在高數(shù)2（同濟(jì)大學(xué)版本）空間曲面中，我們在課后習(xí)題中會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)奇怪的方程：z=xy. 這個(gè)方程的形式似乎和我們學(xué)習(xí)到的各種空間曲面方程的形式都不沾邊，但事實(shí)上，它是一個(gè)雙曲拋物面（馬鞍面）的形狀，也就是說，它只是一個(gè)雙曲拋物面的特殊情況。那么z=xy的方程是怎樣得到的呢？

下面是它的簡要推導(dǎo)過程（選自百度百科）：

看這個(gè)推導(dǎo)過程，可能還是有點(diǎn)懵逼，尤其是已經(jīng)好久沒碰高數(shù)的同學(xué)。接下來是較為具體的詮釋。

既然是雙曲拋物面，那么我們來回憶一下雙曲拋物面是怎么來的。雙曲拋物面，光看前倆字，是不是覺得它和雙曲線有關(guān)系？事實(shí)上，它和雙曲線無關(guān)，由二維雙曲線推導(dǎo)出來的是旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面與旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面（簡稱旋轉(zhuǎn)法）?而雙曲拋物面是由截痕法得到的，而且是與二維拋物線有關(guān)。這一點(diǎn)，要看后面三個(gè)字。

（同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)）

也就是說，你可以這樣理解，先寫了一個(gè)方程：z=x^2/a^2+y^2/b^2?然后用x=t去截?就會(huì)得到一個(gè)個(gè)開口向下的拋物線，隨著x=t不斷變化，頂點(diǎn)坐標(biāo)變化，兩端看著越來越大，形成一個(gè)馬鞍的形狀。

第二步順著+z方向旋轉(zhuǎn)45度就需要坐標(biāo)變換了，這里

?x=a*cos45-b*sin45 y=a*sin45+b*cos45 代表 空間坐標(biāo)系 Z軸不變 X,Y軸同時(shí)旋轉(zhuǎn) 45度?

為了消去xy前面的系數(shù)，令a=√2，就得到了這樣的形式：z=xy. ①若將 √2帶入最初雙曲拋物面方程，就得到了

②

①與②是全等的，因?yàn)檫@本就是層層推導(dǎo)過來的。有些同學(xué)會(huì)說，令x=2,y=2,兩個(gè)方程得到的z的值都不同，怎么可能全等？那就是定義域的問題了

（懂的都懂吧）