蘇格拉底：不過(guò)還有提西阿斯，他是你反復(fù)研究過(guò)的，他口中的可能性，除了符合多數(shù)人的意見外，還有沒(méi)有其他意義呢？

斐德羅：真的，還有什么其他意義呢？

——柏拉圖《斐德羅篇》

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撰文?|?約翰·凱（John Kay，倫敦經(jīng)濟(jì)學(xué)院客座經(jīng)濟(jì)學(xué)教授，牛津大學(xué)圣約翰學(xué)院研究員）、默文·金（Mervyn King，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家，英國(guó)央行前行長(zhǎng)）

翻譯?| 傅誠(chéng)剛

本文摘編自《極端不確定性》（中信出版集團(tuán)，2022年7月）

在實(shí)際生活中，人們通常需要在信息不完整的充滿不確定性的情況下作出決策，為了尋找清晰全面的解決方案，學(xué)者們?cè)噲D不斷擴(kuò)大概率推理的應(yīng)用范圍，其背后的數(shù)學(xué)不但有一種簡(jiǎn)潔和美感，且在實(shí)際應(yīng)用方面，人們只需掌握少量必要的知識(shí)和技術(shù)便可操作。概率推理理論的魅力是可以理解的，但我們懷疑這門學(xué)問(wèn)直到17世紀(jì)才發(fā)展起來(lái)。

人類推理的“概率轉(zhuǎn)向”據(jù)說(shuō)始于這樣一個(gè)故事：一名叫作“梅雷騎士”的賭棍向數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家帕斯卡求取計(jì)算賭博結(jié)果的方法。帕斯卡轉(zhuǎn)而求教一位聲望更高的法國(guó)博學(xué)家費(fèi)馬。帕斯卡和費(fèi)馬于1653-1654年的書信來(lái)往被認(rèn)為是首次正式的概率學(xué)分析。

歷史學(xué)家和數(shù)學(xué)家都曾思考過(guò)這個(gè)問(wèn)題：在人類思想史中，為何帕斯卡和費(fèi)馬的發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)得如此之晚？古代雅典曾有世界上最早且最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，且雅典人也賭博。為什么這些數(shù)學(xué)家沒(méi)把將他們的專業(yè)才能用在日常消遣上呢？畢竟就如數(shù)學(xué)家們所說(shuō)，概率論不是很難。

柏拉圖不斷尋覓，最終發(fā)現(xiàn)了邏輯的真理。對(duì)他來(lái)說(shuō)，真理和可能性之間相差甚遠(yuǎn)，前者不證自明，后者只是人們的觀點(diǎn)而已。前現(xiàn)代思想中沒(méi)有可能性這個(gè)概念，因?yàn)楫?dāng)時(shí)人們認(rèn)為事物的發(fā)展全部遵循神明的意志，雖然人們不知道其發(fā)展的軌跡，但這種軌跡是既定的。這意味著當(dāng)時(shí)的人們?yōu)榱讼挛锏牟淮_定性，不會(huì)去使用數(shù)學(xué)的手段，而是祈求神祇的垂憐。因此，他們經(jīng)常會(huì)做出現(xiàn)代人看來(lái)滑稽可笑的事情，比如用祭品的內(nèi)臟來(lái)占卜，或者通過(guò)祈禱取得神諭，這些做法曾持續(xù)數(shù)千年。當(dāng)下我們依然可以尋得這類做法的延續(xù)，現(xiàn)在還有人相信占星術(shù)用茶葉占卜或者迷信那些據(jù)說(shuō)可以預(yù)見未來(lái)的大師的預(yù)言。

由此可見，不僅用數(shù)學(xué)來(lái)表達(dá)概率這種做法歷史短暫，概率成為一個(gè)現(xiàn)代化的概念本就沒(méi)過(guò)多久?，F(xiàn)在的概率，指的是在多種可能結(jié)果中某一結(jié)果出現(xiàn)的可能性的量化表達(dá)。即使到18世紀(jì)，愛(ài)德華·吉本（編注：英國(guó)近代杰出歷史學(xué)家）在描述漢尼拔穿越阿爾卑斯山時(shí)還這樣說(shuō)過(guò)：“李維的敘述更傾向于歷史可能的情況，而波里比阿則更傾向于歷史實(shí)際的樣子?！痹谔岬街炀S安皇帝的敗軍曾接受過(guò)勝利的波斯軍隊(duì)的補(bǔ)給時(shí)，他曾寫道：“這種情況可能發(fā)生，但不是真相?！?/p>

