雖然是基礎(chǔ)題，但是這幾道題對剛上大一的小朋友來說往往還是有一定難度的，主要是第7題，一下子字又碼多了，所以還有三題只能明天繼續(xù)了。

今天繼續(xù)習(xí)題——

我們昨天在例1、2聊了兩種重要的函數(shù)對應(yīng)的數(shù)列：多項式函數(shù)對應(yīng)的數(shù)列、有理分式函數(shù)對應(yīng)的數(shù)列。

多項式函數(shù)對應(yīng)的數(shù)列，形如P（n）=a0n^k+a1n^（k-1）+……+ak-1n+ak（其中al是常數(shù)，l=0,1，……，k，且a0不為0），是一個無窮大量。

有理分式函數(shù)對應(yīng)的數(shù)列，形如P（n）/Q（n）：P（n）=a0n^k+a1n^（k-1）+……+ak-1n+ak，Q（n）=b0n^j+b1n^（j-1）+……+bj-1n+bj?（其中al是常數(shù)，l=0,1，……，k，且a0不為0，bm是常數(shù)，m=0,1，……，k，且b0不為0）——k=j時是有限值、k>j時是無窮大，k<j時是無窮小。

同時我們結(jié)合“不定式”的知識，知道有理分式函數(shù)對應(yīng)的數(shù)列是一種∞/∞型的“不定式”，所以任何形如多項式函數(shù)的數(shù)列，或者形如有理分式函數(shù)對應(yīng)的數(shù)列，我們都優(yōu)先考慮能不能利用類似的轉(zhuǎn)化和討論來解決問題。

這本書上每一組例題最鮮明的特征是層層遞進(jìn)，上一題的結(jié)論可以就是下一題過程中的一步，這種編排和小說一樣精彩?！@也是所有優(yōu)秀的、經(jīng)典的教材的共性。

對于剛上大一的小朋友，往往第7題不加鋪墊地直接讓你求zn，有一定難度。

32極限求法的例題

例5、6、7都是上述解題思路的應(yīng)用，我們遇到類似的題型都可以做類似轉(zhuǎn)化，并且應(yīng)該是數(shù)列極限初學(xué)時最經(jīng)典的幾種常見題型其他許多題目都可以看做這幾類題的變體，用夾逼準(zhǔn)則之類的——

5.（n+1）^k-n^k型（其中0<k<1）——

乍一看仿佛和之前在Ep29聊過的伯努利不等式很像，但是仔細(xì)一看，我們學(xué)過的伯努利不等式中，要求指數(shù)為自然數(shù)，這里顯然是沒有達(dá)到的?！x惠民《數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義》上面有這個不等式的推廣的，感興趣的寶寶可以去讀一下這本書。這本書上只聊了最樸素簡單的伯努利不等式，我們也就按照書上的來。

于是形如（n+1）^k-n^k型（其中0<k<1）的∞-∞型“不定式”，我們觀察到減數(shù)與被減數(shù)是齊次的，于是我們自然會想到“提公因式”的方法——

1. 提公因式n^k：（n+1）^k-n^k=n^k[（1+1/n）^k-1]；

2. 考慮指數(shù)函數(shù)（1+1/n）^k的單調(diào)性：底數(shù)為（1+1/n）>1，所以為單增函數(shù)，又k<1，于是（1+1/n）^k<（1+1/n）；

3. 由1、2：0<（n+1）^k-n^k=n^k[（1+1/n）^k-1]<n^k[（1+1/n）-1]=n^（k-1）=1/n^（1-k）；

4. 顯然，{n^（1-k）}為無窮大，所以{1/n^（1-k）}為無窮小，這個數(shù)列極限為0即為所求。

   ——類似的，我們可以解出其他形如（n+A）^k-n^k型（其中0<k<1，A為常數(shù)）的題型。

例6、7、8都用到了“夾逼原理”——

6.n^（1/2）[（n+1）^（1/2）-n^（1/2）]型（其中0<k<1）——

由例4，我們已知括號內(nèi)式子是無窮小，而我們用一個無窮大去乘以它，這是一種特殊的0*∞型“不定式”，由于括號內(nèi)式子各項次數(shù)為1/2，我們自然會想到平方差公式，對應(yīng)的方法叫做分子有理化，針對這種1/2次多項式相減的類型，這樣就把∞-∞型“不定式”又轉(zhuǎn)化回∞/∞的類型——

