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這篇文章討論了自回歸綜合移動平均模型 (ARIMA) 和自回歸條件異方差模型 (GARCH) 及其在股票市場預(yù)測中的應(yīng)用。

介紹

一個?ARMA (AutoRegressive-Moving Average)?有兩部分，AR(p)部分和MA(q)部分，表示如下

其中 L 是滯后算子，?i 是白噪聲。它可以通過?Box-Jenkins method. 我們可能會使用?PACF?繪制識別 AR 滯后階數(shù) p，和?ACF?圖以識別 MA 滯后階數(shù) q；或使用信息，例如?AIC?和?BIC?做模型選擇。

ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average)?是 ARMA 的拓展，通過為非平穩(wěn)過程添加階數(shù)為 d 的積分部分。

ARIMA是針對價格水平或收益率的，而GARCH（廣義自回歸條件異方差）則試圖對波動率或收益率平方的聚類進(jìn)行建模。它將ARMA項擴(kuò)展到方差方面。
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作為隨機(jī)波動率模型的離散版本，GARCH也能捕捉到股票市場的厚尾效應(yīng)。因此，將ARIMA和GARCH結(jié)合起來，預(yù)計在模擬股票價格時比單獨一個模型更適合。在這篇文章中，我們將把它們應(yīng)用于標(biāo)普500指數(shù)的價格。

ARIMA

首先，眾所周知，股票價格不是平穩(wěn)的；而收益可能是平穩(wěn)的。ADF單位根檢驗結(jié)果。

1. # 價格是已知的非平穩(wěn)的；收益是平穩(wěn)的

2. import adfuller

3. 


4. rsut = aduler(close)

5. prnt(f'ADF Satitic: {reslt[]}, pale: {rslt1]}') ?# null 假設(shè)：單位根存在；不能拒絕 null。

6. 


7. relt = adfler(histet)

8. prnt(f'ADF Statistic: {reut[0]}, pvaue: {rslt[1]}') ? # 拒絕單位根的空假設(shè) ==> 平穩(wěn)

收益序列的 ADF p 值為 0，拒絕單位根的原假設(shè)。因此，我們在 ARIMA(p, d, q) 中接受 d=1，下一步是識別滯后 p 和 q。ACF 和 PACF 圖表明滯后最多 35 個工作日。如果我們按照圖表進(jìn)行擬合，將有太多參數(shù)無法擬合。一種解決方案是使用每周或每月圖表。在這里，我們將最大滯后時間限制為 5 天，并使用 AIC 選擇最佳模型。

1. for p in rage(6):

2. for q in rage(6):

3. ry:

4. mft = fit(disp=0)

5. ic[(p, q)] = fiaic

6. except:

7. pass

下一步是擬合模型并通過殘差統(tǒng)計評估模型擬合。殘差仍然顯示出一些自相關(guān)，并且沒有通過正態(tài)性檢驗。由于滯后階數(shù)限制，這在某種程度上是預(yù)料之中的。

盡管如此，讓我們繼續(xù)最后一步并使用模型進(jìn)行預(yù)測。下面比較了對測試集的收益率預(yù)測和實際收益率。

收益率預(yù)測以 0% 為中心，置信區(qū)間在 ±2% 之間。結(jié)果并不是特別令人印象深刻。畢竟，市場正在經(jīng)歷一個動蕩的階段，在預(yù)測時間窗口內(nèi)甚至下跌了 6%。

GARCH

讓我們看看加入GARCH效果是否會產(chǎn)生更好的結(jié)果。建模過程類似于ARIMA：首先識別滯后階數(shù)；然后擬合模型并評估殘差，最后如果模型令人滿意，就用它來預(yù)測。

我們將 AR 滯后和 GARCH 滯后都限制為小于 5。結(jié)果最優(yōu)階為 (4,2,2)。

1. 


2. for l in rage(5):

3. for p in rage(1, 5):

4. for q in rage(1, 5):

5. try:

6. mdl = arch(is_et, man='ARX', ?vol='Garch', p=p, o=0, q=q, dist='Nomal')

7. fit(last_obs=spldat)

8. dc_ic[(l, p, q)] =aic

9. except:

10. pass

接下來讓我們根據(jù)選擇的最佳參數(shù)來擬合模型，如下所示。證實了均值模型是AR(4)，方差模型是GARCH(2, 2)。一些系數(shù)在統(tǒng)計上不顯著。

最后但并非最不重要的是，預(yù)測區(qū)間從±4%下降到±3%，然后又反彈到±5%，這清楚地表明了模型的波動性集群。請注意，這里是單步滾動預(yù)測，應(yīng)該比靜態(tài)的多期預(yù)測要好。
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趨勢平穩(wěn)和差分平穩(wěn)

趨勢平穩(wěn)，即確定性趨勢，具有確定性均值趨勢。相反，差分平穩(wěn)具有隨機(jī)趨勢。前者可以用OLS估計，后者需要先求差分。

考慮一個簡單的過程

如果 φ<1，則過程是趨勢平穩(wěn)的；也就是說，如果我們減去趨勢 at，則過程變得平穩(wěn)。若φ=1，則差分平穩(wěn)。將第二個方程代入第一個方程很容易看出隨機(jī)性，并將方程改寫為

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