吉本說(shuō)的究竟是什么意思呢？“證明”（prove）、“可能”（probable）和“認(rèn)可”（approve）這三個(gè)單詞的詞根相同。我們今天對(duì)這三個(gè)詞的用法讓我們很難看出這層關(guān)聯(lián)，但對(duì)中世紀(jì)的作家來(lái)說(shuō)（對(duì)吉本來(lái)說(shuō)也是如此），這層關(guān)系非常明顯。因?yàn)閷?duì)他們來(lái)說(shuō)，“可能”的意思是“被大多數(shù)頭腦正常的人認(rèn)可”。在那個(gè)真理由神權(quán)和世俗權(quán)威掌控的時(shí)代，所謂頭腦正常的人，可能會(huì)拒絕用伽利略的望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行觀測(cè)，因?yàn)榻虝?huì)宣稱伽利略聲稱自己通過(guò)望遠(yuǎn)鏡看到的東西并不存在。

1660年，英國(guó)頭等科研機(jī)構(gòu)皇家學(xué)會(huì)建立，并將“口說(shuō)無(wú)憑”（nulliusinverba，現(xiàn)在人們私下里將其譯為“不要聽信任何人的言論”）作為自己的格言，這句話強(qiáng)調(diào)了實(shí)驗(yàn)的重要性，并告誡人們要勇于挑戰(zhàn)權(quán)威。現(xiàn)代關(guān)于概率的概念很可能源自17世紀(jì)科學(xué)推理的發(fā)展，這種推理是工業(yè)革命的先決條件，也為工業(yè)革命推動(dòng)經(jīng)濟(jì)迅速發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。概率論的發(fā)展促成了市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的誕生，因而進(jìn)一步促進(jìn)了經(jīng)濟(jì)發(fā)展。

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死亡率表和人壽保險(xiǎn)

在帕斯卡和費(fèi)馬鴻雁傳書的時(shí)候，一位英國(guó)布匹商人約翰·格朗特正在搜羅倫敦各大公墓的記錄。格朗特將墓地死者的死因記錄下來(lái)整理成數(shù)據(jù)，而通過(guò)這些數(shù)據(jù)，即便無(wú)法防止瘟疫的暴發(fā)，至少也可以觀察到瘟疫擴(kuò)散的規(guī)律。他將死亡記錄按不同年齡段整理出來(lái)，他對(duì)這些數(shù)據(jù)的分析后來(lái)發(fā)展為精算師用來(lái)計(jì)算年金和人壽保險(xiǎn)合理價(jià)格的表格。格朗特受到了資助人兼好友威廉·配第爵士的協(xié)助。后者曾撰寫《英格蘭統(tǒng)計(jì)賬目》，它是英國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算的前身，而國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算由統(tǒng)計(jì)學(xué)家編制并被經(jīng)濟(jì)學(xué)家大量引用。

英國(guó)皇家學(xué)會(huì)迫切地想要進(jìn)一步發(fā)展格朗特的研究，于是收集了大量波蘭布雷斯勞市（今弗羅茨瓦夫市）市民出生和死亡的記錄，這些記錄特征分明，對(duì)研究也大有助益。分析這些數(shù)據(jù)的任務(wù)落在了埃德蒙·哈雷的肩上。提到哈雷其人，人們更耳熟能詳?shù)氖且运拿置腻缧牵族缧敲?5~76年就會(huì)出現(xiàn)一次。哈雷編制了世界上首張死亡率表，人們可以用此表格推算預(yù)期壽命。

英國(guó)公平人壽保險(xiǎn)公司創(chuàng)立于1761年，這家公司之所以如此命名，是因?yàn)樗鞘准矣每茖W(xué)算法來(lái)計(jì)算保險(xiǎn)金額，以保證投保人能夠被平等對(duì)待的公司。該公司用的死亡率表是用英國(guó)北安普敦的人口死亡數(shù)據(jù)制成的。該公司的做法是最早的概率轉(zhuǎn)向嘗試之一，這些嘗試讓概率論不再局限于賭桌，而是應(yīng)用于那些非偶然事件隨機(jī)產(chǎn)物的產(chǎn)生過(guò)程。

之所以可以這樣使用數(shù)據(jù)，是因?yàn)槿藗兗俣ㄈ丝谒劳龅臎Q定因素是穩(wěn)定的——導(dǎo)致人們死亡的事件每年變化很小。但現(xiàn)實(shí)中的事件會(huì)時(shí)不時(shí)地打破這個(gè)假定，例如17世紀(jì)的大瘟疫、20世紀(jì)的西班牙流感和艾滋病。此外，由于衛(wèi)生條件、公共健康和醫(yī)療水平的改善，人口死亡率在20世紀(jì)大幅降低。近年來(lái)，全球人口的預(yù)期壽命年均增長(zhǎng)約3個(gè)月。雖然多數(shù)人已經(jīng)知道，在我們撰寫本書時(shí)，這種增長(zhǎng)在美國(guó)已經(jīng)暫停了，但其實(shí)歐洲的情況和美國(guó)相同，只不過(guò)沒(méi)那么廣為人知。這種情況究竟是一個(gè)持續(xù)過(guò)程中暫時(shí)的停頓，還是一個(gè)根本性的變化？是一個(gè)隨機(jī)的偏差，還是一個(gè)大變動(dòng)？現(xiàn)在我們無(wú)法回答這些問(wèn)題——或許我們永遠(yuǎn)都無(wú)法回答。有些事情是我們未知的，有些事情是我們不知道自己未知的。有的事情是我們以為自己已知的，但事實(shí)并非如此。

