我們就來(lái)思考一下，能否改變展開所面對(duì)的函數(shù)系，從而定義新的Fourier級(jí)數(shù)呢？

按照這樣的想法，我們定義：

設(shè) $%5C%7B%5Cvarphi_k%5C%7D$ 是 $%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ 上的一個(gè)規(guī)范正交系。對(duì)任意的 $f%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ ，稱：

$c_k%3D%5Cleft%20%5Clangle%20f%2C%5Cvarphi_k%5Cright%20%5Crangle%3D%5Cint_a%5Eb%20f(x)%5Cvarphi_k(x)%5Ctext%20dx$

為 $f$ 關(guān)于 $%5C%7B%5Cvarphi_k%5C%7D$ 的Fourier系數(shù)，由此產(chǎn)生的級(jí)數(shù)：

$f(x)%5Csim%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20c_n%5Cvarphi%20_n(x)$

稱為 $f$ 向 $%5C%7B%5Cvarphi_k%5C%7D$ 展開成的Fourier級(jí)數(shù)。

可以想見，此時(shí)Fourier級(jí)數(shù)的收斂性問題，實(shí)際上就是序列：

$S_n(x)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20c_k%5Cvarphi_k(x)$

的收斂性問題。我們將形如：

$T_n(x)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%5Cgamma%20_k%5Cvarphi_k(x)$

稱為n次 $%5Cvarphi%20$ 多項(xiàng)式。

我們現(xiàn)在要問的是，什么樣的函數(shù)系可以保證可積且絕對(duì)可積的函數(shù)展開得到的Fourier級(jí)數(shù)可以被n次 $%5Cvarphi%20$ 多項(xiàng)式平方平均逼近（下面簡(jiǎn)稱為被函數(shù)系平方平均逼近）？

我們做一些簡(jiǎn)單的推導(dǎo)，就可以得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cint_a%5Eb%20(f(x)-T_n(x))%5E2%5Ctext%20dx%26%3D%5Cint_a%5Eb%20f%5E2(x)%5Ctext%20dx-2%5Cint_a%5Ebf(x)T_n(x)%5Ctext%20dx%2B%5Cint_a%5EbT_n%5E2(x)%0A%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%3D%5C%7Cf%5C%7C%5E2-2%5Cleft%20%5Clangle%20f%2CT_n%5Cright%20%5Crangle%2B%5C%7CT_n%5C%7C%5E2%5C%5C%0A%26%3D%5C%7Cf%5C%7C%5E2-2%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%5Cgamma%20_k%5Cleft%20%5Clangle%20f%2C%5Cvarphi_k%5Cright%20%5Crangle%2B%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20%5Csum_%7Bj%3D0%7D%5En%20%5Cgamma%20_i%5Cgamma%20_j%5Cleft%20%5Clangle%20%5Cvarphi_i%2C%5Cvarphi_j%5Cright%20%5Crangle%5C%5C%0A%26%3D%5C%7Cf%5C%7C%5E2-2%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%5Cgamma%20_kc_k%2B%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%5Cgamma%20_k%5E2%5C%5C%0A%26%3D%5C%7Cf%5C%7C%5E2-%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20c_k%5E2%20%2B%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20(c_k-%5Cgamma%20_k)%5E2%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

如果我們想讓 $f$ 能夠被函數(shù)系平方平均逼近，顯然就需要確定一組多項(xiàng)式系數(shù)，來(lái)使得右側(cè)的最終結(jié)果是趨近于0的。在這樣的思路啟發(fā)下，我們不難想到，如果等號(hào)右側(cè)的最終結(jié)果有一個(gè)最小值，且這個(gè)最小值能夠趨近于0，那么我們的結(jié)論也就成立了；而如果等號(hào)右側(cè)的結(jié)果沒有最小值或者最小值做不到趨近于0，那么我們也沒辦法讓函數(shù)系能夠平方平均逼近原本的函數(shù)。

顯然，等號(hào)右側(cè)最終結(jié)果的最小值只在：

$c_k%3D%5Cgamma_k%5Cquad(k%3D0%2C1%2C2%2C%5Ccdots%20n)$

時(shí)成立，也就是說(shuō)，只有用于逼近的多項(xiàng)式系數(shù)等于對(duì)應(yīng)的Fourier系數(shù)的時(shí)候，等號(hào)右側(cè)的最終結(jié)果才能取到最小值。進(jìn)一步地，我們還有：

設(shè) $f%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ ， $%5C%7B%5Cvarphi_k%5C%7D$ 是 $%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ 上的一個(gè)規(guī)范正交系， $%5C%7Bc_k%5C%7D$ 是為 $f$ 關(guān)于 $%5C%7B%5Cvarphi_k%5C%7D$ 的Fourier系數(shù)。則有：

（1）

$%5Cforall%20n%5Cin%20N%5E*%EF%BC%8C%5C%7B%5Cgamma%20_k%5C%7D%5Csubset%20%5Cmathbf%20R%EF%BC%8C%5C%7Cf-%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%5Cgamma%20_k%5Cvarphi_k%5C%7C%5Cge%20%5C%7Cf-%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20c_k%5Cvarphi_k%5C%7C$

（2）

$%5C%7Cf-%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20c_k%5Cvarphi_k%5C%7C%5E2%3D%5C%7Cf%5C%7C%5E2-%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20c_k%5E2%EF%BC%8C%5C%7Cf%5C%7C%5E2%5Cge%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20c_k%5E2$

（3）

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20c_n%5E2%5Cle%20%5C%7Cf%5C%7C%5E2$

考慮到平方平均逼近的定義，結(jié)合上述的結(jié)論（2），我們不難得到：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5Cint_a%5Eb%20(f(x)-T_n(x))%5E2%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5C%7Cf-T_n(x)%5C%7C%5E2%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5Cbigg(%5C%7Cf%5C%7C%5E2-%20%20%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20c_k%5E2%5Cbigg)%3D0$

