這是一個挺有名的節(jié)目片段，涉及兩個人分獎金的策略。關(guān)于這個片段的討論和發(fā)散可以搜到很多，不過大部分都不是很嚴(yán)格，只局限于口頭上的定性論證。本文稍微定量地分析一下這個博弈（以下視頻的1p）

場景是這樣的：Ibrahim和Nick在這個游戲節(jié)目的最終輪通過博弈決定獎金的分配（總獎金記為單位1）。兩人各自選擇split或者steal，如果同時split則各自分到一半，同時steal則都拿不到獎金，一人split一人steal則由steal的人獨吞。

這是一個經(jīng)典的囚徒困境，兩個人的理性選擇都是steal，最終結(jié)果就是全都拿不到獎金。理論上雙贏的情況是兩人合作選split，這樣都可以拿到一半；但這個策略是不穩(wěn)定的，其中任何一個人都可以通過臨時反悔選steal來獨吞所有獎金。

但這個節(jié)目和簡單的囚徒困境的區(qū)別在于，兩個參賽者有一段自由討論的時間，在討論階段，兩個人可以提出合作，可以撕破臉，可以虛張聲勢欺騙對方，等等。這個討論階段就為博弈引入了復(fù)雜性，并且導(dǎo)致最終的納什均衡有機會逃離囚徒困境。

具體來說，在這個片段里面，Nick采取的策略就是，向Ibrahim聲明：1.自己一定會選steal（注意是steal而不是split；大部分人都會提議雙方一起split，這里Nick屬于另辟蹊徑，所以觀眾都懵圈了）；2.如果自己拿到全額獎金，在節(jié)目結(jié)束后一定會分給Ibrahim一半。當(dāng)然，這兩個聲明沒有任何實際約束力或者法律效力，只是純粹的空談。實際上Ibrahim也確實非常懷疑Nick，并且非常努力地想讓Nick改變想法選擇split，但Nick非常堅定，只好作罷。

最終選球的結(jié)果非常出人意料：兩個人都選擇了split，達(dá)到雙贏的結(jié)果。下面就來定量地分析一下，為什么會有這樣的結(jié)果？

為了簡單起見，我們不考慮雙方在討論階段的博弈（即，不討論他們是否有動機去提出合作/欺騙對方，等等），而只關(guān)心討論階段（視為給定）對最終選擇這個靜態(tài)博弈的影響。

具體到這個視頻，在討論階段，Nick給Ibrahim引入了兩個方面的不對稱信息：1.“我聲明自己會選steal，但也有可能食言”；2.“我聲明自己贏后會分給你一半，但也有可能食言”。這樣，最終選球的博弈就從一個普通的正則形式博弈變成了貝葉斯博弈。

為了盡可能保持一般性，我們從偏好開始建立一整套模型。

我們假設(shè)Ibrahim的偏好是，其中是上所有概率測度的集合。我們假設(shè)這個偏好是理性、連續(xù)的，并且滿足獨立性公理，從而有Von Neumann–Morgenstern期望效用表示，其對應(yīng)Bernoulli效用記為。

類似地，我們假設(shè)Nick的偏好是，其中是上所有概率測度的集合。其中，H代表不食言，F(xiàn)代表食言。我們引入H和F是因為，Nick不僅在選擇最終贏到的錢，也在選擇自己是否食言，而通常來說保持誠信會在心理上給人正向的激勵。當(dāng)然，這個模型并不排除Nick完全沒有食言的心理負(fù)擔(dān)的可能，它允許任何可能的偏好。同樣，我們假設(shè)這個偏好是理性、連續(xù)的，并且滿足獨立性公理，從而有Von Neumann–Morgenstern期望效用表示，其對應(yīng)Bernoulli效用記為。為了之后標(biāo)記簡單起見，我們把這兩個函數(shù)重新記為。

現(xiàn)在進(jìn)入不對稱信息的刻畫。Ibrahim不知道Nick的兩方面信息：1.有多大的傾向選擇守信選擇steal（用效用函數(shù)上的隨機性刻畫）；2.有多大概率分一半獎金。我們假設(shè)這個整體的后驗測度在分一半獎金上的邊緣概率為，而條件于“分一半”（S）/“不分”（K）上的效用函數(shù)的條件分布分別為和。這樣Ibrahim的不完全信息的完整測度就刻畫出來了。這個測度是在討論過程中形成的。