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變?yōu)楦怕实牟淮_定性

亞伯拉罕·棣莫弗也是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家，他在帕斯卡和費(fèi)馬的基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展了應(yīng)對(duì)概率游戲的數(shù)學(xué)方法。與許多和他信仰相同的人一樣，17世紀(jì)80年代，棣莫弗在路易十四清洗胡格諾派時(shí)逃往英國(guó)。他在那里結(jié)識(shí)了哈雷，并逐漸了解了哈雷的概率分布研究。棣莫弗將他故國(guó)同僚的概率論數(shù)學(xué)和英國(guó)新知的實(shí)驗(yàn)調(diào)查法相結(jié)合。他問(wèn)出了這樣的問(wèn)題：

“若多次進(jìn)行概率游戲，那么游戲結(jié)果的概率分布將會(huì)如何？”打一個(gè)比方，如果你拋1000次硬幣，平均算來(lái)，你應(yīng)該拋到500次正面，但如果你真的這樣做了，一般很少能正好拋到500次正面，那么你拋到正面次數(shù)為499或者510的概率又是多少呢？

棣莫弗發(fā)現(xiàn)，這些問(wèn)題的答案若要轉(zhuǎn)化成數(shù)據(jù)，那么這些數(shù)據(jù)就會(huì)匯成一條鐘形曲線，也就是現(xiàn)在所說(shuō)的正態(tài)分布。正好拋到500次正面的概率為2.523%——約等于1/40。如果你拋1000次硬幣，然后數(shù)一下拋到正面的次數(shù)，之后多次重復(fù)這個(gè)過(guò)程，那么得出的結(jié)果就取決于正態(tài)分布給出的理論概率。當(dāng)然，頭腦正常的人都不會(huì)這樣身體力行，但現(xiàn)在你可以讓計(jì)算機(jī)或者機(jī)器人替你完成這項(xiàng)工作。每進(jìn)行約40次這樣的實(shí)驗(yàn)，你都會(huì)得到一次500次正面的結(jié)果。拋到499次正面的概率比拋到500次稍微小一點(diǎn)，略小于2.517%，因此你每進(jìn)行約40次這樣的實(shí)驗(yàn)，也會(huì)得到一次拋到499次正面的結(jié)果，拋到501次正面的結(jié)果也是一樣。拋到485~515次正面的概率約為2/3，而如果你只拋到100次正面，那么你遇到的事件，其概率是極其極其小的。

如果事件的過(guò)程是平穩(wěn)的，那么人們通常可以將其套入某個(gè)概率分布模型——每年氣溫或降水量的變化就是案例。這些案例展示了抽象理論給出精確預(yù)測(cè)的能力，這種能力是如此驚人，以至我們不難理解為何之后的研究?jī)A向于夸大這些理論的應(yīng)用范圍。20世紀(jì)初，概率論被用來(lái)預(yù)測(cè)概率游戲以及分析平穩(wěn)過(guò)程產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，從而證明了自身的價(jià)值。那個(gè)時(shí)代偉大的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)家們不斷探索，取得諸多成就，這些成就為自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的諸多領(lǐng)域提供了許多有用的工具。統(tǒng)計(jì)學(xué)家也因此在科學(xué)領(lǐng)域安居一席之地。人類思維的概率轉(zhuǎn)向讓經(jīng)濟(jì)學(xué)家和其他社會(huì)科學(xué)家堅(jiān)定地在概率論這條路上走了下去。

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點(diǎn)數(shù)分配問(wèn)題

梅雷騎士問(wèn)帕斯卡的問(wèn)題被稱為“點(diǎn)數(shù)分配問(wèn)題”，這個(gè)問(wèn)題是現(xiàn)代概率論的開端。假設(shè)騎士的沙龍里某個(gè)概率游戲被打斷了，既然結(jié)果是不完整的，那么游戲的獎(jiǎng)勵(lì)在玩家之間如何分配才算公平？舉個(gè)例子，假如兩名玩家一共下注100個(gè)金路易，并約好贏者通吃，A公爵贏了3局而B侯爵贏了1局，但是玩至中途，公爵受國(guó)王召見，這場(chǎng)夜晚的娛樂(lè)活動(dòng)也不得不匆匆結(jié)束。

