無窮小是第一個讓人們感到困惑的概念。實際上，無窮小和無窮大是人們第一次接觸到子集想象之外的東西。我們先列舉歷史上幾個著名的問題。

1. （芝諾的烏龜）阿基里斯（又名阿喀琉斯）是古希臘神話中善跑的英雄。在他和烏龜?shù)母傎愔?，他速度為烏龜十倍，烏龜在前?00米跑，他在后面追，但他不可能追上烏龜。因為在競賽中，追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點，當(dāng)阿基里斯追到100米時，烏龜已經(jīng)又向前爬了10米，于是，一個新的起點產(chǎn)生了；阿基里斯必須繼續(xù)追，而當(dāng)他追到烏龜爬的這10米時，烏龜又已經(jīng)向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那個1米。就這樣，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間制造出一個距不管這個距離有多小，但只要烏龜不停地奮力向前爬，阿基里斯就永遠(yuǎn)也追不上烏龜！

2. （飛矢不動）設(shè)想一支飛行的箭。在每一時刻，它位于空間中的一個特定位置。由于時刻無持續(xù)時間，箭在每個時刻都沒有時間而只能是靜止的。鑒于整個運動期間只包含時刻，而每個時刻又只有靜止的箭，所以芝諾斷定，飛行的箭總是靜止的，它不可能在運動。上述結(jié)論也適用于時刻有持續(xù)時間的情況。對于這種情況，時刻將是時間的最小單元。假設(shè)箭在這樣一個時刻中運動了，那么它將在這個時刻的開始和結(jié)束位于空間的不同位置。這說明時刻具有一個起點和一個終點，從而至少包含兩部分。但這明顯與時刻是時間的最小單元這一前提相矛盾。因此，即使時刻有持續(xù)時間，飛行的箭也不可能在運動?？傊?，飛矢不動。

3. （貝克萊）微積分在計算導(dǎo)數(shù)是經(jīng)常要計算無窮小量。無窮小量在牛頓的理論中一會兒說是零，一會兒又說不是零。因此，貝克萊嘲笑無窮小量是“已死量的幽靈”。
   

這些是歷史上最著名的幾個和無窮小相關(guān)的問題?，F(xiàn)在可能還有流傳更廣的幾個問題，也有一些更加有趣的問題。我們也列舉一些。

1. 0.9的無限循環(huán)是否等于1？

2. 甲手中拿著一個炸彈，他在1/2秒時將炸彈扔給乙，乙在3/4秒時又扔給甲，甲在7/8秒時又扔給乙……如此反復(fù)，一秒鐘過后誰會被炸死？

3. 在0到1秒內(nèi)，一個1 kg 重的物體在有理數(shù)時間受向右的1 N 的力，在無理數(shù)時間不受力，這個物體會怎樣運動？

4. 在0到1秒內(nèi)，一個1 kg 重的物體在一個不可測集上受向右的1 N 的力，在其余時間不受力，這個物體會怎樣運動？

5. 在一個圓盤內(nèi)考慮某種過程（比如熱傳導(dǎo)），假設(shè)它的邊界條件使得方程只存在弱解而不存在強(qiáng)解，這個過程會怎樣進(jìn)行？

后面的幾個問題是我瞎想的，目前好像還沒有人給我一個令我滿意的答案。下面就前幾個問題做一些思考。

人們首先認(rèn)識到運動的概念，并不是從無窮小這個問題出發(fā)的。這個時刻在這個地點，那個時刻不在這個地點，那就是移動了。如果這個時刻和那個時刻都在這個地點，那就沒有移動（靜止）。這有什么奇怪的呢？

從這個語言上來說，我們犯了一個可怕的錯誤：在一瞬間去談靜止和運動。因為上面的語言從來沒有允許這樣的操作。上面的語言一定要從兩個時間點去談運動和靜止。

當(dāng)然，一個瞬間是否運動應(yīng)該是我們拓展的概念。不過上述語言并沒有涉及到這一點，所以不能談?wù)撨@個操作。

第一個給出一個瞬間的的運動的概念的人是牛頓。牛頓設(shè)想，只需要將某個瞬間附近的時間不斷縮小，直至一個很小的數(shù)值，使之即將成為0而不是0時，就得到了我們想要的速度。

這個想法其實還是挺不錯的。除了一些哲學(xué)家（比如上面提到的貝克萊，大家知道數(shù)學(xué)被稱為人類心智的榮耀，而貝克萊被一些人稱為人類心智的恥辱）之外，幾乎所有的物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家都接受了這個觀點。它的很多重要應(yīng)用：復(fù)分析、微分幾何、微分方程等等，都遠(yuǎn)在這個概念被徹底闡述清楚之前就得到了重要發(fā)展。而且里面的理論幾乎都是完全正確的，鮮有錯誤（比如Riemann給出Riemann映照定理時應(yīng)用了Dirichlet原理就不正確，不過結(jié)論是對的），成為了整個近代數(shù)學(xué)發(fā)展的最大的一塊基石（還有一小塊是抽象代數(shù)）。

