【數(shù)學基礎(chǔ)67】每天三道題（數(shù)學分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預備知識：
設(shè)lim an=a，若a>0，an>0，則lim an^（1/n）=1；
lim（1+1/n）^n=e.
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個向量的向量積，再作所得向量與第三個向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個雙重向量積；
性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；
（axb）xc=（ac）b-（bc）a；
拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；
（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；
（axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）；
右手系/左手系：設(shè)有不共面的三個向量a，b，c，將它們移到同一始點，則a，b決定一個平面，而c指向平面的一旁，將右手四指并攏與拇指分開，使四指向掌心彎曲的方向，表示從a的方向經(jīng)過小于平角的轉(zhuǎn)動達到b的方向，此時若拇指方向與c方向指向平面的同一旁，則稱向量組{a，b，c}構(gòu)成右手系，否則稱為左手系；
直角標架/直角坐標系：設(shè)i，j，k是空間中以O(shè)為起點的三個向量，它們兩兩垂直并且都是單位向量，則O；i，j，k稱為空間的一個以O(shè)為原點的直角標架或直角坐標系，記為{O；i，j，k}；
右手直角標架/右手直角坐標系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個右手架標或右手直角坐標系；否則稱為左手直角架標或左手直角坐標系；
直角坐標系的基向量：我們把i，j，k稱為該直角坐標系的基向量；
仿射架標/仿射坐標系：如果我們不要求i，j，k單位長度且兩兩正交，只要求它們不共面，那么{O；i，j，k}稱為空間一個以O(shè)為原點的仿射架標或仿射坐標系；
右手仿射架標/右手仿射坐標系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個右手仿射架標或右手仿射坐標系；否則稱為左手仿射架標或左手直仿射坐標系；
仿射坐標系的基向量：我們把i，j，k稱為該仿射坐標系的基向量；
坐標：O；i，j，k是空間的一個仿射坐標系（直角坐標系），則任意一個向量v可以唯一表示成v=xi+yj+zk，稱（x，y，z）為向量v在該坐標系{O；i，j，k}下的坐標，記為v=（x，y，z）；
點的坐標：設(shè){O；i，j，k}是空間的一個以O(shè)為原點的仿射坐標系（直角坐標系），規(guī)定P點的坐標為向量OP的坐標，向量OP成為P點的定位向量或矢徑，若P點的坐標為{x，y，z}，記為P（x，y，z）；
坐標軸/坐標平面/卦限：i，j，k所在的直線通常成為坐標軸或分別成為x，y，z軸，每兩根坐標軸所決定的平面稱為坐標平面或xOy，yOz，zOx坐標平面，3個坐標平面把空間分割成8個部分，稱為該坐標系的8個卦限；
兩向量的內(nèi)積等于它們的對應坐標的乘積之和；
向量的長度等于它的坐標的平方和的平方根。
矩陣乘法運算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應的行列式。
矩陣對應行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反/斜對稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。
參考資料：
《數(shù)學分析》（華東師范大學數(shù)學系?編）
《空間解析幾何》（高紅鑄?王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)題解精粹》（錢吉林?編著）
數(shù)學分析——
例題（來自《數(shù)學分析（華東師范大學數(shù)學系?編）》）——
求下述極限：lim（n^3+3n^2+1）/（4n^3+2n+3）.
解：
lim（n^3+3n^2+1）/（4n^3+2n+3）
=lim（1+3/n+1/n^3）/（4+2/n^2+3/n^3）
=1/4.
解析幾何——
例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——
設(shè)a=（5，7，2），b=（3，0，4），c=（-6，1，1），求5a+6b+c.
解：
5a+6b+c
=5（5，7，2）+6（3，0，4）+（-6，1，1）
=（25，35，10）+（18，0，24）+（-6，1，1）
=（37，36，35）.
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)題解精粹（錢吉林?編著）》）——
P是數(shù)域，A，B，E數(shù)域P^（n*n），E是單位陣，且AB=A-B，證明：
（A+E）^（-1）=E-B，
AB=BA.
證：
（A+E）（E-B）
=A+E-AB-B
=AB-AB-E
=E；
所以，（A+E）^（-1）=E-B.
E
=（E-B）（A+E）
=A+E-BA-B
=（A-B）-BA-E
=AB-BA-E，
則AB-BA=0，即AB=BA.
到這里！
