有意思的概率與統(tǒng)計(jì)（七）

2023-08-03 15:54 作者:不能吃的大魚 0人讀過 | 我要投稿

好耶！進(jìn)度又進(jìn)一步！

隨機(jī)變量的基本概念——分布函數(shù)與分布列（概率密度函數(shù)）已經(jīng)介紹給大家了，相信大家也已經(jīng)對(duì)隨機(jī)變量有了最初步的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也比中學(xué)階段的認(rèn)識(shí)更深入了一些。

隨機(jī)變量的分布函數(shù)以及分布列（概率密度函數(shù)）實(shí)際上是隨機(jī)變量及其分布的基本特征，它是描述和研究隨機(jī)變量的最基礎(chǔ)的概念和內(nèi)容。而接下來，我們就要介紹一些隨機(jī)變量的其他特征。這些特征一般被稱為“數(shù)字特征”。

首先，我們就要來介紹——

Chapter? Two? 隨機(jī)變量及其分布

2.2? 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

據(jù)說，歷史上第一次提到數(shù)學(xué)期望這個(gè)概念，是來自于一個(gè)賭徒向當(dāng)時(shí)的法國數(shù)學(xué)家Pascal提出的一個(gè)分賭本的問題——

17世紀(jì)中葉，一位賭徒向Pascal寫信提問，說有一個(gè)他苦惱了很久的問題想請(qǐng)教他。

他之前與朋友賭博，兩個(gè)人的賭技不相上下。規(guī)定兩個(gè)人各出50法郎作為賭本，并且每局結(jié)果不設(shè)平局；誰先贏得三局，就拿走全部的100法郎。結(jié)果賭局進(jìn)行到一半，朋友因?yàn)閲跽僖姴坏貌唤K止賭局。此時(shí)，他贏了兩局，朋友贏了一局。他苦惱的是，這100法郎的賭本要怎么分配呢？

這個(gè)問題引起了很多人的興趣。大家都認(rèn)為，平分對(duì)于這個(gè)人而言并不公平；而如果全部分配給這個(gè)人，對(duì)于他的朋友又不公平。所以很明顯，應(yīng)該找到一個(gè)合適的比例，使得這個(gè)人分得的賭本更多一些，他的朋友的分得的賭本要少一些。

有人提出，根據(jù)現(xiàn)在的勝負(fù)情況，這個(gè)人贏了兩局，他的朋友贏了一局，那么他應(yīng)該分得2/3，他的朋友應(yīng)該分得1/3，因?yàn)樗麄兏髯在A得的局?jǐn)?shù)代表了目前他們各自的優(yōu)勢(shì)情況。

但是，1654年，Pascal卻提出了另一種解法。他認(rèn)為，既然規(guī)則認(rèn)定，只有贏得了三局才能獲得全部賭本，那么根據(jù)只已勝利局?jǐn)?shù)來分配賭本顯然不合適。那么，設(shè)想賭局還可以再繼續(xù)下去，最多兩局，賭局一定會(huì)結(jié)束。此時(shí)，二人的勝負(fù)情況可以構(gòu)成一個(gè)樣本空間，X為對(duì)應(yīng)于這個(gè)樣本空間的離散型隨機(jī)變量，記為“這個(gè)人拿走的賭本數(shù)量”。顯然，X取值為0或100。

這樣，我們就可以對(duì)這個(gè)隨機(jī)變量寫出它的分布列：

$P(X%3D0)%3D%5Cfrac%7B1%7D%20%7B4%7D%20%5Cquad%20P(X%3D100)%3D%5Cfrac%7B3%7D%20%7B4%7D%20$

Pascal基于分布列，提出用數(shù)值：

$E%3D0%5Ccdot%20P(X%3D0)%2B100%5Ccdot%20P(X%3D100)%3D0%5Ctimes%20%5Cfrac%7B1%7D%20%7B4%7D%20%2B100%5Ctimes%20%5Cfrac%7B3%7D%20%7B4%7D%3D75%20$

來作為最終這個(gè)人應(yīng)分到的賭本數(shù)目。這種分法不僅考慮到了已賭局?jǐn)?shù)對(duì)總結(jié)果的可能影響，同時(shí)也考慮到了對(duì)繼續(xù)賭下去的結(jié)果的“期望”。因此，我們將這種結(jié)果稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，或稱均值。

那么，我們現(xiàn)在要來對(duì)數(shù)學(xué)期望給一個(gè)十分具體而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x，這樣能夠?yàn)槲覀冄芯亢蛻?yīng)用這一概念打下基礎(chǔ)：

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：

$p(x_i)%3DP(X%3Dx_i)%5Cquad%20(i%3D1%2C2%2C%5Ccdots%2Cn%2C%5Ccdots)$

如果級(jí)數(shù)：

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20%7Cx_i%7Cp(x_i)%5Cquad%20(1)$