至于Nick對于Ibrahim的不完全信息，其實可以看作是沒有的，因為Ibrahim屬于談判中的被動方，并沒有主動引入關(guān)于自己的不對稱信息。不過，因為我們把Nick的效用函數(shù)的不確定性引入了模型，那么公平起見，就不妨把Ibrahim的效用函數(shù)不確定性也引入進(jìn)來。當(dāng)然，這個不確定性沒有本質(zhì)影響。我們把它記為。

這兩個測度實際上定義得有點隨便，畢竟函數(shù)空間上的測度并不是一件平凡的事情，通常需要用有限維去擴張形成。不過這里就假裝它們都是良定義的好了。

在模型設(shè)定好之后，納什均衡就可以直接定義出來了（我們用C表示cooperate即split，D表示defect即steal。具體的U的形式?jīng)]有寫出來，讀者感興趣的話可以按節(jié)目本身的設(shè)定把它的具體表達(dá)式補足）：

這三個方程看起來有點麻煩，包含了一堆泛函。當(dāng)然，完全的求解大概也是不可能的。不過有一個好消息：我們可以找到它的一個特解：

讀者要是感興趣的話，驗證這個特解符合定義還是挺簡單的。然后我們可以看看這個特解到底說了什么：如果Nick確實打算誠實地平分他的一半獎金，但是在自己會選擇steal這件事上刻意說謊了；而Ibrahim則在討論過程中形成了這樣的后驗認(rèn)知：Nick確實有一定的正概率選擇平分獎金，并且也有足夠大的概率選擇steal——那么最終，兩個人都選擇split確實是一個可能的納什均衡。這就確實地解釋了視頻里最終兩人的選擇。

當(dāng)然，讀者可能會想，這畢竟只是無數(shù)納什均衡中的一個（對于這個模型，確實有無數(shù)個納什均衡），為什么它就是最終被實現(xiàn)的那個？假如納什均衡只有一個，那解釋力就更強了。下面我們給出一個簡化版的模型，在這個簡化版的模型里，兩人都選擇split確實是幾乎唯一的納什均衡。

簡化版的模型：首先，Ibrahim身上效用的不確定性直接扔掉好了；其次，我們假設(shè)Nick身上的效用符合這樣一個簡化條件：

即，選擇誠信和選擇食言之間，有一個固定的常數(shù)效用差值。這樣就把系統(tǒng)的自由度從無窮個縮減到了兩個（h和）。的定義和前面一樣，而h的后驗分布（條件于平分/不平分上）則分別用這兩個cdf來表示。這樣一來，模型就清爽了很多。納什均衡的條件也簡化成了（一樣，u的具體表達(dá)形式略去，它由節(jié)目規(guī)則本身定義）：

這么一個方程組其實是可以完全求解的。具體過程就不寫出來了，總共有6個可能的解，這6個解是互相之間無法完全共存的。特別地，當(dāng)以下參數(shù)條件被滿足時：

這個系統(tǒng)只有唯二的兩個納什均衡：

它的直觀意義就是：Ibrahim只能選擇split；而Nick確實打算誠實地平分他的一半獎金，但是在自己會選擇steal這件事上刻意說謊了，因此選擇split或者steal（此時兩個選擇對他沒有區(qū)別，因為他確實打算平分）。無論如何，Ibrahim的最佳選擇都被強行挪動到split。紅色的這個條件就是Nick在討論過程中必須達(dá)到的目標(biāo)：只要他把Ibrahim的后驗認(rèn)知修改為符合紅色的這串條件，那么Ibrahim就只能不得不選擇split。這也是Nick在討論中（假裝）非常堅持自己一定要選steal絕不動搖的原因，因為只有這樣才能讓Ibrahim的后驗認(rèn)知偏移到滿足標(biāo)紅條件的區(qū)域。

對這串標(biāo)紅條件的分析還是挺有意思的。比如說，我們可以看出，必須要大于0，也就是說，Nick必須要讓Ibrahim相信自己有正概率平分，無論這個正概率有多??；同時，Nick也需要讓Ibrahim相信自己以正概率存在正的道德負(fù)擔(dān)，也就是至少需要有那么一點不是“完全欺騙”的概率；這兩個“正概率”還有一定的trade-off，一個小的話另一個必須大，反之亦然；最后，我們還可以看出，如果雙方越是厭惡風(fēng)險，那么就越傾向于達(dá)成split-split這個雙贏的合作場面。

總的來說，這個例子展示了通過引入不對稱信息來規(guī)避囚徒困境的一種可能性，還是挺有意思的。