在帕斯卡之前，人們普遍認(rèn)為應(yīng)該把獎(jiǎng)金的3/4給A公爵，因?yàn)橐呀?jīng)玩了的4局游戲中他贏了3局。15世紀(jì)末，會(huì)計(jì)學(xué)的始祖之一、意大利數(shù)學(xué)家盧卡·帕喬利曾詳細(xì)闡述過(guò)這種解決方案，且這種方案乍看來(lái)似乎公平可行。但騎士懷疑帕喬利沒(méi)能給出正解，之后帕斯卡和費(fèi)馬這兩位偉大的數(shù)學(xué)家也證明他的懷疑是有道理的。如果游戲繼續(xù)，那么侯爵要想贏，就必須贏下剩下的3局。如果每名玩家贏得1局的概率各為1/2，那么侯爵最后3局全贏的概率只有1/8。這種情況下公爵獲勝通吃的概率為7/8。因此，帕斯卡和費(fèi)馬認(rèn)為獎(jiǎng)勵(lì)應(yīng)該按照這個(gè)比例分配。

帕斯卡和費(fèi)馬在給出結(jié)論的過(guò)程中，提出了三個(gè)對(duì)后續(xù)所有研究都至關(guān)重要的概念。首先是“概率”這個(gè)數(shù)學(xué)上的概念——指贏得任何一場(chǎng)游戲的可能性。其次是一種計(jì)算方法，叫作“復(fù)合概率”——用復(fù)合概率，我們可以通過(guò)一局游戲的獲勝概率計(jì)算連勝3次的概率，也就是1/2的三次方。最后是期望值——如果某場(chǎng)游戲多次重復(fù)，每位玩家可能贏到的錢數(shù)。時(shí)至今日，我們可以用計(jì)算機(jī)編程來(lái)模擬這個(gè)場(chǎng)景，讓其不斷重復(fù)，以此確認(rèn)我們算出的期望值是否就是當(dāng)晚情況不斷重演后的結(jié)果。（在騎士的沙龍里，估計(jì)同樣的情況確實(shí)會(huì)一遍遍重復(fù)。）

早在當(dāng)時(shí)，在解決點(diǎn)數(shù)分配問(wèn)題的過(guò)程中，概率分析的力量就得以展現(xiàn)。帕斯卡給出的答案看似和人的直覺(jué)不符，但若你明白了他的思維邏輯，這個(gè)答案便十分令人信服。概率分析的重點(diǎn)不在于分析已經(jīng)發(fā)生的事件，而在于預(yù)測(cè)未來(lái)。如果公爵和侯爵打算賭100局，那么公爵一開始和侯爵3∶1的優(yōu)勢(shì)就變得微不足道。但如果兩人只打算賭5局，那么侯爵就敗局已定——因?yàn)榈谖寰值膭儇?fù)不會(huì)改變最終結(jié)果，甚至屆時(shí)兩人都不會(huì)賭第五局。

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貝葉斯的妙處

概率論發(fā)展的最后一棒，落到了一個(gè)意想不到的人手上——18世紀(jì)的一名英國(guó)鄉(xiāng)村長(zhǎng)老會(huì)名不見經(jīng)傳的牧師。巧合的是，這位名為托馬斯·貝葉斯的牧師被葬在了現(xiàn)在倫敦金融區(qū)的中心。在他的諸多論文中，貝葉斯給世人留下了當(dāng)今統(tǒng)計(jì)學(xué)最為廣泛傳授的理論之一。雖然生前不為人所知，但時(shí)至今日，他的名字已家喻戶曉，統(tǒng)計(jì)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)的某些分支都以他的名字命名?！柏惾~斯”一詞代表的不僅是一種統(tǒng)計(jì)技巧，而且是一個(gè)學(xué)派，它是一名在肯特郡郊區(qū)獨(dú)自鉆研的學(xué)者留下的學(xué)術(shù)遺產(chǎn)。

