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【數(shù)學(xué)競賽】調(diào)和點列（1）

2022-03-26 19:11 作者:Rotas-math_lover 0人讀過 | 我要投稿

本篇文章你需要知道的知識有：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、線束模型

一.調(diào)和點列的定義

設(shè) $C%E3%80%81D$ 兩點分別內(nèi)分和外分線段 $AB$ 成同一比例，即滿足 $%5Cfrac%7BCA%7D%7BCB%7D%3D%5Cfrac%7BDA%7D%7BDB%7D$ ，則稱 $C%E3%80%81D$ 調(diào)和分割線段 $AB$ ，或稱 $C$ 是點 $D$ 關(guān)于 $AB$ 的調(diào)和共軛點，亦稱 $A%EF%BC%8CB%E3%80%81C%EF%BC%8CD$ （注意標(biāo)點符號）成調(diào)和點列

若從直線 $AB$ 外一點 $P$ 引射線 $PA%E3%80%81PB%E3%80%81PC%E3%80%81PD$ ，則稱線束 $PA%E3%80%81PB%E3%80%81PC%E3%80%81PD$ 為調(diào)和線束

二.調(diào)和點列的性質(zhì)（1-2）

性質(zhì)1

如圖， $A%E3%80%81C%E3%80%81B%E3%80%81D$ 是共線的四點， $M$ 為線段 $AB$ 的中點，則 $C%E3%80%81D$ 調(diào)和分割線段 $AB$ 的充要條件是滿足下面六個條件之一

（1） $A%E3%80%81B$ 調(diào)和分割線段 $CD$

（2） $%5Cfrac%7B2%7D%7BAB%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BAC%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BAD%7D$

（3） $AB%C2%B7CD%3D2AC%C2%B7BD%3D2AD%C2%B7BC$

（4） $CA%C2%B7CB%3DCM%C2%B7CD$

（5） $DA%C2%B7DB%3DDM%C2%B7DC$

（6） $MA%5E2%3DMB%5E2%3DMC%C2%B7MD$

這個性質(zhì)的證明比較簡單，這里就不再贅述（具體可以去查幾何分冊）

下面就講一下這幾個等式的理解

對于（1），只需要理解為調(diào)和分割是相互的就行了（實質(zhì)上是運用了更比性質(zhì)）
觀察（2）發(fā)現(xiàn)， $AB$ 是被 $C%E3%80%81D$ 調(diào)和分割的線段， $AC%E3%80%81AD$ 分別是從 $A$ 引出的兩條到 $C%E3%80%81D$ 的線段，三條線段都有方向（因此需要定義任意一個方向為正方向），因此還可以得到以下幾個等式成立（注：由（2）變形為 $AB%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7BAC%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BAD%7D%7D$ ，因此 $AB$ 可以看成是 $AC$ 和 $AD$ 的調(diào)和平均數(shù)）

$%5Cfrac%7B2%7D%7BBA%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BBC%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7BBD%7D$
$%5Cfrac%7B2%7D%7BCD%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7BCA%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BCB%7D$
$%5Cfrac%7B2%7D%7BDC%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BDA%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BDB%7D$

觀察（3）可知 $AB$ 和 $CD$ 是兩條被分割的線段，接下來的 $AC$ 和 $BD%E3%80%81AD$ 和 $BC$ ，是將 $A$ 與 $C%E3%80%81D$ ， $B$ 與 $C%E3%80%81D$ 進行組合
?對于（4）、（5），都是 $C$ 或 $D$ 引出的線段的關(guān)系
5. 對于（6），則是 $M$ 引出的線段之間的關(guān)系

性質(zhì)2?

設(shè) $AB$ 是共線的四點，過共線直線外一點 $P$ ，引射線 $PA%E3%80%81PB%E3%80%81PC%E3%80%81PD$ ，則 $C%E3%80%81D$ 調(diào)和分割線段 $AB$ 的充要條件是滿足以下兩個條件之一

線束 $PA%E3%80%81PB%E3%80%81PC%E3%80%81PD$ 其中一射線的任一平行線被其他三條射線截出相等的兩線段
另一直線 $l$ 交 $PA%E3%80%81PB%E3%80%81PC%E3%80%81PD$ 與 $A'%E3%80%81B'%E3%80%81C'%E3%80%81D'$ 時， $C'%E3%80%81D'$ 調(diào)和分割線段 $A'B'$