在這套理論蓬勃發(fā)展并且取得巨大成功的今天，它的正確性已經(jīng)不容懷疑了。如果有所懷疑，我建議立即拔掉自己家的電源插頭，因為交流電的產(chǎn)熱就是要用積分來算的，如果覺得上述原理不正確的話還是謹(jǐn)慎為妙。

現(xiàn)在我們?nèi)绾卫斫鉄o窮小呢？有很多種理解方法。

第一種是強(qiáng)行加入無窮小作為一個數(shù)學(xué)對象，這種做法衍生出了一門名為“非標(biāo)準(zhǔn)分析”的學(xué)科。這門學(xué)科和數(shù)學(xué)分析完全平行地發(fā)展出了一套分析理論。歷史上的確有某些問題首先由非標(biāo)準(zhǔn)分析解決，然后才由數(shù)學(xué)分析解決。不過這套理論和數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容完全相同，只是發(fā)展出了別的方法，因此不推薦采用這種觀點。

第二種是加入“速度”作為一個數(shù)學(xué)對象，在現(xiàn)代的微分流形理論中也就是所謂切向量的概念。也就是說，速度這個東西生活在一個和現(xiàn)實生活有所關(guān)聯(lián)但并不相同的空間中。在李群或者黎曼流形中，利用指數(shù)映射可以將切向量轉(zhuǎn)變?yōu)橹付〞r間的位置。也就是說，給定速度和初始位置，可以給出最終的位置。這也是一個很有用的理論。不過因為這個理論門檻太高，所以說理解起來可能確實有所困難。

我認(rèn)為最符合一般人的理解方式的方法是上述的悖論都妄談了無窮。作為一個普通人，說出無窮是簡單的，但是回答無窮是什么卻是很困難的。例如在“炸死誰”悖論中，第一次扔出炸彈是我們能夠理解和接受的，第二次扔出炸彈也是我們能夠理解和接受的，但是由此往復(fù)，我們居然在潛意識里默認(rèn)了第無窮次扔出炸彈也是我們能夠理解和接受的！這是一個很危險的操作。是一個我們的語言所不允許的操作。

什么樣的語言是允許的呢？例如，0.9的無限循環(huán)是一個允許的操作。因為在這里其實我們并不需要談?wù)摕o窮，我們談?wù)摰氖?，對于每一個小數(shù)點后的位，它均是9。注意，這里并沒有使用無窮，每一位都是我們能達(dá)到的有限位，對于這些有限位它們都是9。

事實上，芝諾的烏龜可能是最好解釋的。因為無論經(jīng)過多少次（哪怕是虛無縹緲的無限次），進(jìn)行上述討論的經(jīng)歷的距離不會超過111.1…米，但是顯而易見阿基里斯能跑過111.1…米。所以在111.1…米以內(nèi)，上述討論是完全正確的，而在111.1…米以外，上述討論是不正確的。

那么在111.1…米以內(nèi)處是什么情況呢？事實上這一點是上述討論的臨界點，在此之前、在此之后我們都是熟悉的，在這個點處是一個臨界狀態(tài)，這其實并沒有什么難以理解的地方。從0開始的數(shù)，一直到1都比1小，從1開始都比1大，1就是那個不大不小的臨界狀態(tài)，這有什么可奇怪的呢？只要我們把芝諾的烏龜作為一個參考系，它本身就是不動的，那么阿基里斯慢慢超越他，又有什么值得奇怪的呢？

飛矢不動實際上是混淆了位置和速度的關(guān)系。如果從完全靜態(tài)的觀點看問題，一切都是不動的。電流不動，我也不會打字。但是物體除了位置之外，還有著運動的趨勢。這個運動的趨勢同樣是物體存在于空間的一部分。這一點最好的解釋方法還是黎曼流形上的運動。

貝克萊的悖論已經(jīng)被解決了，這里不再贅述。

0.9的無限循環(huán)是否等于1其實是一個數(shù)學(xué)問題。從實數(shù)公理的觀點出發(fā)（即存在唯一完備的全序域），那么它當(dāng)然是相等的。我認(rèn)為出現(xiàn)這個問題的根本原因是對實數(shù)的定義不夠清楚。

至于后面的問題，已經(jīng)超出我的能力了。希望能夠在以后來解決它。