第九章 導(dǎo)數(shù)的概念

一、知識點

1. 切線:
2. 本質(zhì)：割線的退化狀態(tài)
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   05:15

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   ，求某一點鄰域內(nèi)變化率的最佳近似。
3. 易錯點：
4. 切線與曲線未必只有一個公共點
5. 與曲線只有一個公共點的直線未必是切線
6. 導(dǎo)數(shù)本質(zhì)：函數(shù)在某一點鄰域內(nèi)變化率的最佳近似。
7. 導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念：
8. 可導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)及其等價定義
9. 可導(dǎo)：
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   31:52

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10. 等價定義：
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    35:45

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11. 左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)：
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    40:30

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12. 可導(dǎo)的充要條件：
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    42:52

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13. 左導(dǎo)和右導(dǎo)存在且相等。
14. 用途：判斷分段函數(shù)在分段點處是否可導(dǎo)
15. 函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)：
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    43:52

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    （類比函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義）
16. 導(dǎo)函數(shù)：
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    46:14

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17. 為何導(dǎo)函數(shù)存在？：導(dǎo)數(shù)用極限定義，而極限具有唯一性，所以能保證每個x對應(yīng)唯一的f'(x)
18. 強調(diào)：f(x)在[a,b]上可導(dǎo)不等價于在[a,b]上每一點可導(dǎo)。（閉區(qū)間兩端點沒有完整的鄰域）
19. 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：
20. 可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)
21. 曲線光滑與可導(dǎo)的關(guān)系：
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    01:51:33

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22. 函數(shù)可導(dǎo)一定曲線光滑
23. 曲線光滑不一定可導(dǎo)->在某點處導(dǎo)數(shù)不存在->無窮或振蕩
24. 反例f(x)=x^(1/3)，在x=0處有鉛直切線

二、證明

1. 證明“可導(dǎo)必連續(xù)”：
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   01:45:06

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2. 舉例說明“函數(shù)可導(dǎo)不一定連續(xù)可導(dǎo)”：
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   01:55:01

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3. 即f'(x)存在，但f'(x)未必連續(xù)
4. 二階可導(dǎo)可以推出一階連續(xù)可導(dǎo)，不能推出二階連續(xù)可導(dǎo)：
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   02:00:NaN

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三、計算

1. 判斷函數(shù)在某點可不可導(dǎo)：（第一次做錯了）
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   01:07:16

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2. 什么時候分左右求導(dǎo)數(shù)？：除非是在分段點左側(cè)和右側(cè)的關(guān)系不一樣，否則遇到絕對值，根號等，不要先急著分左右。等到整體做出現(xiàn)分歧必須分左右時再分左右。
3. 注意看老師的解題步驟：
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   01:08:38

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4. 判斷分段函數(shù)在分段點處的性質(zhì)：（第一次做題方法錯誤）
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   01:16:56

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5. 不能用求導(dǎo)公式來做
6. 第一次做的時候x<=0的部分我使用了定義，x>0的部分我看是初等函數(shù)所以用了求導(dǎo)公式。但是x>0的部分不包括x=0這一點，求出來的導(dǎo)函數(shù)和f(x)在x=0處的性質(zhì)無關(guān)，所以x>0這一段也只能用定義來做
7. 一個基本問題：已知可導(dǎo)求極限存在，和已知極限存在判定函數(shù)在某點處是否可導(dǎo)：見圖1：
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   01:32:11

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8. 根據(jù)極限的定義式做題：（多聽幾遍）
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   01:37:50

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9. 判斷標準：
10. 雙側(cè)趨近
11. 分子必須是一動一定
12. φ(h)和g(h)必須同階（見圖2）
13. 根據(jù)函數(shù)可導(dǎo)求參數(shù)：
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    02:07:04

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14. 函數(shù)形式復(fù)雜，最好不用求導(dǎo)公式
15. 已知在某一點的導(dǎo)數(shù)，求極限：
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    02:15:47

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圖1：

圖2：