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設(shè)而不求，整體代換（第二彈）（2020課標(biāo)Ⅲ，11）

2023-01-06 12:27 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過 | 我要投稿

（2020課標(biāo)Ⅲ，11）設(shè)雙曲線 $C$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ （ $a%3E0$ ， $b%3E0$ ）的左、右焦點(diǎn)分別為 $F_1$ 、 $F_2$ ，離心率為 $%5Csqrt%7B5%7D$ . $P$ 是 $C$ 上一點(diǎn)，且 $F_1P%5Cbot%20F_2P$ .若 $%5Cbigtriangleup%20PF_1F_2$ 的面積為 $4$ ，則 $a%3D$ （? ? ）

A. $1$

B. $2$

C. $4$

D. $8$

解：

如圖，設(shè) $%5Cleft%7C%20PF_1%20%5Cright%7C%3Dm$ ， $%5Cleft%7C%20PF_2%20%5Cright%7C%3Dn$ ，

依據(jù)題意可得 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09c%3D%5Csqrt%7B5%7Da%2C%5C%5C%09m-n%3D2a%2C%5C%5C%09m%5E2%2Bn%5E2%3D%5Cleft(%202c%20%5Cright)%20%5E2%2C%5C%5C%09%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmn%3D4.%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

即 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09m-n%3D2a%2C%5C%5C%09m%5E2%2Bn%5E2%3D20a%5E2%2C%5C%5C%09mn%3D8.%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Ccolor%7Bred%7D%7Bm%5E2%2Bn%5E2%7D-2%5Ccolor%7Bred%7D%7Bmn%7D%3D%5Cleft(%20%5Ccolor%7Bred%7D%7Bm-n%7D%20%5Cright)%20%5E2" alt="%5Ccolor%7Bred%7D%7Bm%5E2%2Bn%5E2%7D-2%5Ccolor%7Bred%7D%7Bmn%7D%3D%5Cleft(%20%5Ccolor%7Bred%7D%7Bm-n%7D%20%5Cright)%20%5E2">，

所以 $20a%5E2-2%5Ctimes%208%3D%5Cleft(%202a%20%5Cright)%20%5E2$ ，