????????經(jīng)典的PID參數(shù)整定的方法主要是基于頻域法和主導(dǎo)零極點(diǎn)的時(shí)域設(shè)計(jì)方法。從上述方法也能看出PID控制器設(shè)計(jì)的理論是基于二階線性定常系統(tǒng)，因此可以按照二次最優(yōu)控制的方法對(duì)PID的參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

? ? ? ? ?首先，我們考慮二階線性定常系統(tǒng)，假設(shè)被控對(duì)象如下：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? 將上式轉(zhuǎn)換成如下?tīng)顟B(tài)方程

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

????????? 其中，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??，V為常值干擾。

????????? ?為了進(jìn)行PID參數(shù)的設(shè)計(jì)，我們對(duì)上式再微分求得其增廣狀態(tài)方程如下：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

????????????其中，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????????????

????????????根據(jù)LQR的控制理論，我們可以定義如下性能指標(biāo)：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

????????????其中，Q和R為相應(yīng)的權(quán)值矩陣。

????????????由最優(yōu)控制理論可求得最優(yōu)控制率為

????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

????????????其中，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

????????????則

????????????對(duì)上式積分，且當(dāng)時(shí)有

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

????????????整理上式可得

????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???

? ? ? ? ? ? ?當(dāng)給定值，則誤差可以定義為，則上式可以寫成 如下PID標(biāo)準(zhǔn)式：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

其中，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ?為了驗(yàn)證上述PID參數(shù)設(shè)計(jì)，我們?cè)賁imulink環(huán)境下搭建相關(guān)仿真對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證。被控二階對(duì)象的傳遞函數(shù)如下所示

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

其中，Q和R分別設(shè)計(jì)為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

????????? ? ? ? ?在Simulink環(huán)境下搭建的模型如下：

????????????? ? ? ? 仿真結(jié)果如下：

???????????????????????從仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，基于LQR設(shè)計(jì)的PID有很好的跟蹤控制性能，且無(wú)超調(diào)。