預(yù)備知識(shí)：

1. 收斂數(shù)列{an}極限為a，則an=a+ɑn，其中{ɑn}為一個(gè)無(wú)窮小；

2. 收斂數(shù)列必有界；

3. 有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮??；

4. 有界數(shù)列乘以無(wú)窮小的積還是無(wú)窮小；

5. 設(shè)lim an=a，則lim（a1+a2+……+an）/n=a；

6. 設(shè)lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

7. 設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；

8. 設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

9. 矩陣乘法運(yùn)算律——

   a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

   e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。

10. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。

11. 矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；

12. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng) 編著）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數(shù)習(xí)題集》（楊子胥 編）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——

設(shè){an}滿足lim（a1+a2+……+an）/n=l，試證明：

a.若lim n（an-an-1）=0，則lim?an=l；

b.若lim?an=l，則I=[2（a2-a1）+……+n（an-an-1）]/n=0.

證：

a.

1. 令a0=0，令bn=an-an-1，則an=b1+b2+……+bn，令cn=nbn；

2. lim n（an-an-1）=lim cn=0

3. a1+a2+……+an

   =b1+（b1+b2）+……+（b1+b2+……+bn）

   =nb1+（n-1）b2+……+bn；

4. （n+1）an-（a1+a2+……+an）

   =（n+1）（b1+b2+……+bn）-[nb1+（n-1）b2+……+bn]

   =（b1+2b2+……+nbn）；

5. lim?（b1+2b2+……+nbn）/（n+1）

   =lim（b1+2b2+……+nbn）/n?lim?n/（n+1）

   =lim（c1+c2+……+cn）/n?lim?n/（n+1）

   =0

6. lim an-lim（a1+a2+……+an）/（n+1）

   =lim（b1+2b2+……+nbn）/（n+1）=0，

   lim?an

   =lim（a1+a2+……+an）/（n+1）

   =lim（a1+a2+……+an）/n?lim?n/（n+1）

   =l

b.

1. lim[2（a2-a1）+……+n（an-an-1）]/n

   =lim[-（a1+a2+……+an）+（n+1）an-a1]/n

   =-lim（a1+a2+……+an）/n+lim（n+1）an/n-lim??a1/n

   =-l+l-0=0.

解析幾何——

例題（來(lái)自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——

兩個(gè)非零向量e1，e2不共線.設(shè)AB=e1+e2，AC=2e1+8e2，AD=3（e1-e2），試證A，B，C，D共面。

證：A，B，C，D四點(diǎn)共面，即向量AB，AC，AD共面，即存在不全為0的實(shí)數(shù)對(duì)λ，μ，使得λAB+μAC=AD，即λ+2μ=3，λ+8μ=-3，解得λ=5，μ=-1，得證。

高等代數(shù)——

例題（來(lái)自《高等代數(shù)習(xí)題集（楊子胥 編）》）——

設(shè)A，B為n階方陣，且A^2=A，B^2=B，（A-B）^2=A+B.證明：

AB=BA=0.

證：

1. （A-B）^2

   =（A-B）（A-B）

   =A^2-AB-BA+B^2

   =A-AB-BA+B

   =A+B，

   -AB-BA=0，AB=-BA；

2. AB

   =A^2B

   =A（AB）

   =A（-BA）

   =-（AB）A

   =-（-BA）A

   =BA^2

   =BA，

   -BA=BA=0；

3. 由1,2：AB=BA=0.

到這里！