1. 引子：什么是好的數(shù)學(xué)問(wèn)題？

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說(shuō)過(guò)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟?！边@一數(shù)學(xué)名言言簡(jiǎn)意賅地點(diǎn)明了數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)的重要性。

1900 年 8 月，在巴黎召開(kāi)的第二次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特做了題為《數(shù)學(xué)問(wèn)題》的著名演講。這一演講，成為世界數(shù)學(xué)史的重要里程碑，為 20 世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展揭開(kāi)了光輝的一頁(yè)。在這次演講中，希爾伯特提出了 23 個(gè)當(dāng)時(shí)未解決的難題——后來(lái)以“希爾伯特問(wèn)題”著稱，而對(duì)這些難題的研究激勵(lì)推動(dòng)了 20 世紀(jì)整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展。

1985 年，美籍華裔數(shù)學(xué)大師陳省身在南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)研究所成立時(shí)指出，“一定要做好的數(shù)學(xué)”“有好的數(shù)學(xué)和不好的數(shù)學(xué)之分”“要從年輕時(shí)就懂得欣賞好的數(shù)學(xué)”。

從這兩個(gè)事例中，我們可體會(huì)到好的數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)的重要性。那么，什么是好的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？在陳省身看來(lái)，只有那些不斷深入、有發(fā)展前途、可以影響許多學(xué)科的數(shù)學(xué)問(wèn)題才是“好的數(shù)學(xué)”，如解方程。而另一些數(shù)學(xué)問(wèn)題雖然可能也蠻有意思，但難以有進(jìn)一步發(fā)展，它們就是“不好的數(shù)學(xué)”，如“拿破侖定理”。在希爾伯特看來(lái)，好的數(shù)學(xué)問(wèn)題在于它有用且增進(jìn)知識(shí)，數(shù)學(xué)史上的重要問(wèn)題就在于其能創(chuàng)造新方法、建立新理論、開(kāi)辟新領(lǐng)域。簡(jiǎn)單說(shuō)，好的數(shù)學(xué)問(wèn)題就是能為數(shù)學(xué)“下金蛋”的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

那么，古往今來(lái)，哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題能為數(shù)學(xué)“下金蛋”？今天為大家介紹一本《下金蛋的數(shù)學(xué)問(wèn)題》，介紹了能夠“下金蛋”的六大經(jīng)典數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中穿插了數(shù)學(xué)家奇聞?shì)W事，讀來(lái)非常過(guò)癮。

2. 六大經(jīng)典數(shù)學(xué)問(wèn)題

縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，這類重要的、有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題可謂不勝枚舉。本書(shū)所要介紹的正是從代數(shù)、幾何、圖論、數(shù)論中采擷出的 6 個(gè)經(jīng)典數(shù)學(xué)問(wèn)題。

• 在第一章中，我們介紹多項(xiàng)式方程根式解問(wèn)題。這一問(wèn)題涉及的是代數(shù)的中心問(wèn)題：解方程。通過(guò)對(duì)這一問(wèn)題的介紹，我們將看到代數(shù)學(xué)是如何隨著這一問(wèn)題的研究一步一步發(fā)展起來(lái)的。我們還將看到，正是問(wèn)題最終的解決，將代數(shù)學(xué)引向了新的方向。

• 在第二章中，我們介紹幾何三大問(wèn)題，即用尺規(guī)三等分角、倍立方，以及化圓為方。這一類問(wèn)題屬于平面幾何，而問(wèn)題的解決要以解析幾何作為工具。因此，我們?cè)谶@一章中也會(huì)簡(jiǎn)單介紹一下解析幾何。

• 在第三章中，我們介紹歐幾里得第五公設(shè)問(wèn)題。這一問(wèn)題來(lái)自歐氏平面幾何，但對(duì)它 2000 多年的探討卻促使了非歐幾何的創(chuàng)立。我們還將看到，非歐幾何的產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的重要意義及其在相對(duì)論中的應(yīng)用。

• 在第四章中，我們介紹四色問(wèn)題。這一問(wèn)題屬于拓?fù)鋵W(xué)，或更確切地說(shuō)，屬于圖論。我們將看到，誕生于數(shù)學(xué)游戲的拓?fù)鋵W(xué)與圖論是如何隨著四色問(wèn)題的研究得到進(jìn)一步發(fā)展的。最終四色問(wèn)題的計(jì)算機(jī)證明，又引發(fā)了人們對(duì)數(shù)學(xué)證明等問(wèn)題的深入探討。

• 在第五章中，我們介紹費(fèi)馬問(wèn)題。這一問(wèn)題屬于數(shù)論。我們的介紹亦將從數(shù)論的起源開(kāi)始，并簡(jiǎn)單介紹在數(shù)論早期發(fā)展中做出重要貢獻(xiàn)的幾位數(shù)學(xué)家及其工作。最后，我們將以英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯的圓夢(mèng)之旅作為這出精彩數(shù)學(xué)戲劇的尾聲。我們還將從中看到，早期的數(shù)論伴隨著這一問(wèn)題的研究而得以擴(kuò)展形成新的數(shù)學(xué)分支——代數(shù)數(shù)論。

