先翻譯條件再證明（2021新高考Ⅱ圓錐曲線(xiàn)）
2022-08-02 12:35 作者:數(shù)學(xué)老頑童 | 我要投稿
（2021新高考Ⅱ，20）已知橢圓
的方程為
（
），右焦點(diǎn)為
，且離心率為
.
（1）求橢圓
（2）設(shè)
、
是
與曲線(xiàn)
（
）相切，證明：
三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是
.
解：由題可知，且
，
解得，
所以，
所以橢圓的方程為
.
（2）先畫(huà)圖
設(shè)直線(xiàn)的方程為
，
即，
因?yàn)橹本€(xiàn)與曲線(xiàn)
（
）相切，
所以，
整理得.
聯(lián)立橢圓與直線(xiàn)
的方程，得
，
所以
，
.
所以
先證充分性：
若，
則，
整理得，
解得，或
（舍）
所以直線(xiàn)的方程為
，
易知其過(guò)點(diǎn)，
即、
、
三點(diǎn)共線(xiàn).
再證必要性：
若、
、
三點(diǎn)共線(xiàn)，
則直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)
，
即，
解得，所以
.
命題得證.
標(biāo)簽：
