預備知識：

1. 數(shù)列l(wèi)im （1+1/n）^n=e，（1+1/n）^n<e.

2. 公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；

3. 雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個向量的向量積，再作所得向量與第三個向量的向量積，那么最后的結果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個雙重向量積；

4. 性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量。
   

5. 矩陣乘法運算律——
   

   a.結合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

   e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方陣：設A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。

6. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應的行列式。

7. 矩陣對應行列式滿足：|AB|=|A||B|；

8. 設A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

9. A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）

10. E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
    

    方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

    方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

11. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。

12. 定義：設A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對稱矩陣。

13. 定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。

14. 矩陣轉(zhuǎn)置運算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

參考資料：

1. 《數(shù)學分析習題演練》（周民強?編著）

2. 《解析幾何》（呂林根 許子道?編）

3. 《高等代數(shù)——大學高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）

數(shù)學分析——

例題（來自《數(shù)學分析習題演練（周民強?編著）》）——

試證明下述不等式：（1+1/n）^n>e^（1-1/n）

證：

1. （1+1/n）^n<e，則e^（1/n）>（1+1/n）；

2. e^（1-1/n）

   =e/[e^（1/n）]

   <e/（1+1/n）

   <（1+1/n）^n/（1+1/n）

   =（1+1/n）^（n-1）

   <（1+1/n）^n，證畢。

解析幾何——

例題（來自《解析幾何（呂林根 許子道?編）》）——b

試證雅克比（Jacobi）恒等式：（axb）xc+（bxc）xa+（cxa）xb=0.

證：

1. （axb）xc=（ac）b-（bc）a，

   （bxc）xa=（ba）c-（ca）b，

   （cxa）xb=（cb）a-（ab）c；

2. （axb）xc+（bxc）xa+（cxa）xb

   =[（ac）b-（bc）a]+[（ba）c-（ca）b]+[（cb）a-（ab）c]

   =0，證畢。

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)——大學高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——

設n級矩陣A，B滿足A+B=AB，證明：E-A，E-B都可逆，并且AB=BA.

證：

1. （E-A）（E-B）=E-A-B+AB=E-（A+B）+AB=E，

   所以E-A，E-B都可逆，（E-A）^（-1）=E-B；

2. （E-B）（E-A）=E-B-A+BA=E，所以BA=B+A=A+B=AB，證畢。

到這里！