• 在第六章中，我們介紹素?cái)?shù)問(wèn)題。這一同樣屬于數(shù)論的問(wèn)題曾被列入希爾伯特 23 個(gè)問(wèn)題中，也稱為希爾伯特第 8 問(wèn)題。這是一個(gè)涵蓋面非常廣的問(wèn)題。我們將主要介紹數(shù)學(xué)之圣杯：黎曼猜想。這一問(wèn)題與本書(shū)前 5 章介紹的問(wèn)題有一個(gè)重要差別：前者都是已經(jīng)獲解的問(wèn)題，而只有黎曼猜想，這一被許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為是最重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題至今仍是尚未有人登頂?shù)臄?shù)學(xué)高峰。

通過(guò)這幾個(gè)問(wèn)題的清晰介紹，讀者可對(duì)這些問(wèn)題的來(lái)龍去脈獲得清楚認(rèn)識(shí)。而伴隨著這一過(guò)程，讀者的數(shù)學(xué)旅程亦將成為反復(fù)體驗(yàn)“從驚訝到思考”的快樂(lè)之旅。

3.?“從驚訝到思考”的快樂(lè)之旅

首先，讀者會(huì)為這幾個(gè)著名難題擁有的“困難性和簡(jiǎn)單性的某種巧妙組合”特征而驚訝。簡(jiǎn)單性，是指問(wèn)題本身清楚、易于理解。正是這一特點(diǎn)吸引、誘惑著無(wú)數(shù)人走上尋找問(wèn)題解決鑰匙的道路。同時(shí)，無(wú)數(shù)嘗試者的失敗也揭示出這些看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上極度困難。這種問(wèn)題表述“非常簡(jiǎn)單”和問(wèn)題求解“極度困難”的鮮明對(duì)立，是這些問(wèn)題的特別迷人之處，也是令人驚嘆之處。

其次，當(dāng)看到這些問(wèn)題的最終解答時(shí)，讀者可能有更大的驚訝感。一方面，有些問(wèn)題的答案本身出人意料，如高于四次的一般多項(xiàng)式方程沒(méi)有根式解。另一方面，更出人意料的是問(wèn)題的解決途徑。比如，為了證明看上去很簡(jiǎn)單的四色問(wèn)題，我們不得不借助于電子計(jì)算機(jī)。再如，為了證明費(fèi)馬大定理，數(shù)學(xué)家們不得不兜上一個(gè)大圈子證明谷山 - 志村猜想，而為了證明谷山 - 志村猜想，懷爾斯不得不綜合利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多分支的成就。

最后，讀者可能驚訝于這些數(shù)學(xué)問(wèn)題孵出的金蛋之多。通過(guò)書(shū)中例證，我們會(huì)清楚認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)中的重要問(wèn)題，往往會(huì)成為新思想發(fā)展的酵母。為了解決問(wèn)題，數(shù)學(xué)家們往往要提出新概念、新思想，創(chuàng)立新方法，得到新發(fā)現(xiàn)，而這些真知灼見(jiàn)，甚至可能打開(kāi)一扇新分支的大門(mén)。比如，正是在研究多項(xiàng)式方程的根式解問(wèn)題中，天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦提出了群論。再如，在費(fèi)馬大定理的研究中，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺柼岢隽死硐霐?shù)思想，其新思想雖然沒(méi)有徹底解決費(fèi)馬猜想，但極大推動(dòng)了代數(shù)數(shù)論的發(fā)展。

從不斷的驚訝中，讀者不僅會(huì)對(duì)這些重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題有所認(rèn)識(shí)，從中領(lǐng)略它們的魅力，而且可深切體會(huì)“重大而關(guān)鍵的問(wèn)題是活的血液，是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要?jiǎng)恿υ慈?。更重要的是，讀者在驚訝之余，還可做多角度、多層次的深入思考。

• 數(shù)學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系。我們從本書(shū)的介紹中會(huì)反復(fù)體會(huì)到：在一個(gè)領(lǐng)域中發(fā)展的成果，將成為解決另一個(gè)似乎無(wú)關(guān)領(lǐng)域中突出問(wèn)題的關(guān)鍵因素。而這種穩(wěn)固出現(xiàn)的聯(lián)系證實(shí)了數(shù)學(xué)本質(zhì)上的一致性。

• 一般來(lái)說(shuō)，如果繼續(xù)沿著前人的老路去解決著名數(shù)學(xué)問(wèn)題，小改小革難以奏效，對(duì)于有幾百年歷史的老問(wèn)題尤其如此。一個(gè)歷史的經(jīng)驗(yàn)是，要解決問(wèn)題，必須找到新方法和新途徑，特別是發(fā)現(xiàn)與其他領(lǐng)域的新關(guān)系。自然，想依靠初等方法解決這類著名難題的努力注定會(huì)是徒勞的。

