序：?

? ? ? ?本方案深受一代數(shù)學(xué)宗師克萊因的《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》影響。? ? ?

? ? ? ?克萊因在該書(shū)第1卷“數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展及一般結(jié)構(gòu)”有中提出了3種進(jìn)程——

? ? ? ?作者光電面壁人經(jīng)長(zhǎng)期面壁思考，統(tǒng)籌兼顧各進(jìn)程的優(yōu)缺點(diǎn)，創(chuàng)造性地提出了學(xué)科觀念進(jìn)程（附錄中詳述），本方案旨在盡快地讓學(xué)習(xí)者加裝恰當(dāng)?shù)膶W(xué)科觀念以充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性去自學(xué)。

一、五個(gè)戰(zhàn)略性問(wèn)題的戰(zhàn)略性回答

1、為什么要學(xué)習(xí)線性代數(shù)

戰(zhàn)略性回答：凡是線性的人類基本都會(huì)（研究得很清楚了）；凡是非線性的基本都不會(huì)（尚在探索中），會(huì)的一個(gè)重要辦法是將非線性近似為線性。

2、線性是什么？

戰(zhàn)略性回答：從運(yùn)算意義上來(lái)說(shuō)，運(yùn)算對(duì)象的線性是其疊加性+齊次性，“線性=疊加性+齊次性”（這句話應(yīng)當(dāng)印在新一代教材的封皮上），這種運(yùn)算對(duì)象就是廣義上的向量，對(duì)應(yīng)的兩種線性運(yùn)算分別是向量加法和數(shù)乘。

3、線性變換是什么？

戰(zhàn)略性回答：變換是一種算子，線性變換是保持向量加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算的操作。線性變換是線性空間內(nèi)的向量集合的運(yùn)動(dòng)。對(duì)于線性變換一個(gè)形象化的幾何解釋出自3blue1brown：保持原點(diǎn)不變并使坐標(biāo)系網(wǎng)格平行等距的操作。

4、線性代數(shù)是什么？

戰(zhàn)略性回答：線性代數(shù)是在線性空間內(nèi)以線性變換為中心的代數(shù)。我們要學(xué)的內(nèi)容有行列式、矩陣、向量（組）、基、向量空間（線性空間）、特征值和相似變換、二次型和合同變換等。

其中，

向量（組）是線性變換的自變量和因變量；

線性空間是線性變換的背景；

基是線性空間中選出的一組充當(dāng)參考系的向量組；

矩陣是某個(gè)基下一個(gè)線性變換的描述，也是個(gè)向量組；

行列式是矩陣的一種運(yùn)算，是線性變換的一種尺度；

線性方程組是線性變換的一個(gè)具體應(yīng)用；

特征值和相似變換是凸顯線性變換的一種方法；

二次型和合同變換是線性變換推廣后的雙線性函數(shù)的一個(gè)特殊情況。

可以看出，線性變換是線性代數(shù)知識(shí)體系的中心所在。

而現(xiàn)行的主流方案既同濟(jì)版線性代數(shù)及其沿襲與衍生版本的體系為工具——應(yīng)用路線：

如圖，行列式、矩陣、向量組理論是是線性方程組理論的基礎(chǔ)，而行列式、矩陣、向量組、線性方程組理論又是相似對(duì)角形和二次型理論的基礎(chǔ)。

? ? ? ?用正交變換法寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)形，會(huì)像胚胎發(fā)育一般重演線性代數(shù)這門課的學(xué)習(xí)歷程。它足以出考試的壓軸大題。

? ? ? ?經(jīng)廣大群眾反映，同濟(jì)版及其沿襲衍生版本的學(xué)習(xí)體驗(yàn)并不良好，群眾們迫切需要新一代的學(xué)習(xí)方案。故一大批輔助線性代數(shù)教學(xué)的方法在近10年間大量出現(xiàn)，已經(jīng)到了新舊方案交替的歷史岔路口，作者經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間面壁思考，設(shè)計(jì)了一套我心目中理想的方案。