通過(guò)貝葉斯定理，我們可以計(jì)算條件概率：在事件B已經(jīng)發(fā)生的前提下，事件A發(fā)生的概率是多少？雖然帕斯卡和費(fèi)馬沒(méi)有像這名肯特郡牧師一樣得出一個(gè)普遍性結(jié)論，但梅雷騎士的點(diǎn)數(shù)分配問(wèn)題其實(shí)也是一個(gè)條件概率問(wèn)題。我們很難想象貝葉斯牧師的交際圈里會(huì)有類似梅雷騎士的沙龍里那幫人一樣的貴族賭徒，但現(xiàn)在讓我們的思維發(fā)散一下，假設(shè)貝葉斯牧師就在那場(chǎng)沙龍里，用擺在精美壁爐臺(tái)上的貝葉斯表盤記錄賭局的情況。表盤上的指針會(huì)指示出每位玩家獲勝的概率，表盤刻度的一端是獲勝概率為零，另一端是獲勝概率為100%。因?yàn)檫@場(chǎng)游戲是公平的，所以表針的初始刻度為50%。當(dāng)公爵贏了第一局游戲時(shí)，牧師用自己的定理迅速進(jìn)行運(yùn)算，隨后表針傾向公爵一方——其刻度約為67%。當(dāng)侯爵贏得第二局游戲時(shí)，表針又回到了50%的初始位置。但后來(lái)公爵又連續(xù)贏了第三和第四局，表針又開始轉(zhuǎn)動(dòng)，因此當(dāng)國(guó)王叫走公爵，游戲中斷的時(shí)候，表針在公爵的一方，刻度為87.5%。

上面提到的貝葉斯表盤將貝葉斯推理可視化。在處理不確定因素時(shí)，我們會(huì)用先驗(yàn)概率去衡量不確定事件。因?yàn)轵T士的賭桌上人人獲勝的概率相等，所以每人獲勝的先驗(yàn)概率就是50%。但隨著游戲的進(jìn)行，玩家不斷提供新的信息，先驗(yàn)概率也不斷改變。表針第一次轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候，它記錄的是A公爵的獲勝概率，而此獲勝概率的前提是公爵第一局贏了。之后A公爵的獲勝概率不斷調(diào)整，但之后的所有調(diào)整都以A公爵第一局獲勝但B侯爵第二局獲勝為條件。獲勝概率的先驗(yàn)條件以此類推，隨著游戲的進(jìn)行而不斷疊加。

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蒙提·霍爾

蒙提·霍爾悖論充分體現(xiàn)出貝葉斯定理的強(qiáng)大。這個(gè)悖論和20世紀(jì)60年代的美國(guó)智力問(wèn)答節(jié)目《來(lái)做交易吧》有關(guān)，它由該節(jié)目的主持人蒙提·霍爾的名字命名，節(jié)目的嘉賓需要猜出藏在幕布后面的獎(jiǎng)品在哪里。蒙提·霍爾悖論最初由美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家史蒂文·塞爾溫提出，此后該悖論一直被后續(xù)的研究和文獻(xiàn)提及。節(jié)目中，參與者會(huì)看到三個(gè)盒子，主持人已經(jīng)在其中一個(gè)盒子里放入車鑰匙，而另兩個(gè)盒子是空的。如果參與者選擇了那個(gè)裝有車鑰匙的盒子，則他們獲勝。參與者做出選擇后，蒙提會(huì)打開另兩個(gè)盒子中的一個(gè)，他打開的那個(gè)盒子必定是空的，以此排除一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)。之后參與者可以維持原來(lái)的選擇，也可以改選剩下的那一個(gè)盒子。

憑直覺(jué)來(lái)說(shuō)，一開始鑰匙在任何一個(gè)盒子中的概率都是相同的，現(xiàn)在只剩下兩個(gè)盒子可供選擇，而這兩個(gè)盒子中有車鑰匙的概率也應(yīng)該是相同的，因此沒(méi)必要改變主意。但這種純憑直覺(jué)的判斷是錯(cuò)誤的。蒙提知道哪個(gè)盒子里裝有車鑰匙。如果車鑰匙在你最初選的那個(gè)盒子里（這種情況的概率有1/3），那么蒙提打開哪個(gè)盒子都不要緊。但你如果做出了錯(cuò)誤的選擇（這種情況的概率有2/3），那么蒙提必須小心地辨認(rèn)哪個(gè)是空盒子，哪個(gè)是不應(yīng)該打開的裝有車鑰匙的盒子。所以看起來(lái)車鑰匙更可能在你沒(méi)選的盒子里（概率為2/3）而不是在你選中的盒子里（概率為1/3）。蒙提在不知情的情況下，已經(jīng)向你透露了一條信息：你沒(méi)選的那個(gè)盒子里有車鑰匙的概率是2/3，因此你應(yīng)該改變主意去選那個(gè)盒子。

