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一、推理概論

（一）什么是推理

推理是由若干命題得出一個(gè)命題的思維過程

推理是一個(gè)命題序列，其中，由推理得出的命題稱為結(jié)論，其他的命題稱為前提，推理提供前提對(duì)于結(jié)論的證據(jù)支持關(guān)系。

支持關(guān)系回答的問題是：前提的真，在多大程度上能保證結(jié)論的真。

必然性推理：能夠提供百分百證據(jù)支持度的推理稱之為必然性推理

或然性推理：不能夠提供百分百證據(jù)支持度的推理稱之為或然性推理

一般來說，演繹推理是必然性推理，歸納推理、類比推理等是或然性推理。

（二）推理的有效性和其判定

命題有真假之分，推理有對(duì)錯(cuò)之分

推理的有效是針對(duì)推理的性質(zhì)結(jié)構(gòu)而言的，因此推理的有效性也被稱為形式有效性。

一個(gè)推理是有效的，當(dāng)且僅當(dāng)，具有這一推理的任意推理（即其推理形式的任意解釋）都不出現(xiàn)前提真而結(jié)論假的情況。

顯然，解釋的辦法只能判定一個(gè)推理的無效，而不能判定一個(gè)推理的有效，因?yàn)橐粋€(gè)推理形式的解釋是不可能窮盡的。

推理有效性是邏輯學(xué)的中心課題

（三）命題推理及其有效式

在命題邏輯中，我們只研究命題推理。

命題推理：依據(jù)命題之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行的推理，原子命題被當(dāng)做最基本的單位，而對(duì)命題內(nèi)部的結(jié)構(gòu)不再分析。