1. 分子有理化：n^（1/2）[（n+1）^（1/2）-n^（1/2）]={n^（1/2）[（n+1）^（1/2）-n^（1/2）][（n+1）^（1/2）+n^（1/2）]}/[（n+1）^（1/2）+n^（1/2）]=n^（1/2）/[（n+1）^（1/2）+n^（1/2）]；

2. 上下同時除以n^（1/2）：n^（1/2）/[（n+1）^（1/2）+n^（1/2）]=1/[（1+1/n）^（1/2）+1]；

3. 考慮指數(shù)函數(shù)（1+1/n）^k的單調(diào)性：底數(shù)為（1+1/n）>1，所以為單增函數(shù)，由0<1/2<1，所以1<（1+1/n）^（1/2）<1+1/n；

4. 由于數(shù)列{1+1/n}在n趨向于無窮大時，極限為1，固由夾逼準(zhǔn)則，數(shù)列{（1+1/n）^（1/2）}極限為1；

5. 由收斂數(shù)列的運算律，我們知道2中分母趨向于2，當(dāng)n趨向于無窮大時；

6. 于是得到極限為1/2。

7.xn=n/（n^2+n）^（1/2），yn=n/（n^2+1）^（1/2）

zn=1/（n^2+1）^（1/2）+1/（n^2+2）^（1/2）+……+1/（n^2+n）^（1/2）——

其中前兩個數(shù)列極限的求法和例5、6大同小異，我們以yn=n/（n^2+1）^（1/2）為例——

1. 我們注意到，我們可以分子分母同時除以n將其轉(zhuǎn)化：yn=n/（n^2+1）^（1/2）=1/（1+1/n^2）^（1/2）；

2. 方法同里6，考慮指數(shù)函數(shù)（1+1/n^2）^k的單調(diào)性：底數(shù)為（1+1/n^2）>1，所以為單增函數(shù)，由0<1/2<1，所以1<（1+1/n^2）^（1/2）<1+1/n^2；

3. 由于數(shù)列{1+1/n^2}在n趨向于無窮大時，極限為1，固由夾逼準(zhǔn)則，數(shù)列{（1+1/n^2）^（1/2）}極限為1；

4. 故而yn的極限為1。

5. 同理：xn的極限為1。

接著我們利用夾逼原理解出zn——

1. xn=n/（n^2+n）^（1/2）=1/（n^2+n）^（1/2）+1/（n^2+n）^（1/2）+……+1/（n^2+n）^（1/2）；

2. yn=n/（n^2+1）^（1/2）=1/（n^2+1）^（1/2）+1/（n^2+1）^（1/2）+……+1/（n^2+1）^（1/2）；

3. 顯然zn各項的分母都滿足（n^2+1）^（1/2）<=（n^2+i）^（1/2）<=（n^2+n）^（1/2）——i=1,2,3，……，n；

4. 于是xn<=zn<=yn；

5. 又由于xn的極限為1，yn的極限為1，所以zn的極限也是1 。

8.題目很簡單，但是已知最大值的幾個正數(shù)的極限條件，是要牢牢記住的——

給出了m個正數(shù)：a1，a2，……，am，且已知最大數(shù)為A，求數(shù)列：（a1^n+a2^n+……+am^n）^（1/n）的極限。

信息量有三——

1. m個數(shù)；

2. 都是正數(shù)；

3. 最大值為A。

由此可得——

1. 由條件：0<ai<=A——i=1,2，……，m；

2. 由條件：至少有一個數(shù)取A，我們令這個數(shù)為a1；

3. 由1可得：0<a2^n+a3^n+……+am^n<=（m-1）A^n：

4. 由2、3：A^n<a1^n+a2^n+……+am^n<=mA^n；

5. 由4，A<（a1^n+a2^n+……+am^n）^（1/n）<=Am^（1/n）；

6. 我們之前已經(jīng)在第一次習(xí)題課證明過數(shù)列{m^（1/n）}極限為1，所以{Am^（1/n）}極限為A；

7. 由夾逼準(zhǔn)則，（a1^n+a2^n+……+am^n）^（1/n）極限為A。

明天結(jié)束這部分習(xí)題！