如果你覺(jué)得這種說(shuō)法難以置信（對(duì)大部分人來(lái)說(shuō)都是如此），那就想象一下，如果供人選擇的盒子不是3個(gè)，而是100個(gè)。當(dāng)你做出選擇時(shí)，蒙提會(huì)打開98個(gè)空盒子。雖然車鑰匙還是有可能在你選中的盒子里，但與之相比，車鑰匙在蒙提沒(méi)有打開的那個(gè)盒子里的概率要大很多。如果這依然無(wú)法讓你信服，很多網(wǎng)站上都可以找到計(jì)算機(jī)模擬的蒙提·霍爾游戲，你可以玩一下試試。很快你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，改變你的選擇勝算會(huì)更大一些。點(diǎn)數(shù)分配問(wèn)題和蒙提·霍爾的電視節(jié)目中體現(xiàn)出了概率論數(shù)學(xué)的價(jià)值。這兩個(gè)例子中，人們都通過(guò)概率推算，為不可預(yù)料的結(jié)果提供了令人信服的推論。

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無(wú)差別原則

解決點(diǎn)數(shù)分配問(wèn)題和蒙提·霍爾悖論所仰仗的原則后來(lái)被稱為無(wú)差異原則——如果我們沒(méi)有辦法證明一件事發(fā)生的可能性大于另一件事，我們就可以認(rèn)定兩件事發(fā)生的概率相同。我們假定公爵和侯爵在剩下的游戲中的獲勝概率是相同的，這可能是因?yàn)槲覀冎来祟愑螒蚪Y(jié)果的概率分布模式，因而得出這個(gè)結(jié)論。至于蒙提·霍爾悖論，我們知道那把車鑰匙可能在任何一個(gè)盒子里，因此每個(gè)盒子里有車鑰匙的概率為1/3。

在兩次世界大戰(zhàn)的戰(zhàn)間期和二戰(zhàn)期間，凱恩斯因其對(duì)英國(guó)乃至全世界公共政策所做的貢獻(xiàn)而為世人所知。然而鮮為人知的是，一戰(zhàn)之前，就讀于劍橋大學(xué)國(guó)王學(xué)院的凱恩斯為申請(qǐng)獎(jiǎng)學(xué)金完成了一篇論文——實(shí)際上也是他的博士學(xué)位論文。這篇論文成了凱恩斯于1921年發(fā)表的《論概率》的基礎(chǔ)。文中有一章講的就是無(wú)差異原則。凱恩斯堅(jiān)決拒絕該原則的大范圍應(yīng)用，其態(tài)度可以總結(jié)如下：

舉個(gè)例子，如果我們對(duì)世界各國(guó)的地域和人口信息一無(wú)所知，那么某人是大不列顛人的可能性就和他是愛(ài)爾蘭人的可能性一樣大。因?yàn)槲覀儧](méi)有理由相信一者的可能性大于另一者。這個(gè)人是愛(ài)爾蘭人的可能性也和他是法國(guó)人的可能性一樣大。那么同理，他居于不列顛群島的概率和他居于法國(guó)的概率也相同。但這些結(jié)論前后矛盾。因?yàn)槲覀兺ㄟ^(guò)前兩個(gè)結(jié)論，可以得出如下結(jié)論：此人是不列顛群島人（大不列顛和愛(ài)爾蘭同屬不列顛群島）的可能性是他是法國(guó)人的兩倍。如果我們可以證明，只有在知道不列顛群島由大不列顛和愛(ài)爾蘭組成的情況下，一個(gè)人來(lái)自法國(guó)的可能性才更小，若是不知道這個(gè)信息，情況就不是如此，那么三個(gè)結(jié)論的前后矛盾便不復(fù)存在。但我不認(rèn)為我們可以做此證明，因而三個(gè)結(jié)論的前后矛盾是無(wú)法解決的。

如果我們對(duì)世界地理一無(wú)所知，那么如果有人問(wèn)起“一個(gè)人住在法國(guó)的可能性有多大”，唯一合理的回答則是“我不知道”。

談及無(wú)差別原則時(shí)，凱恩斯寫道：“任何邏輯理論、方程公式，其力量和無(wú)差別原則相比都不足為奇。因?yàn)樵撛瓌t在一無(wú)所知的前提下證明了上帝的存在?！眲P恩斯這里顯然是想到了“概率論之父”帕斯卡的著名“賭注”，帕斯卡曾言：“上帝要么存在，要么不存在。人們無(wú)法以理性確認(rèn)這一點(diǎn)……因此你必須下注，不能不下……讓我們衡量一下賭上帝存在與否的利弊得失吧。這場(chǎng)賭注有兩種情況。你若賭對(duì)，則將贏得一切；你若賭錯(cuò)，那你也沒(méi)什么損失。那么不要猶豫，賭上帝存在吧?！迸了箍ǖ拇说扔?jì)算首次將概率和對(duì)可能結(jié)果的主觀衡量相結(jié)合，以此來(lái)應(yīng)對(duì)最根本的不確定性。

