當(dāng)一切都要從零開始，麻煩總是源源不斷---ζ!Gaster

真無窮/實(shí)無窮/超無窮

Berkeley基數(shù)

在集合論中，伯克利基數(shù)是Hugh Woodin于 1992 年左右在加州大學(xué)伯克利分校的研討會(huì)上提出的某些大基數(shù)。

Berkeley 基數(shù)是Zermelo -Fraenkel 集合論模型中的基數(shù)κ，具有以下性質(zhì)：對(duì)于包含κ和 α < κ 的每個(gè)傳遞集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中α <臨界點(diǎn)< κ . Berkeley基數(shù)是比Reinhardt 基數(shù)嚴(yán)格更強(qiáng)的基數(shù)公理，這意味著它們與選擇公理不兼容。

作為伯克利基數(shù)的弱化是，對(duì)于Vκ上的每個(gè)二元關(guān)系R，都有(Vκ, R)的非平凡基本嵌入到自身中。這意味著我們有基本的

j1, j2, j3, ...

j1: (Vκ, ∈) → (Vκ, ∈),

j2: (Vκ, ∈, j1) → (Vκ, ∈, j1),

j3: (Vκ, ∈, j1, j2) → (Vκ, ∈, j1, j2),

等等。這可以持續(xù)任意有限次，并且在模型具有依賴性選擇的范圍內(nèi)，無限。因此，似乎可以通過斷言更多依賴性選擇來簡(jiǎn)單地加強(qiáng)這一概念。

盡管所有這些概念都與 Zermelo-Fraenkel 集合論 (ZFC) 不相容，但它們的ΠV2結(jié)果似乎不是假的。與 ZFC 在斷言方面沒有已知的不一致，例如：

對(duì)于每個(gè)序數(shù)λ，存在一個(gè) ZF + Berkeley基數(shù)的傳遞模型，該模型在λ序列下是封閉的。

萊因哈特基數(shù)

Kunen ?( 1971 ) 證明了他的不一致定理，表明存在一個(gè)初等嵌入{\displaystyle j:V→V與選擇公理的NBG相矛盾（并且 ZFC 擴(kuò)展為j). 他的證明使用了選擇公理，而這樣的嵌入是否與沒有選擇公理的NBG（或ZF加額外符號(hào)一致仍然是一個(gè)懸而未決的問題j及其伴隨的公理）。

Kunen定理不僅僅是 Suzuki ( 1999 ) 的結(jié)果，因?yàn)樗?NBG 的結(jié)果，因此不需要假設(shè)j是一個(gè)可定義的類。另外，假設(shè)0^#存在，則存在傳遞模型的基本嵌入MZFC（實(shí)際上是 Goedel 的可構(gòu)造宇宙L) 進(jìn)入自身。但是這樣的嵌入不是M.

Reinhardt基數(shù)有一些變體，形成了斷言基本嵌入存在的假設(shè)層次結(jié)構(gòu)V→V.

超級(jí)萊因哈特基數(shù)是κ這樣對(duì)于每個(gè)序數(shù)α, 有一個(gè)初等嵌入j:V→V和j(κ)>α并且有臨界點(diǎn)κ.

J3：存在一個(gè)非平凡的初等嵌入j:V→V

J2：存在一個(gè)非平凡的初等嵌入j:V→V和直流DCλ持有，在哪里λ是臨界點(diǎn)以上的最小不動(dòng)點(diǎn)。

J1：對(duì)于每個(gè)序數(shù)α, 有一個(gè)初等嵌入j:V→V和j(κ)>α并且有臨界點(diǎn)κ.

J1 和 J2 中的每一個(gè)都立即暗示J3。基數(shù)κ正如在 J1 中一樣，被稱為超級(jí)萊因哈特基數(shù)。

我們都知道，像Berkeley基數(shù)這種真類不具備一致性，它們與ZF相沖突，不過在此所構(gòu)造出的實(shí)無窮并不需要考慮這一點(diǎn)，因?yàn)樗]有解決一致性和不一致。

根據(jù)力迫公理，對(duì)于大基數(shù)往往只能限制。大基數(shù)公理沒有極限，而在此真無窮被定義為大于任何大基數(shù)的無窮。

真無窮被定義為一個(gè)超越一致性與不一致，所有已被或未被構(gòu)造的大基數(shù)和馮諾依曼宇宙v的超無窮(一個(gè)超無窮成立的前提就是它自身必須超越數(shù)學(xué)一致性所能認(rèn)定的最大無窮概念)，它包含且大于任何大基數(shù)概念，如果把一致性和不一致分別歸類為2個(gè)沒有交集的合集，那么無論把任何大基數(shù)概念和內(nèi)模型封裝都無法抵達(dá)真無窮，真無窮就是所有大數(shù)所無法抵達(dá)的一個(gè)層級(jí)

而它可以被繼續(xù)壓縮為一個(gè)空集，從它為基礎(chǔ)可以繼續(xù)按照0，1，2，3...直到?0，?1，?2...不可達(dá)基數(shù)...，馮諾依曼宇宙v，然后定義真無窮真無窮來超越之前的迭代階梯，這個(gè)過程可以一直持續(xù)下去，真無窮真無窮真無窮...

不可達(dá)層級(jí)

而在真無窮真無窮真無窮...個(gè)真無窮真無窮真無窮也無法抵達(dá)的層級(jí)就是不可達(dá)層級(jí)

現(xiàn)實(shí)

如圖所示，一個(gè)現(xiàn)實(shí)包含真無窮真無窮真無窮個(gè)不可達(dá)層級(jí)，你可以把不可達(dá)層級(jí)之間的關(guān)系認(rèn)定為是無窮多上下都無法互相抵達(dá)的階梯，不可達(dá)層級(jí)之間的差距是如此巨大，以至于它們近乎于無法相互影響

亞現(xiàn)實(shí)

亞現(xiàn)實(shí)小于真無窮，它們是處于現(xiàn)實(shí)中且具有自身的亞不可達(dá)層級(jí)的現(xiàn)實(shí)

敘事

敘事包容無限現(xiàn)實(shí)所構(gòu)成的不可達(dá)層級(jí)構(gòu)造迭代階梯，它可以被作為更大的單位去構(gòu)成超敘事