先考慮定義域有限測(cè)度的有界函數(shù)的積分，給定一個(gè)測(cè)度空間，一個(gè)定義在上的實(shí)變函數(shù)函數(shù)，假定值域在區(qū)間內(nèi)，將進(jìn)行分段，考慮每一段,考慮到是可測(cè)函數(shù)，,所以可以取兩個(gè)求和

這兩個(gè)求和會(huì)不會(huì)相等？答案是肯定的，考慮兩個(gè)個(gè)分組,后者比前者更精細(xì)，顯然下和會(huì)變大，上和會(huì)變小，但是下和永遠(yuǎn)小于上和，事實(shí)就是上和和下和的差會(huì)無限小嗎，為什么？所以這種積分的定義方式是合理的，也是符合直觀的。