極化碼數(shù)學(xué)原理(四)-波萊爾域-波萊爾σ域

2023-07-19 06:52 作者:樂吧的數(shù)學(xué) 0人讀過 | 我要投稿

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如果一個(gè)隨機(jī)變量是離散的，并且是有限個(gè)的，那么我們可以有離散類型的? $%5Csigma$ ?域，例如，投擲骰子，則樣本空間為：

$%5COmega%20%3D%20%5C%7B1%2C2%2C3%2C4%2C5%2C6%5C%7D$

如果我們只關(guān)心是否大于 2，例如賭場(chǎng)賭大小，賭場(chǎng)總是買大，則一般規(guī)定等于 3 也是賭場(chǎng)贏，那么則有如下的事件空間：

$F%20%3D%5C%7B%5Cphi%2C%5COmega%2C%20%5B1%2C2%5D%2C%5B3%2C4%2C5%2C6%5D%5C%7D$

如果隨機(jī)變量的取值是連續(xù)的，例如股票價(jià)格（假如可以無限精度定義價(jià)格的話），又或者通信信道的信道容量，則這個(gè)時(shí)候關(guān)心的事件空間就是波萊爾域或者波萊爾 $%5Csigma$ ?域。

我們以通信信道容量介于 [0,1] 之間為例子，則樣本空間為：

$%5COmega%20%3D%20%5B0%2C1%5D$

假如我們關(guān)心信道容量位于 [0.1, 0.2] 的信道，那么，這個(gè)時(shí)候的事件空間為：

$F%20%3D%20%5C%7B%5Cphi%2C%5Cquad%20%5COmega%2C%5Cquad%20%5B0.1%2C%200.2%5D%2C%5Cquad%20%5B0%2C0.1)%5Ccup%20(0.2%2C1%5D%5C%7D$

又或者我們關(guān)心信道容量位于 [0.1, 0.2), 以及 (0.5,0.6] 的信道，這個(gè)時(shí)候的事件空間為：

$F%20%3D%20%5C%7B%20%5Cphi%2C%5Cquad%20%5COmega%2C%5Cquad%20%5B0.1%2C%200.2)%2C%20%5Cquad%20(0.5%2C0.6%5D%2C%5Cquad%20%5B0%2C0.1)%5Ccup%20%5B0.2%2C1%5D%2C%20%5Cquad%20%5B0%2C0.5%5D%20%5Ccup%20(0.6%2C1%5D%20%5C%5C%0A%0A%5B0.1%2C%200.2)%5Ccup%20(0.5%2C0.6%5D%2C%5Cquad%20%5B0%2C0.1)%5Ccup%20%5B0.2%2C0.5%5D%20%5Ccup%20(0.6%2C1%5D%0A%0A%5C%7D$

==================摘自書中：

令 S?= [a b] 是樣本空間，波萊爾域 B?是 [a b] 內(nèi)最小的 $%5Csigma$ ?域，包括 [a b] 內(nèi)所有閉區(qū)間和開區(qū)間。波萊爾域內(nèi)的每個(gè)元素，稱之為波萊爾集。如果一個(gè)波萊爾域是由 K?個(gè)區(qū)間生成的，則這個(gè)生成的波萊爾域記為 $B%20%3D%20%5Csigma(K)$ 。