本文件 承接 《高維微分學-教與學計劃（第01-04學周）》

§ 05?第05周

§ 05-online?線上學習內(nèi)容

（1）逆映照定理的分析??① 基于隱映照定理，獲得逆映照定理。② 微分同胚的定義，隱映照定理亦稱為局部微分同胚存在性定理；基于局部微分同胚存在性定理可獲得全局微分同胚存在性定理（充分必要條件）。

（2）微分同胚的意義??微分同胚提供了將“不規(guī)則區(qū)域”（物理域）變化為“規(guī)則區(qū)域”（參數(shù)域）的一般方法，籍此可以將發(fā)生在物理域上的事件“等價性”地轉換為參數(shù)域上的事件，具體為將物理域上的偏微分方程轉換為參數(shù)域上的偏微分方程；逆映照定理提供了全部的細節(jié)需要。

§?05-offline?線下講授與討論內(nèi)容

（1）方程變化的方法??① 自變量變化的兩種形式及其處理方法。② 因變量變換的一般形式及其處理方法。

§05-教學視頻

線上學習??高維微分學 微分同胚

分析

應用

線上學習??高維微分學?方程變換的思想與方法

思想闡述

方法闡述

基于微分同胚

基于因果分解

經(jīng)典變換

線下研討??高維微分學?方程變換的事例

§?07-習題文件

§ 07-知識圖示化

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§ 06?第06周

§ 06-online?線上學習內(nèi)容

（1）無限小增量公式及有限增量公式?① 基于直線單參數(shù)化，獲得多元函數(shù)的無限小增量公式及有限增量公式都是將自變量變化限制在直線段上，由此應用一維函數(shù)的無限小增量公式及有限增量公式，并結合復合映照的可微性定理，可獲得相關結論。②多元函數(shù)的無限小分析方法，亦即獲得多元函數(shù)的局部意義下的高階多元多項式逼近的實際方法。

§ 06-offline?線下講授與討論內(nèi)容

（1）多元函數(shù)的無限小分析方法?① 基于直線單參數(shù)化，獲得方向導數(shù)形式的多元函數(shù)的無限小增量公式。② 多元函數(shù)的高階多元多項式逼近的唯一性。③ Landau符號的性質。④ 基于多元函數(shù)的高階多元多項式逼近的唯一性，說明實際獲得復雜多元函數(shù)的高階多元多項式逼近的間接性方法。⑤多元函數(shù)展開至二階的幾何意義，結合線性代數(shù)中二次型理論獲得函數(shù)等高線的類別判定。⑥ 多元函數(shù)極值類別的判定。

§ 06-教學視頻

線上教學? 高維微分學 無限小展開與有限展開

無限小展開方法

有限展開方法

有限增量估計

事例-無限小展開

§?06-習題文件

§?06-知識圖示化

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§ 07?第07周

§ 07-online?線上學習內(nèi)容

（1）?約束上最值問題??① 基于隱映照定理，將約束上的極值問題化成自由極值問題：一般約束方程可理解為m維Euclid空間中k維曲面（1<k<m）的隱式表示形式；由于目標函數(shù)定義在曲面（約束）之上，通過曲面的局部Monge型表示，故原目標函數(shù)等價于直接定義在曲面定義域上的函數(shù)。② 基于矩陣形式的鏈式求導，獲得約束上極值點的控制方程。③將約束上的分布/標量場展開至二階，以此研究約束上極值點的類別。就此過程，推導出 Lagrange條件極值的系統(tǒng)性處理方法（Lagrange乘子法）。② 其它應用。

（2）約束上最值問題的相關應用?① 獲得相關不等式。

§ 07-offline?線下講授與討論內(nèi)容

（1）約束上最值問題的處理方法

（2）約束上最值問題的應用事例

§ 07-教學視頻

線上學習? 高維微分學 最值問題的處理方法

線下研討??高維微分學 最值問題的事例

§?07-習題文件

§ 07-知識圖示化

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2022年12月11日 修訂

2023年04月02日 修訂

復旦力學 謝錫麟