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1.傅里葉變換
1.1?離散傅里葉變換

我們知道傅里葉級數(shù)的基函數(shù)具有正交性，可簡化計算，如果傅里葉級數(shù)收斂，則該函數(shù)可以被部分和逼近。首先定義：設函數(shù)x(t)在[0,2π]中的N個等分點的值分別為x(n)，n=0,1,.…….,N-1，稱：

為x(n)的離散傅里葉變換，稱：

為X(k)的離散傅里葉逆變換。

1.2?連續(xù)傅里葉變換

如果下列積分存在，我們稱：

為x(t)的連續(xù)傅里葉變換。

連續(xù)傅里葉逆變換為：

從上式中可以看到連續(xù)傅里葉變換是將時域(空間)變量t∈R為自變量的函數(shù)x(t)化為以頻率w為自變量的函數(shù)F(jw)，連續(xù)傅里葉逆變換是將以頻域變量w為自變量的函數(shù)F(jw)化為原來的時域函數(shù)x(t)，這就出現(xiàn)了不足了。當一個信號經過傅里葉變換到頻域時，變換后時間信息完全被丟失了，我們也就沒有辦法去確定信號是在什么時候發(fā)生的，也就是說，它在時域里沒有任何分辨能力或者說是任何定位性，雖然傅立葉變換能夠分別分析信號的時頻域，同時也能研究信號的時域特征和頻域特征，但是它不能把時域和頻域放在一起研究，暴露出它的嚴重不足。比如在分析一個平穩(wěn)信號，它在一定時間域中變化是穩(wěn)定的，對時間定位也許不是特別重要，但是在平時生活中大部分信號都包含有非平穩(wěn)的因素如突變、偏移、事件開始等，在這些信號的非穩(wěn)定情況是非常重要的，它包含了信號的重要特征，例如通常需要某一頻率段所對應的時間信息以及某一時刻、時間段的信息。因此需尋找一種新的信號分析方法，它需具備一定的同時分析時域和頻域“局部”的能力。

2.窗口傅里葉變換（Gabor變換）

為了描述信號的時頻局部化特征，克服傅里葉變換的缺點，Gabor于1946年提出 Gabor變換，也叫短時傅里葉變換，它的基本思想是給信號加上一個小窗口，讓傅里葉變換主要集中在窗口進行，從而反應出信號的局部特征。窗口傅里葉變換定義如下：

為窗口傅里葉變換記為Gf(w,b)，g(t)稱為時窗函數(shù)。一般地，在|t|> t0時迅速趨于0的“鐘形函數(shù)”是我們首選的時窗函數(shù)。這樣f(t)乘以平移滑動的窗函數(shù)g(t-b)后能夠有效的控制t=b領域外的信號，如 Gauss函數(shù)：

相比傳統(tǒng)傅里葉變換，雖然短時傅里葉變換在某種程度上具有了“局部”分析的能力，應用也越來越多，但是它自身也有一定不足，這個窗口一旦確定后，其大小和形狀均不變。我們知道，低頻信號和高頻信號的持續(xù)時間的變化是不同的而是相反的，低頻信號有較長的持續(xù)時間，我們要求較寬的時間窗來分析，高頻信號時間持續(xù)較短，則要求較短的時間窗來分析，然而這就與短時傅里葉變換的窗口是固定的相矛盾了。

3.小波變換

小波變換的優(yōu)點恰好彌補了短時傅里葉變換的不足，小波變換保留和發(fā)展了短時傅里葉變換能“局部”分析信號的能力，同時其窗口大小、形狀均可改變、且有離散化正交基，是一種理想的處理非平穩(wěn)信號的方法。

3.1?連續(xù)小波變換

設f(t)、Ψ(t)均為平方可積函數(shù)，且

則稱下面的積分變換為連續(xù)小波變換(Continuous Wavelet transform)。

由上式可以看出連續(xù)小波變換是一個二元函數(shù)，它把一元函數(shù)f(t)變換成時間和頻域平面上的二元函數(shù)(TΨf)(a,b)。

假設任意基本小波Ψ(t)的中心和半徑為別是τ，△Ψ，Ψ(t)的傅里葉變換的中心和半徑分別是w，△r，由上式可看出小波變換將信號f(t)限制在時間窗[b+aτ-a△Ψ，b+aτ+a△Ψ]和頻率窗[a-1w-a-1△r，a-1w+a-1△r]之內，且窗口面積是一個確定不變的且與時間和頻率均無關的常數(shù)，為4△Ψ△r。因時間窗隨尺度因子a增加時而變寬，頻率窗與此相反變窄，所以在此情況下特別適合提取信號中的低頻部分，當尺度因子a變小時，則相應的適合提取出信號中的高頻部分，因此有數(shù)學家稱小波分析為“數(shù)學顯微鏡”。如下圖：

3.2?離散小波變換

我們知道，在連續(xù)小波變換中，尺度因子a、時間t及偏移量b都是連續(xù)變換的，然而由于計算機的特點，在用其處理時，必須將其離散化，所以將尺度因子a和偏移量b離散化得出的變換就叫做離散小波變換。

3.3?二進制小波變換

根據(jù)離散小波變換的情況，二進制小波變換則只是對a進行離散化，沒有對b作離散化，具有連續(xù)小波變換的時移不變性，在信號檢測、圖像處理中有廣泛應用。

4.小波包分解

小波包分解可以將信號分解得更為精細，是對小波變換的細節(jié)部分進一步再分解的方法。下圖是小波變換與小波包分解的對比示意圖，把信號做三層小波分解和小波包分解。

從圖中我們看到小波分解只對尺度空間進行分解，未對小波空間(細節(jié)部分)進行再分解，而小波包則與此不同，不僅分解了尺度空間，還對小波空間進行了再分解，是一種多級頻率分解，是信號分析中更加精細的一種頻率分析方法。