spq法的簡單運(yùn)用（四）

2023-08-16 14:24 作者:夢違Changer 0人讀過 | 我要投稿

例四： $a%E3%80%81b%E3%80%81c%5Cin%20R%5E%2B%20$ 且 $a%2Bb%2Bc%3D6$ ，求證： $6(a%5E2%2B%20b%5E2%2Bc%5E2)%5Cgeq%20a%5E2b%5E2%2Bb%5E2c%5E2%2Bc%5E2a%5E2%2B24$

證明：記 $6%3D%5Csum_%7Bcyc%7D%5E%7B%7Da%3Ds%E3%80%81%5Csum_%7Bcyc%7D%5E%7B%7Dab%3Dq%E3%80%81abc%3Dp$

則 $%5Csum_%7Bcyc%7D%5E%7B%7Da%5E2%3Ds%5E2-2q%3D36-2q$ ， $%5Csum_%7Bcyc%7D%5E%7B%7Da%5E2%20b%5E2%3Dq%5E2-2sp%3Dq%5E2-12p$
原不等式 $%5Ciff%206(36-2q)%5Cgeq%20q%5E2-12p%2B24%20$

$%5Ciff%20q%5E2%2B12q-192%5Cleq%2012p$

注意 $q%5Cleq%20%5Cfrac%7Bs%5E2%20%7D%7B3%7D%20%3D12$ 且 $q%3E0$ ，我們不妨采用例一的做法：

由三次 $Schur$ 不等式， $9p%5Cgeq%204sq-s%5E3$ ，知 $12p%5Cgeq%2032q-288$

那么，對(duì)于某個(gè)區(qū)間 $D(D%5Csubset%20(0%2C12%5D)$ 內(nèi)的 $q$ ，能使得以下更強(qiáng)的不等式成立： $q%5E2%2B12q-192%5Cleq32q-288$

$%5Ciff%20q%5E2-20q%2B96%5Cleq%200$

使得上式恒成立的區(qū)間 $D%3D%5B8%2C12%5D$

那么，我們只需證明對(duì)于 $q%5Cin%20(0%2C8)$ ，有 $q%5E2%2B12q-192%5Cleq%2012p$ 成立即可

考慮使得 $q%5E2%2B12q-192%5Cleq0$ 的所有 $q$ ，

則 $q%5Cin%20%5B-6-2%5Csqrt%7B57%7D%20%2C-6%2B2%5Csqrt%7B57%7D%20%5D$ ，其中 $9%3C-6%2B2%5Csqrt%7B57%7D%20%3C10$

顯然 $(0%2C8)%5Csubset%20%20%5B-6-2%5Csqrt%7B57%7D%20%2C-6%2B2%5Csqrt%7B57%7D%20%5D$

故而對(duì) $q%5Cin%20(0%2C8)$ ， $q%5E2%2B12q-192%3C0%3C12p$

綜上，原不等式得證，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) $(a%2Cb%2Cc)%3D(2%2C2%2C2)$

例五：非負(fù)實(shí)數(shù) $a%E3%80%81b%E3%80%81c$ 滿足 $a%2Bb%2Bc%3D3$ ，求證： $3(a%5E4%2Bb%5E4%2Bc%5E4%20)%2Ba%5E2%2Bb%5E2%2Bc%5E2%2B6%5Cgeq%206(a%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3)$

證明：記 $3%3D%5Csum_%7Bcyc%7D%5E%7B%7Da%3Ds%E3%80%81%5Csum_%7Bcyc%7D%5E%7B%7Dab%3Dq%E3%80%81abc%3Dp$

則 $%5Csum_%7Bcyc%7D%5E%7B%7Da%5E2%3Ds%5E2-2q%3D36-2q$ ， $%5Csum_%7Bcyc%7D%5E%7B%7Da%5E3%3Ds%5E3-3sq%2B3p%3D27-9q%2B3p$ ， $%5Csum_%7Bcyc%7D%5E%7B%7Da%5E4%3Ds%5E4-4s%5E2q%2B4sp%2B2q%5E2%20%3D81-36q%2B12p%2B2q%5E2$

原不等式 $%5Ciff%203(81-36q%2B12p%2B2q%5E2)%2B9%2B2q-6%5Cgeq6(27-9q%2B3p)$

$%5Ciff%203q%5E2-28q%2B48%2B9p%5Cgeq%200$

我們運(yùn)用上期文章中的引理，證明可以看這里：spq法的簡單運(yùn)用（三）

$p%5Cgeq%20-%5Cfrac%7B2%7D%7B27%7D%20(9-3q)%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%7D%2Bq-2$

那么， $3q%5E2-28q%2B48%2B9p%5Cgeq%203q%5E2-19q%2B30-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20(9-3q)%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%7D$

令 $f(x)%3D3x%5E2-19x%2B30-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20(9-3x%20)%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%7D$

首先由 $q%5Cleq%20%5Cfrac%7Bs%5E2%7D%7B3%7D%20%3D3$ ，我們只需討論 $%5B0%2C3%5D$ 上 $f(x)$ 的取值

$f'(x)%3D6x-19%2B3%5Csqrt%7B9-3x%7D%20$

$f'(x)%3C0$ $%5Ciff%203%5Csqrt%7B9-3x%7D%20%3C19-6x$

而在 $%5B0%2C3%5D$ 上，不等號(hào)兩邊均為非負(fù)數(shù)，故上式 $%5Ciff%2081-27x%3C36x%5E2-228%2B361%20$

$%5Ciff%20(3x-8)(12x-35)%3E0$

$%5Ciff%20x%3C%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%E6%88%96x%3E%5Cfrac%7B35%7D%7B12%7D%20$

同理， $f'(x)%3E0$ $%5Ciff%20%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%3Cx%3C%5Cfrac%7B35%7D%7B12%7D%20$ 、 $f'(x)%3D0$ $%5Ciff%20x%3D%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%E6%88%96x%3D%5Cfrac%7B35%7D%7B12%7D%20$

故而 $f(x)$ 在 $%5B0%2C%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20)$ 上嚴(yán)格遞減，在 $(%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%2C%5Cfrac%7B35%7D%7B12%7D%20)$ 上嚴(yán)格遞增，在 $(%5Cfrac%7B35%7D%7B12%7D%20%2C3)$ 上嚴(yán)格遞減