• 我們還會(huì)體會(huì)到，抽象的與高深的數(shù)學(xué)是必要的。現(xiàn)代數(shù)學(xué)抽象化的趨勢(shì)，不免引起人們對(duì)數(shù)學(xué)的誤解，認(rèn)為數(shù)學(xué)只是少數(shù)怪杰才能問(wèn)津且遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)的象牙塔。實(shí)際上，數(shù)學(xué)的抽象絕不是無(wú)源之水、無(wú)本之木。書(shū)中提到的群論的誕生即是很好的例證。

真正想從事數(shù)學(xué)研究，并有志解決世界數(shù)學(xué)難題的人，應(yīng)該明白自己努力的方向：打下良好的基礎(chǔ)，具備相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)與修養(yǎng)，掌握所研究領(lǐng)域和課題已有的成果、方法和最新文獻(xiàn)，在此基礎(chǔ)上，再做進(jìn)一步的探討。也就是說(shuō)，任何世界難題的解決，都建立在對(duì)前人成功與失敗的深入了解的基礎(chǔ)之上。如果認(rèn)為自己可以完全獨(dú)立另造一片天空，以解決前人未能解決的問(wèn)題，這只能是白費(fèi)力氣。

從驚訝到思考，我們將加深對(duì)“數(shù)學(xué)是什么”的理解，而且還可體會(huì)到數(shù)學(xué)之美，感受到數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力。另外，書(shū)中還穿插了數(shù)學(xué)家的逸事及相關(guān)的數(shù)學(xué)思想。通過(guò)這種介紹，讀者可從更多側(cè)面了解“數(shù)學(xué)家是什么樣的人”，同時(shí)可對(duì)許多重要數(shù)學(xué)思想有更透徹的認(rèn)識(shí)。本書(shū)是一本數(shù)學(xué)科普讀物，可供廣大師生及所有數(shù)學(xué)愛(ài)好者閱讀。

4. 專業(yè)人士推薦

如果你喜歡數(shù)學(xué)或者正在攻讀數(shù)學(xué)系，但又不太了解這門(mén)學(xué)科的歷史與現(xiàn)狀，那這本書(shū)會(huì)對(duì)你非常有幫助。你將會(huì)穿越到過(guò)去，和書(shū)中的眾多數(shù)學(xué)家一道，在貫穿數(shù)學(xué)史的6個(gè)重要問(wèn)題中不斷探索，不斷前行，收獲許多看課本和刷練習(xí)題無(wú)法學(xué)到的知識(shí)。

——顧森（Matrix67），《思考的樂(lè)趣》作者

這本書(shū)的故事性極強(qiáng)，很多數(shù)學(xué)家有血有肉的性格呼之欲出：伽羅瓦的桀驁不馴、歐拉如貝多芬一樣在失明后的多產(chǎn)、懷爾斯的謙遜和不屈不撓、埃爾德什浪跡天涯般地與人合作……這些精彩的故事、優(yōu)美的數(shù)學(xué)、深邃的思想，必將吸引廣大讀者，追隨著優(yōu)雅的魔笛聲，踏入數(shù)學(xué)的神奇殿堂。

——劉新宇，亞馬遜中國(guó)研發(fā)中心部門(mén)經(jīng)理

在《下金蛋的數(shù)學(xué)問(wèn)題》一書(shū)中，韓雪濤老師從數(shù)學(xué)軌跡中為我們采擷了6個(gè)經(jīng)典數(shù)學(xué)問(wèn)題，每一個(gè)都有自己的傳奇：它的起源如何，在數(shù)學(xué)背景下為什么是重要的，開(kāi)辟怎樣的數(shù)學(xué)分支。我們能夠透過(guò)了解這些問(wèn)題迷人與偉大的意義，提高對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，鍛煉頭腦和思維的力量，激勵(lì)自己像前人那樣頑強(qiáng)學(xué)習(xí)，到達(dá)更廣闊與自由的境界。

——李想，“遇見(jiàn)數(shù)學(xué)”公眾號(hào)創(chuàng)辦人

5. 作者簡(jiǎn)介

韓雪濤

科普作家，另著有《數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)》《從驚訝到思考——數(shù)學(xué)悖論奇景》等，參與編寫(xiě)《十萬(wàn)個(gè)為什么（第六版，數(shù)學(xué)卷）》《數(shù)學(xué)的足跡》（改變世界的科學(xué)叢書(shū)）等。本書(shū)曾入選“2010年新聞出版總署向全國(guó)青少年推薦百種優(yōu)秀圖書(shū)”書(shū)目?！稊?shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)》在2016年入選《環(huán)球科學(xué)》最美科學(xué)閱讀Top10書(shū)單?！稊?shù)學(xué)的足跡》在2016年10月榮獲第四屆中國(guó)科普作家協(xié)會(huì)優(yōu)秀科普作品獎(jiǎng)（圖書(shū)獎(jiǎng)）。