也即：

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20c_n%5E2%3D%5C%7Cf%5C%7C%5E2$

也就是說(shuō)，當(dāng)且僅當(dāng)結(jié)論（3）中的等號(hào)可以取到的時(shí)候， $f$ 才可以被函數(shù)系平方平均逼近。

我們將結(jié)論（2）中的不等式稱為Bessel不等式，而將：

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20c_n%5E2%3D%5C%7Cf%5C%7C%5E2$

稱為Parseval等式或者封閉性方程。

如果一個(gè)函數(shù)系能夠?qū)θ我獾?img type="latex" class="latex" src="https://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=f%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D" alt="f%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D">都滿足Parseval等式，就稱該函數(shù)系是完備的。

現(xiàn)在，我們可以說(shuō)，對(duì)于任意的 $f%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ ，都能被至少一個(gè)完備規(guī)范正交系上的 $%5Cvarphi%20$ 多項(xiàng)式平方平均逼近，這個(gè)多項(xiàng)式就是 $f$ 向該函數(shù)系展開的Fourier級(jí)數(shù)的部分和。

有了這個(gè)結(jié)果以后，我們回到原本的Fourier級(jí)數(shù)上來(lái)，我們就要考慮，規(guī)范正交三角函數(shù)系是否是完備的呢？

答案是顯然的，證明就留給各位小伙伴思考啦~

（分別考慮Riemann可積函數(shù)和反常絕對(duì)可積函數(shù)并給出證明即可~）

通過(guò)以上討論，我們最終得到了許多有用的結(jié)果：

（1）具有相同三角Fourier級(jí)數(shù)的兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，則這兩個(gè)連續(xù)函數(shù)在都有定義的部分恒等；

（2）推廣的Parseval等式：

設(shè) $f%2Cg%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ ，其Fourier級(jí)數(shù)分別為：

$f(x)%5Csim%20%5Cfrac%7Ba_0%7D%7B2%7D%20%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20(a_n%5Ccos%20nx%2Bb_n%5Csin%20nx)$

$g(x)%5Csim%20%5Cfrac%7B%5Calpha%20_0%7D%7B2%7D%20%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20(%5Calpha%20_n%5Ccos%20nx%2B%5Cbeta%20%20_n%5Csin%20nx)$

則有：

$%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20f(x)g(x)%5Ctext%20dx%3D%5Cfrac%7Ba_0%5Calpha_0%7D%7B2%7D%20%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20(a_n%5Calpha_n%2Bb_n%5Cbeta_n)$

我們最后揭示一個(gè)十分令人驚訝的性質(zhì)——Fourier級(jí)數(shù)的積分收斂性。

事實(shí)上，從平方平均逼近的定義來(lái)看，利用Cauchy-Schwarz不等式，我們不難得到：

$%5Cint_a%5Eb%20(f(x)-T_n(x))%5E2%5Ctext%20dx%5Cint_a%5Eb1%5E2%5Ctext%20dx%5Cge%20%5Cbigg(%5Cint_a%5Eb(f(x)-T_n(x))%5Ctext%20dx%5Cbigg)%5E2$

左右兩側(cè)同時(shí)關(guān)于n取極限，就得到了：

$%5Cint_a%5Ebf(x)%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5Cint_a%5EbT_n(x)%5Ctext%20dx$

即：

$%5Cint_a%5Eb%20f(x)%5Ctext%20dx%3D%5Cint_a%5Eb%20%5Cfrac%7Ba_0%7D%7B2%7D%20%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cint_a%5Eb(a_n%5Ccos%20nx%2Bb_n%5Csin%20nx)%5Ctext%20dx$

那么，到此為止，有關(guān)Fourier級(jí)數(shù)的內(nèi)容就全部完成了~這也就意味著，整個(gè)數(shù)學(xué)分析部分的內(nèi)容也就到此為止了……好快啊，突然有點(diǎn)后悔寫這么快了（哭）。主要是在寫的過(guò)程中其實(shí)我也傾注了相當(dāng)多的心血，馬上就要完結(jié)了，這種感覺就像是有很重要的東西就這么消失了或者被奪走了……有一點(diǎn)小難受，所以就有點(diǎn)不想完結(jié)（哭笑不得）。

不過(guò)能幫助到大家就好啦！至于新坑，看情況開吧~最后還有一部分Fourier積分與變換的內(nèi)容，不過(guò)我并不打算介紹，可能會(huì)單獨(dú)開一篇以圖片的形式展示上去吧~

思考：

寫出規(guī)范正交三角函數(shù)系的通項(xiàng)，并證明這是個(gè)完備函數(shù)系；
證明有關(guān)三角Fourier級(jí)數(shù)的兩個(gè)結(jié)論；
證明： $%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20c_n%3D0%20$
利用對(duì)函數(shù)：

$f(x)%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%20%5Cquad(-%5Cpi%EF%BC%9Cx%EF%BC%9C%5Cpi)$

的Fourier級(jí)數(shù)，證明：

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D%7B6%7D%20%20$
證明：設(shè) $a_n%2Cb_n$ 均是 $f%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ 的Fourier系數(shù)，則級(jí)數(shù)：

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%5Cfrac%7Ba_n%7D%7Bn%7D%EF%BC%8C%20%20%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cfrac%7Bb_n%7D%7Bn%7D%20$

均收斂。
證明：級(jí)數(shù)：

$%5Csum_%7Bn%3D2%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cfrac%7B%5Csin%20nx%7D%7B%5Cln%20n%7D%20$

在不含2π的區(qū)間上一致收斂，但它不是 $%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ 中任意函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)。