在數(shù)學(xué)中，階乘大小的估計(jì)是一個(gè)常見的問題，而階乘大小的量級也很尷尬。當(dāng)n充分大時(shí)，n！大于任意指數(shù)函數(shù)，而又小于n^n。

于是斯特林公式（Stirling's approximation）便很好得估計(jì)了階乘的數(shù)量級。在本篇文章，我們重點(diǎn)通過分析學(xué)方法證明斯特林公式，并給出一些常用結(jié)論；在下一篇文章我們重點(diǎn)介紹其在數(shù)學(xué)競賽中的運(yùn)用。

注意：學(xué)習(xí)本文需要熟練掌握極限、積分基本知識(shí)

一、Wallis公式

Wallis公式是證明斯特林公式的前提，也與階乘有關(guān)，在此我們需要引入另一種階乘符號：

；。

接下來我們引入定積分

令

利用分部積分：

利用積分性質(zhì)：

上式

將積分分為兩部分

由此

借助

累乘可得：；

而又由序列的遞減性質(zhì)：

得

得

根據(jù)夾逼準(zhǔn)則得到Wallis公式：

二、Stirling公式

證明斯特林公式需要我們引入序列

這個(gè)序列單減且有下界，我們留給讀者證明。

接下來，

由Wallis公式：

（以上步驟有些繁雜，讀者請自行計(jì)算驗(yàn)證）

得

由此可知：與同階！

最后我們以兩個(gè)常用的不等式作為延伸結(jié)束文章，請讀者將其作為練習(xí)自行完成。

（提示：）

①

②