收斂，則稱：

$E(X)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20x_ip(x_i)%5Cquad%20(2)$

為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱為期望或均值。若級(jí)數(shù)（1）不收斂，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。（即使級(jí)數(shù)（2）收斂。）

那么，對(duì)應(yīng)地，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量而言，用概率密度函數(shù)代替概率，那么其數(shù)學(xué)期望的定義就是：

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為p(x)。若反常積分：

$%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%7Cx%7Cp(x)%5Ctext%20dx%5Cquad%20(1)%20$

收斂，則稱：

$E(X)%3D%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20xp(x)%5Ctext%20dx%20%5Cquad%20(2)$

為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值。若積分（1）不收斂，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。（即使積分（2）收斂。）

這般定義不僅符合Pascal在解決問題時(shí)的想法，同時(shí)也嚴(yán)格地刻畫了數(shù)學(xué)期望本身的特點(diǎn)與性質(zhì)。最主要的，我們可以在定義中看見，如果數(shù)學(xué)期望表達(dá)式對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)與積分只是條件收斂的，那么按照規(guī)定，我們只能說數(shù)學(xué)期望不存在，即使級(jí)數(shù)的和與積分值是可求的。

這點(diǎn)并不難理解，只要我們還記得，在數(shù)學(xué)分析篇章的級(jí)數(shù)部分，我們?cè)诮榻B絕對(duì)收斂與條件收斂時(shí)，曾經(jīng)提到過的有關(guān)更序級(jí)數(shù)這樣兩個(gè)性質(zhì)：

（1）絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的更序級(jí)數(shù)仍然是絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)，且與原級(jí)數(shù)和一致；

（2）Riemann定理：對(duì)于任意實(shí)數(shù)和任意條件收斂級(jí)數(shù)，都存在該級(jí)數(shù)的更序級(jí)數(shù)，使之收斂到該實(shí)數(shù)。?

——轉(zhuǎn)自數(shù)學(xué)分析篇章，專欄（四十九）

這表明，如果數(shù)學(xué)期望表達(dá)式不是絕對(duì)收斂的，那么通過調(diào)換求和順序與規(guī)律，我們得到的期望值并不唯一，甚至是覆蓋到整個(gè)實(shí)數(shù)域的。這顯然違背了數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用背景與提出條件。

對(duì)于任意分布而言（以離散型隨機(jī)變量為例），本應(yīng)該無所謂乘積項(xiàng)的加和順序，畢竟這是對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象的客觀描述。但如果是條件收斂，這就不能夠被滿足。這一點(diǎn)需要大家仔細(xì)理解，深刻記憶~

介紹完了定義，我們就要來研究數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)。

我們來分析一個(gè)簡單的離散型隨機(jī)變量X的分布列：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%20%0AP(X%3D-2)%26%3D0.2%5C%5C%0AP(X%3D-1)%26%3D0.1%5C%5C%0AP(X%3D0)%26%3D0.1%5C%5C%0AP(X%3D1)%26%3D0.3%5C%5C%0AP(X%3D2)%26%3D0.3%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

現(xiàn)在，我們想基于這個(gè)分布列，求隨機(jī)變量 $Y%3DX%5E2$ 的數(shù)學(xué)期望。那么，顯然，按照最一般的流程，我們先要求出 $X%5E2$ 的分布列：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%20%0AP(X%5E2%3D(-2)%5E2)%26%3D0.2%5C%5C%0AP(X%5E2%3D(-1)%5E2)%26%3D0.1%5C%5C%0AP(X%5E2%3D0%5E2)%26%3D0.1%5C%5C%0AP(X%5E2%3D1%5E2)%26%3D0.3%5C%5C%0AP(X%5E2%3D2%5E2)%26%3D0.3%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

合并Y取值相同的項(xiàng)，得到Y(jié)的分布列：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%20%0AP(Y%3D0)%26%3D0.1%5C%5C%0AP(Y%3D1)%26%3D0.4%5C%5C%0AP(Y%3D4)%26%3D0.5%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

從而求出，Y的數(shù)學(xué)期望為：

$E(Y)%3D0%5Ctimes%20%200.1%2B1%5Ctimes%200.4%2B4%5Ctimes%200.5%3D2.4$

但是，我們也能夠注意到，即使不合并取值相同的Y，而使用 $X%5E2$ 的分布列，我們也能夠得到：

$E(Y)%3DE(X%5E2)%3D(-2)%5E2%5Ctimes%200.2%2B(-1)%5E2%5Ctimes%200.1%2B0%5E2%5Ctimes%20%200.1%2B1%5E2%5Ctimes%200.3%2B2%5E2%5Ctimes%200.3%3D2.4$