命題推理的推理形式：只包含命題變項(xiàng)和聯(lián)結(jié)詞的真值形式

命題推理的真值形式是一蘊(yùn)含式——前提的合取 蘊(yùn)涵 結(jié)論

一命題推理是有效的 當(dāng)且僅當(dāng) 它的真值形式是重言的蘊(yùn)含式

二、幾種基本的命題推理

（一）聯(lián)言推理

聯(lián)言推理：前提或者結(jié)論是聯(lián)言命題，或者依據(jù)聯(lián)言命題的邏輯性質(zhì)進(jìn)行的推理

有兩種形式：分解式和合稱式

分解式：p并且q/所以，p? 或者 p并且q/所以，q

合稱式：p q /所以p并且q

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（二）選言推理

選言推理：前提中有一選言命題，依據(jù)選言命題的邏輯性質(zhì)進(jìn)行的推理

分為兩類：相容選言推理和不相容選言推理

①相容選言推理：前提中有一相容選言命題，依據(jù)相容選言命題的邏輯性質(zhì)進(jìn)行的推理

有效的推理規(guī)則是：否定一部分選言之，肯定另一部分的選言支

p或者q 非p/ 所以，q 或者p或者q 非q/ 所以，p

②不相容選言推理：前提中有一不相容選言命題，依據(jù)不相容選言命題的邏輯性質(zhì)進(jìn)行的推理

有效的推理規(guī)則是：

A.否定一個(gè)選言支以外的選言支，可以肯定余下的選言支

B.肯定一個(gè)選言支，否定其他選言支

A的形式：要么p，要么q 非p/所以，q 或者 要么p，要么q 非q/所以，p

B的形式：要么p，要么q p/所以，非q 或者 要么p，要么q q/所以，非p

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（三）假言推理

選言推理：前提中有一假言命題，依據(jù)假言命題的邏輯性質(zhì)進(jìn)行的推理

分為三類：充分條件假言推理 必要條件假言推理 充要條件假言推理

①充分條件假言推理

有效的推理規(guī)則是：

肯定前件可以肯定后件 否定后件可以否定前件

如果p，那么q p/所以，q

如果p，那么q 非q/所以，非p

②必要條件假言推理

有效的推理規(guī)則是：

否定前件可以否定后件 肯定后件可以肯定前件

只有p，才q，非p/所以，非q

只有p，才q，q/所以，p

③充要條件假言推理

有效的推理規(guī)則是：

肯定前件可以肯定后件 否定前件可以否定后件 肯定后件可以肯定前件 否定后件可以否定前件

當(dāng)且僅當(dāng)p，q p/所以，q

當(dāng)且僅當(dāng)p，非q p/所以，非q

當(dāng)且僅當(dāng)p，q q/所以，p

當(dāng)且僅當(dāng)p，q 非q/所以，非p

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（四）兩難推理

兩難推理：由兩個(gè)假言命題和一個(gè)二支的選言命題做前提構(gòu)成的命題推理。

基本形式：如果p，那么r?? 如果q 那么r?? p或者q/所以，r

三、一般命題推理及其判定

判定步驟：

（1）寫出要判定的命題推理的真值形式：先寫出各前提和結(jié)論的真值形式，再將前提用合取連接起來，最后寫出前提蘊(yùn)涵結(jié)論。

（2）尋求方法判定命題推理的蘊(yùn)涵式是否為重言式

方法一、真值表方法（同上一章）

方法二、歸謬賦值法

真值表法在處理多命題變項(xiàng)的時(shí)候顯得臃腫麻煩，而歸謬賦值法是真值表法的簡(jiǎn)化，也稱為簡(jiǎn)化真值表法。

思路：假設(shè)前件真，后件假——給各個(gè)命題賦值——出現(xiàn)矛盾賦值，說明原蘊(yùn)涵式是重言式，反之，原蘊(yùn)涵式不是重言式。

方法三、范式方法

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A.常用重言式：

邏輯規(guī)律：

(1)同一律 p→p

(2)分離律 ((p→q)∧p)→q

(3)排中律 p∨?p

(4)矛盾律?(p∧?p)

重言蘊(yùn)涵式：

(5)否定后件律((p→q)∧?q)→?p

(6)析取否定肯定律 ((p∨q)∧?p)→q?? ((p∨q)∧?q)→p

(7)合取分解律 (p∧q)→p?? (p∧q)→q

(8)連鎖蘊(yùn)涵式((p→q)∧(q→r))→(p→r)

(9)歸謬律 (p→(r∧?r))→?p

(10)析取添加律 p→(p∨q)

重言等值式：

(11)雙重否定律q????q

(12)德摩根律 ?(p∧q)??(?p∨?q) ?(p∨q)??(?p∧?q)

(13)合取/析取交換式 (p∧q)??(q∧p)?? (p∨q)??(q∨p)

(14)分配律 (p∧(q∨r))??((p∧q)∨(p∧r))?? (p∨(q∧r))??((p∨q)∧(p∨r))
(15)蘊(yùn)涵析取式(p→q)??(?p∨q)

(16)加元律p??(p∧(q∨?q))?? p??(p∨(q∧?q))

(17)等值律(p??q)??((p→q)∧(q→p))?? (p??q)??((p∧q)∨(?p∧?q))

(18)簡(jiǎn)化律(p∧p)??p?? (p∨p)??p

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B.范式

范式：設(shè)A是一真值形式，A'是A的范式，A'具有以下特點(diǎn)：A??A'；A'直觀可以判斷

因此對(duì)真值形式A 的判定可以轉(zhuǎn)化為對(duì)其范式A'的判定

簡(jiǎn)單析取式：簡(jiǎn)答析取式的任一析取支是一命題變項(xiàng)或其否定 如p∨?q∨q

一簡(jiǎn)單析取式是重言式，當(dāng)且僅當(dāng)，存在一命題變項(xiàng)及其否定同時(shí)是它的析取支 如p∨?q∨q

簡(jiǎn)單合取式：簡(jiǎn)答合取式的任一合取支是一命題變項(xiàng)或其否定 如p∧?q∧q

一簡(jiǎn)單合取式是矛盾式，當(dāng)且僅當(dāng)，存在一命題變項(xiàng)及其否定同時(shí)是它的合取支 如p∧?q∧q

我們約定，單個(gè)命題變項(xiàng)及其否定，如q，?q，既可以看做簡(jiǎn)單析取式，也可以看做簡(jiǎn)單合取式

范式分為合取范式和析取范式

合取范式：合取范式的任意合取支都是簡(jiǎn)單析取式，如(p∨q)∧(p∨?q∨q)

一合取范式是重言式，當(dāng)且僅當(dāng)，它的任一合取支都是重言的簡(jiǎn)單析取支

析取范式：析取范式的任意析取支都是簡(jiǎn)單合取式，如(p∧q)∨(p∧?q∧q)

一析取范式是矛盾式，當(dāng)且僅當(dāng)，它的任一析取支都是重言的簡(jiǎn)單合取支

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C.求范式的方式

步驟：

1.將真值形式中的“??”和“→”完全消去 即 用((p∧q)∨(?p∧?q))替換(p??q) 用?p∨q替換p→q

2.將 ? 挪到命題變項(xiàng)之前，消去雙重否定號(hào)

3.運(yùn)用分配律，得出范式

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D.判定

同一個(gè)真值形式可以求得不同的范式，當(dāng)然，這些范式都是等值的，判定的結(jié)論有唯一的確定性