點(diǎn)數(shù)分配問(wèn)題和蒙提·霍爾的游戲都是人為設(shè)計(jì)的問(wèn)題，這些問(wèn)題的規(guī)則、細(xì)節(jié)和答案都十分明確。例如，我們知道公爵和侯爵一共打算玩幾局游戲；我們也知道，或者說(shuō)已經(jīng)能猜到，蒙提·霍爾知道哪個(gè)盒子里有車鑰匙。這些問(wèn)題的答案很大程度上受這些預(yù)設(shè)前提的影響——在這兩個(gè)例子中就是如此。電視節(jié)目里選盒子的結(jié)果，其前提是蒙提知道哪個(gè)盒子里有車鑰匙（雖然有時(shí)候觀眾對(duì)此并不知情）。如果他不知道，那么問(wèn)題就大不相同了。蒙提可能打開有車鑰匙的盒子，使得參賽者最后一無(wú)所獲。如果蒙提不知道哪個(gè)盒子里有車鑰匙，那么他是否打開那個(gè)空盒子就全靠概率：對(duì)獲獎(jiǎng)概率的最初判斷是正確的，三個(gè)盒子里有車鑰匙的概率確實(shí)相同。但觀看該節(jié)目的樂(lè)趣所在，就是參賽者面臨選擇時(shí)的焦慮——到底該不該改變自己最初的選擇，同時(shí)現(xiàn)場(chǎng)的觀眾也會(huì)大喊著給出建議。（或許現(xiàn)在我們很難理解現(xiàn)場(chǎng)觀眾喧鬧聲的吸引力，但當(dāng)年，在《來(lái)做交易吧》這個(gè)節(jié)目里，現(xiàn)場(chǎng)觀眾的熱情參與也是其吸引電視節(jié)目觀眾的元素之一。）

如果每個(gè)人都知道了其背后的原理，那么這個(gè)節(jié)目還會(huì)像之前那么有趣嗎？觀眾還能相信最初的規(guī)則仍未改變嗎？現(xiàn)實(shí)生活永遠(yuǎn)是復(fù)雜的。很多財(cái)經(jīng)評(píng)論員和教師都會(huì)引用蒙提·霍爾悖論，他們想借這個(gè)例子說(shuō)明只有在詳細(xì)列出所有假定的前提后，才能“解決”人為設(shè)定的問(wèn)題或模型。他們的觀點(diǎn)是正確的。但在一個(gè)極端不確定的世界里，很難找到條件詳盡、前提十分清晰的問(wèn)題。在概率論數(shù)學(xué)中，所有可能事件的概率之和必須是1。所以，如果我們知道車鑰匙可能在兩個(gè)盒子中的一個(gè)里，那么每個(gè)盒子里有車鑰匙的可性則為1/2；如果共有三個(gè)盒子，概率則為1/3。如果車鑰匙在一個(gè)盒子中的概率為另一個(gè)盒子的2倍（且第三個(gè)盒子必須是空的，鑰匙只在這兩個(gè)盒子中的一個(gè)里），那么這兩個(gè)盒子里有車鑰匙的可能性分別為2/3和1/3。但在一個(gè)極端不確定的世界里，如果我們無(wú)法將所有可能事件全盤列出呢？如果這樣尚且無(wú)法做到，那我們就更不可能計(jì)算出所有事件發(fā)生的概率了。在本書隨后的篇幅里，我們會(huì)向讀者展示這個(gè)問(wèn)題對(duì)概率的廣泛應(yīng)用來(lái)說(shuō)有多么重要。

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貝葉斯和診療室

蒙提·霍爾悖論是輕松的娛樂(lè)活動(dòng)，但癌癥的診斷事關(guān)生死。醫(yī)療健康組織正努力促進(jìn)乳腺癌和前列腺癌的大排查。這些排查癌癥的檢測(cè)不可能是完美的：有時(shí)檢測(cè)的結(jié)果是假陰性，這就給了患者錯(cuò)誤的保障；有時(shí)檢測(cè)的結(jié)果是假陽(yáng)性，讓患者白白擔(dān)憂。假設(shè)通過(guò)乳腺X線攝影，可以查出90%患癌女性身上的乳腺癌（這個(gè)數(shù)據(jù)被稱為檢測(cè)的靈敏度），也可以準(zhǔn)確排除90%未患癌女性身上患癌的可能（這個(gè)數(shù)據(jù)被稱為檢測(cè)的特異度）。實(shí)際上，乳腺X線攝影的有效性可能還達(dá)不到上述數(shù)據(jù)。