因此，我們不難自然地想到：

若離散型隨機(jī)變量X的分布用分布列 $p(x_i)$ 表示，那么其某一函數(shù)g(X)的數(shù)學(xué)期望為：

$E%5Bg(X)%5D%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20g(x_n)p(x_n)$

（假定X和g(X)的數(shù)學(xué)期望都存在，下同。）

推及到連續(xù)型隨機(jī)變量，就有：

若連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布用概率密度函數(shù) $p(x)$ 表示，那么其某一函數(shù)g(X)的數(shù)學(xué)期望為：

$E%5Bg(X)%5D%3D%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20g(x)p(x)%5Ctext%20dx$

我們就離散型隨機(jī)變量的情況給出證明（當(dāng)然可能并不完善），以此便于大家理解這一定理。

根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義，對(duì)于新的隨機(jī)變量Y=g(X)，應(yīng)該有：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%20%0AE(Y)%26%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20y_np(y_n)%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20y_nP(Y%3Dy_n)%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20y_n%5Cbigg(P%5Cbig(%5Cbigcup_%7Bx_i%3Ag(x_i)%3Dy_n%7D%20%5C%7BX%3Dx_i%5C%7D%5Cbig)%5Cbigg)%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20y_n%5Cbigg(%5Csum_%7Bx_i%3Ag(x_i)%3Dy_n%7D%20P(X%3Dx_i)%5Cbigg)%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cbigg(%5Csum_%7Bx_i%3Ag(x_i)%3Dy_n%7D%20g(x_i)P(X%3Dx_i)%5Cbigg)%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20g(x_n)P(X%3Dx_n)%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20g(x_n)p(x_n)%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

這樣，我們就證明了離散情形下的結(jié)論。

（這里需要注意到，因?yàn)槲覀兯枰臄?shù)學(xué)期望是都存在的，因此絕對(duì)收斂性有所保證，這樣我們才敢放心地將括號(hào)打開；否則，按照我們?cè)跀?shù)學(xué)分析部分指出的，這樣的括號(hào)只可以任意添加，并不能夠任意打開。）

對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量的情況，則需要充分考慮到有關(guān)積分的很多性質(zhì)，包括無窮積分的定義（將上下限轉(zhuǎn)化為任意有限的實(shí)數(shù)）以及定積分的定義（將積分號(hào)轉(zhuǎn)換為求和號(hào)，積分表達(dá)式轉(zhuǎn)化為Riemann和的形式）等，綜合這些內(nèi)容才能夠給出一個(gè)較為完善的證明。

但不管怎么說，結(jié)論目前是沒有錯(cuò)的，只是我們不再進(jìn)一步給出證明了。

基于這個(gè)定理，我們能夠直接得到以下幾條常用的基本性質(zhì)：

（1）

$E(c)%3Dc%EF%BC%8Cc%5Cin%20%5Cmathbf%20R$

（2）

$E(aX)%3DaE(X)%EF%BC%8Ca%5Cin%20%5Cmathbf%20R$

（3）

$E%5Bf(X)%5Cpm%20g(X)%5D%3DE%5Bf(X)%5D%5Cpm%20E%5Bg(X)%5D$

思考：

求以下隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：

（1）一海運(yùn)貨船的甲板上放著20個(gè)原料桶，其中有5個(gè)被海水污染了。從中隨機(jī)取出8桶，X為8桶中被污染的桶數(shù)；

（2）有10只電子元件，其中2只不合格。從中任取一只裝配儀器，若不合格則丟棄重新抽取，依次重復(fù)。X為抽到合格品之前丟棄的不合格品的數(shù)目；

（3）X的分布函數(shù)如下：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0AF(x)%3D%5Cbegin%20%7Bcases%7D%0A%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7B2%7D%2C%20%26x%EF%BC%9C0%5C%5C%0A%5C%5C%0A%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%2C%260%5Cle%20x%EF%BC%9C1%5C%5C%0A%5C%5C%0A1-%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%20%7B2%7D%20e%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(x-1)%20%7D%2C%26x%5Cge%201%0A%5Cend%20%7Bcases%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$
若X為僅取非負(fù)整數(shù)的離散型隨機(jī)變量，且其數(shù)學(xué)期望存在，證明：

（1）

$E(X)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20P(X%5Cge%20n)$

（2）

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20nP(X%EF%BC%9E%20n)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5BE(X%5E2)-E(X)%5D$
設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，且X的數(shù)學(xué)期望存在，證明：

$E(X)%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5B1-F(x)%5D%5Ctext%20dx-%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5E%7B0%7D%20F(x)%5Ctext%20dx$
設(shè)X為非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量，若 $E(X%5En)$ 存在，試證明：

（1）

$E(X)%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20P(X%EF%BC%9Ex)%5Ctext%20dx$

（2）

$E(X%5En)%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20nx%5E%7Bn-1%7DP(X%EF%BC%9Ex)%5Ctext%20dx$