5、怎樣學(xué)線性代數(shù)

（1）先整體后局部。先勾勒出整體的知識(shí)體系。

（2）先切入后長(zhǎng)驅(qū)直入。先通過(guò)幾個(gè)切入口樹(shù)立起學(xué)科觀念，然后結(jié)合手上現(xiàn)有的同濟(jì)版及其沿襲衍生物的教材，自主學(xué)習(xí)教材上的絕大部分內(nèi)容。

（3）必要的例題練習(xí)，在足量題目訓(xùn)練中加深對(duì)知識(shí)的理解。

（4）廣泛涉獵線性代數(shù)的應(yīng)用案例、博采線性代數(shù)已有的許多教學(xué)輔助方案的眾長(zhǎng)。

（5）如有機(jī)會(huì)，可以點(diǎn)亮大學(xué)生數(shù)學(xué)建模的技能樹(shù)，從MATLAB線性代數(shù)大作業(yè)開(kāi)始。

（當(dāng)然如果不走工科路線，線性代數(shù)可以學(xué)不致用，第4、5條可以不管）

二、切入口——克萊姆法則

? ? ? ?克萊姆法則是線性代數(shù)中一個(gè)關(guān)于求解線性方程組的定理。它適用于變量和方程數(shù)目相等的線性方程組。雖然它不是十分優(yōu)秀的解法，但它的理論價(jià)值極大。

? ? ? ?歷史上的線性代數(shù)起源于求解線性方程，經(jīng)世致用強(qiáng)力刺激了線性代數(shù)的發(fā)展?，F(xiàn)今的線性代數(shù)是線性空間內(nèi)的代數(shù)，所有的描述語(yǔ)言都是向量的集合，如向量、向量組、線性空間。

? ? ? ?對(duì)于線性方程組我們將用向量組的形式簡(jiǎn)記：? ?

? ? ? ?在線性變換的觀念看來(lái)，系數(shù)矩陣對(duì)自變列向量進(jìn)行了列變換，而自變列向量對(duì)系數(shù)矩陣在行變換：這啟示我們把方程組的解分別視為兩個(gè)列向量的伸縮率。它的幾何圖景是：

人們發(fā)現(xiàn)了這樣的一種有方向性的平行四邊形，

這種平行四邊形在變換前后是同底不等高的，則面積之比即為伸縮率。如圖，y=藍(lán)色平行四形面積/粉色平行四邊面積=2；

同理，對(duì)于另一個(gè)伸縮率x，

可求得

我們把這種有向平行四邊形的面積稱為行列式，它在二維情形時(shí)與向量叉積如出一轍，但在三維時(shí)，它是個(gè)有向平行六面體。更高維度時(shí)，它是對(duì)應(yīng)向量組及其中心對(duì)稱的向量組鄰接圍成的有向區(qū)域。

? ? ? ?至此，請(qǐng)樹(shù)立數(shù)形結(jié)合觀、線性變換觀。

? ? ? ?而初學(xué)線性代數(shù)時(shí)接觸的是逆序數(shù)和行列式的定義式，它通常令人困惑：

? ? ? ? 在數(shù)形結(jié)合觀念看來(lái)，這是正交分解法，分量相乘再相加。行列式的有向性的幾何解釋為“手性”，逆序一次的幾何解釋為“換手”。

? ? ? ? 之后學(xué)習(xí)者完全可以憑數(shù)形結(jié)合觀和長(zhǎng)驅(qū)直入，自學(xué)并掌握第一章行列式理論。

性質(zhì)1 行列式轉(zhuǎn)置不變

幾何解釋：轉(zhuǎn)置是關(guān)于空間對(duì)角線的對(duì)稱。幾何體的對(duì)稱顯然不改變其體積。

性質(zhì)2 互換行列式的兩行(列），行列式變號(hào)。

幾何解釋：互換行(列)即鏡像，鏡像即改變手性，即行列式變號(hào)。

性質(zhì)2推論：如果行列式有兩行(列)相同，則此行列式=0。

幾何解釋：n維有向幾何體的鄰邊相互平行，一旦平行則圖形坍塌降維，體積為0。（比如平面的體積為0）

性質(zhì)3 行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。

幾何解釋：有向幾何體某一個(gè)邊長(zhǎng)的伸縮=整個(gè)體積的伸縮。

性質(zhì)4 行列式中如果有兩行(列)元素成比例，則此行列式=0。

幾何解釋：鄰邊成比例也是鄰邊平行。

性質(zhì)5 若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和，則行列式=兩個(gè)分行列式之和。