當(dāng)然，大多數(shù)女性并未患有乳腺癌。如果全世界女性患乳腺癌的概率為1%，那么女性乳腺攝影結(jié)果為陽(yáng)性且真的患有乳腺癌的概率又是多少呢？這個(gè)問(wèn)題的答案讓包括許多醫(yī)生在內(nèi)的人都大吃一驚。每1000名女性中，大約有10名女性可能患乳腺癌，其中通過(guò)癌癥檢測(cè)，有9名女性的癌癥可以被查出來(lái)，但剩下的990人中，有99人（也就是1/10的人）的檢測(cè)結(jié)果會(huì)呈陽(yáng)性。所以1000人中會(huì)有108人的檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，其中9人確實(shí)患有癌癥，其余99人并未患癌。那么某位女性檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性且患乳腺癌的條件概率則為1/12，也就是說(shuō)，一個(gè)陽(yáng)性檢測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確率只有1/12。

前面的一系列計(jì)算是基于德國(guó)心理學(xué)家格爾德·吉仁澤舉的一個(gè)例子。十多年來(lái)，吉仁澤掀起了自己的運(yùn)動(dòng)，其目的是反對(duì)那些促進(jìn)排查常規(guī)化的運(yùn)動(dòng)。乳腺癌和前列腺癌的隨機(jī)排查，其害處可能遠(yuǎn)大于益處。因?yàn)檫@些病情的過(guò)度診斷有可能讓患者產(chǎn)生不必要的擔(dān)憂并做多余的手術(shù)。排查檢測(cè)要想更為有效，一種方法是把排查對(duì)象局限在比總體人口更容易患癌的人群當(dāng)中，另一種方法就是提高檢測(cè)的靈敏度和特異度。吉仁澤收集的證據(jù)表明，有的從醫(yī)人員對(duì)貝葉斯定理一無(wú)所知，因而會(huì)嚴(yán)重夸大患者患病的風(fēng)險(xiǎn)和此類檢測(cè)結(jié)果的可信度。這些醫(yī)生只著眼于因及時(shí)檢查而救下的寥寥患者，卻忽視了那些接受多余治療并深受其害的大批患者，后者的數(shù)量可是遠(yuǎn)超前者。

在對(duì)乳腺癌排查的分析中，吉仁澤充分展現(xiàn)了自己的判斷力和經(jīng)驗(yàn)。在這個(gè)案例中，通過(guò)一個(gè)概率模型，他把患癌率的計(jì)算轉(zhuǎn)換為一個(gè)人為設(shè)置的問(wèn)題并使這個(gè)問(wèn)題得以解決。當(dāng)然，吉仁澤并沒(méi)說(shuō)自己記錄的是乳腺癌的真實(shí)患病情況，也沒(méi)有澄清案例中癌癥排查檢測(cè)結(jié)果的真實(shí)性。但他的分析強(qiáng)有力地證明了一件事情：那些只懂醫(yī)學(xué)不懂概率學(xué)的專家很可能會(huì)嚴(yán)重誤導(dǎo)患者。

這些強(qiáng)大的概率模型很難應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中——現(xiàn)實(shí)中，相比不易患乳腺癌的女性，容易患乳腺癌的女性更可能去拍乳腺攝影，這一點(diǎn)不難理解。無(wú)論是讓梅雷騎士思考點(diǎn)數(shù)分配問(wèn)題的那場(chǎng)賭局，還是蒙提·霍爾悖論，在這些概率游戲中，所有的因素要么是已知的，要么是未知的，要么是確定的，要么是隨機(jī)的。但在大多數(shù)情況下，已知和未知、確定和隨機(jī)這種二元對(duì)立在現(xiàn)實(shí)中并不存在。我們知道某些事，但總是了解得不夠透徹。這就是極端不確定性的本質(zhì)。

在分析癌癥的隨機(jī)排查時(shí)，吉仁澤并沒(méi)有誤以為非實(shí)物實(shí)驗(yàn)得出的概率可以應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中。他沒(méi)有聲稱自己計(jì)算出了現(xiàn)實(shí)中任意女性患乳腺癌的概率。若想計(jì)算現(xiàn)實(shí)生活中事件的概率，那么不僅要用該事件的模型計(jì)算概率，還要計(jì)算該模型在現(xiàn)實(shí)中真實(shí)性的概率，最后將這兩個(gè)概率相結(jié)合。但我們無(wú)從得知模型在現(xiàn)實(shí)中的真實(shí)性，我們甚至很難理解“世界的代表即為世界的概率”這個(gè)概念。很多人難以分辨何為“運(yùn)氣不好”（即在一個(gè)模型范圍內(nèi)可能性極小的事件），何為模型本身存在問(wèn)題，關(guān)于這一點(diǎn)，我們?cè)诤竺娴钠轮性僮鲈敿?xì)解釋。

本文摘編自《極端不確定性》第4章《用概率思考問(wèn)題》。