幾何解釋：顯然這是向量加法的平行四邊形定則。

性質(zhì)6 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一個(gè)數(shù)后加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變。

幾何解釋：應(yīng)變前后同底等高，且手性不變，即行列式不變。

? ? ? ?行列式的定義式計(jì)算比較麻煩。對(duì)于幾何體的體積，我們最喜聞樂(lè)見(jiàn)的是“體積=底面積·高”——行列式按行(列)展開(kāi)（降階法），按某一條邊長(zhǎng)來(lái)求體積，幾何直觀上看是讓這個(gè)邊長(zhǎng)當(dāng)高，這樣只需求底面積。而對(duì)于高維幾何體，我們只需要迭代這個(gè)過(guò)程把它從超平面逐步降維至平面即可。

? ? ? ?這個(gè)超平面的代數(shù)解釋為“余子式”，如果再對(duì)它考慮手性即“代數(shù)余子式”。

引理：一個(gè)n階行列式，如果其中第i行所有元素除aij外都為零，那么這個(gè)行列式=aij與它的代數(shù)余子式的乘積。

幾何解釋：有向（超）體積=（超）高·有向（超）面積。

更一般的情況的定理：行列式=它的任一行(列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。這是上面引理的分量版本

這個(gè)定理叫做行列式按行(列）展開(kāi)法則，它的一個(gè)推論是行列式任一行(列）的元素與另一行(列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為0。

幾何解釋：高和底面積平行時(shí)體積為0，顯然高⊥底面積才有體積。

更一般的是按k行(k列）展開(kāi)叫做拉普拉斯定理。

幾何解釋：“超高”⊥“超底面”，“超體積=超高·超平面”，“超高”、“超平面”仍滿足在總空間上的垂直與維數(shù)互余關(guān)系。

? ? ? ?至此，行列式理論的主要內(nèi)容你已經(jīng)不知不覺(jué)地基本全學(xué)完了，剩下的那些定義、定理、性質(zhì)大都是順其自然的事，它們這些拼塊組成的這幅拼圖整體輪廓已經(jīng)逐漸明晰。當(dāng)你把行列式理論應(yīng)用于解線性方程組時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，總的來(lái)說(shuō)就一幅圖景——旗桿和地面。

? ? ? ?旗桿和地面的比喻是深刻的。對(duì)于齊次線性方程組

齊次線性方程組是個(gè)“向量?jī)?nèi)積=0”的形式，也就是說(shuō)，系數(shù)向量組⊥解向量。直觀上看，解向量是一維的，系數(shù)向量是n維的，這樣的正交在n維空間中形如旗桿⊥地面。

旗桿和地面總共是占滿3維空間的，二者的維數(shù)關(guān)于總的空間維數(shù)互余，一方的坍塌伴隨著另一方的崛起——

定理：n元齊次線性方程組Ax=0的全體解向量所構(gòu)成的集合S是一個(gè)向量空間，當(dāng)系數(shù)矩陣的秩R(A)=r時(shí)，解空間的S的維數(shù)為n-r。（秩的意思就是維數(shù)）

【第一章小結(jié)】

? ? ? ?久經(jīng)考驗(yàn)的學(xué)科觀念的樹(shù)立是能否大力發(fā)揮群眾主觀能動(dòng)性的關(guān)鍵。一旦學(xué)習(xí)者頭腦中加裝了恰當(dāng)?shù)膶W(xué)科觀念，許多知識(shí)的學(xué)習(xí)將勢(shì)如破竹。

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