前言

? ? ? ??本文為前一篇文章「理論分析--集成運(yùn)放實(shí)現(xiàn)IPDPI」的續(xù)作，在閱讀本文之前建議先閱讀前文，加深印象。前文主要對(duì)IPDPI器進(jìn)行傅里葉變換分析，本文將對(duì)其進(jìn)行拉普拉斯變換分析，以獲得更多的觀察結(jié)果。由于該電路是從開關(guān)電源的反饋環(huán)路上用作環(huán)路補(bǔ)償?shù)?，所以本文也稱之為環(huán)路補(bǔ)償器。

? ? ? ??前文引導(dǎo)：https://www.bilibili.com/read/cv12005749

正文

1、復(fù)頻域（s域）

? ? ? ??在分析電路之前，先看看拉普拉斯變換后的復(fù)頻域（也叫s域）的物理意義。

? ? ? ??傅里葉變換把時(shí)域變換成頻域，在圖中以一條紅線標(biāo)注。可以看到，頻域只是復(fù)頻域中的一部分，所以說傅里葉變換是拉普拉斯變換的一種特殊形式。

? ? ? ??虛軸（縱軸）為頻率ω，原點(diǎn)處為0，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)頻率越高；負(fù)虛軸為負(fù)頻率，代表虛指數(shù)exp(jωt)的旋轉(zhuǎn)方向相反，其幅值與正頻率相同（偶函數(shù)），相角與正頻率相反（奇函數(shù)），僅為數(shù)學(xué)計(jì)算需要，無實(shí)際物理解釋。傅里葉變換本質(zhì)把一個(gè)波形分解成各個(gè)虛指數(shù)分量。當(dāng)在虛軸上插入一個(gè)極點(diǎn)，其極點(diǎn)處的虛指數(shù)分量即被提取，對(duì)其進(jìn)行傅里葉逆變換后（σ=0的拉普拉斯逆變換），便得其出波形?，F(xiàn)在往s平面上戳個(gè)極點(diǎn)，并沿著虛軸從負(fù)到正過一遍，下圖為其逆變換后的輸出波形：

? ? ? ??實(shí)軸（橫軸）為增長(zhǎng)率σ，其逆變換后輸出波形振幅為exp(σt)（正變換時(shí)把“exp(σt)”稱之為衰減因子）。拉普拉斯變換為傅里葉變換的拓展，把一個(gè)波形分解成各個(gè)復(fù)指數(shù)分量。當(dāng)往s域戳個(gè)極點(diǎn)，其極點(diǎn)處的復(fù)指數(shù)分量即被提取，對(duì)其進(jìn)行拉普拉斯逆變換后，便得出其波形。現(xiàn)在往s平面上戳個(gè)極點(diǎn)，并沿實(shí)軸從負(fù)到正過一遍，下圖為其逆變換后的輸出波形：

? ? ? ??現(xiàn)在用極點(diǎn)把s域過一遍，并對(duì)其逆變換。理解了坐標(biāo)軸處的逆變換波形后，s域波形即為兩種波形的正交組合。下圖展現(xiàn)幾個(gè)有代表性的輸出波形：

? ? ? ??牢記這張圖，它反映著系統(tǒng)輸出的波形對(duì)應(yīng)其極點(diǎn)在s域的位置。

2、對(duì)數(shù)坐標(biāo)系

? ? ? ? 電路分析時(shí)需要分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，而頻率ω范圍很廣，從0 rad/s到1 Grad/s 均要分析。若使用線性坐標(biāo)系，低頻許多細(xì)節(jié)被壓縮到無法查看，而高頻部分變化不大卻被展寬，不利于其分析。而對(duì)數(shù)坐標(biāo)系把低頻放大，高頻壓縮，1 rad/s到1?Grad/s對(duì)數(shù)化后將變成0到9的線性坐標(biāo)，對(duì)分析有利。

? ? ? ? 同樣，電路對(duì)信號(hào)的放大倍數(shù)跨度從0.001倍到1000000倍均有。線性坐標(biāo)系下，大部分細(xì)節(jié)被壓縮無法查看，而對(duì)數(shù)坐標(biāo)系則能很好完成此任務(wù)。同時(shí)對(duì)零點(diǎn)有明顯顯示作用（log(0)=-∞）。這也是伯德圖（波特圖）使用對(duì)數(shù)坐標(biāo)系的原因。

? ? ? ? 對(duì)數(shù)底數(shù)的約定：本文默認(rèn)log(x)均以10為底，ln(x)均以e為底。

? ? ? ? 需要注意的是：對(duì)數(shù)坐標(biāo)系無法取到0！（因?yàn)閘og(0)=-∞）。把s域?qū)?shù)化后，其坐標(biāo)軸位置的數(shù)據(jù)無法畫出，所以對(duì)數(shù)坐標(biāo)系只能畫出s域的一個(gè)象限。對(duì)于虛軸ω，負(fù)頻率與正頻率是對(duì)稱的（上半平面和下半平面一樣），所以三四象限可以不用畫。對(duì)于實(shí)軸σ，只要確定右半平面沒有極點(diǎn)就可以不用畫第一象限。因?yàn)橛野肫矫嬗袠O點(diǎn)時(shí)輸出信號(hào)是發(fā)散的（自激），系統(tǒng)本就不穩(wěn)定。我們只對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)感興趣，而穩(wěn)定系統(tǒng)極點(diǎn)都在左半平面，所以只需畫第二象限的s域即可。

3、IPDPI器電路

? ? ? ??首先這是IPDPI器的電路圖：

? ? ? ??同上一期，為簡(jiǎn)化電路，減少工作量，電路分塊成兩個(gè)阻抗Z1和Z2，各自單獨(dú)分析一個(gè)阻抗后，再組合成整體分析。

4、阻抗Z1：RC串并C

? ? ? ??已知電阻的復(fù)阻抗依舊為R，電容的復(fù)阻抗為1/ sC，按照串并聯(lián)的阻抗計(jì)算規(guī)則，即可得電路Z1的復(fù)阻抗，同時(shí)獲知其極點(diǎn)和零點(diǎn)：

? ? ? ??現(xiàn)在來看看Z1的函數(shù)圖（z軸為Z1模長(zhǎng)且開對(duì)數(shù)）。由于打點(diǎn)精度關(guān)系，分兩張圖，一個(gè)上限到3k，一個(gè)上限到300k：

? ? ? ??函數(shù)圖中有一條紅色線，這條線是σ=0的線（即虛軸），在虛軸右側(cè)沒有極點(diǎn)，而在虛軸本身有一個(gè)極點(diǎn)，虛軸左側(cè)有一個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)?，F(xiàn)在轉(zhuǎn)到對(duì)數(shù)坐標(biāo)系。

? ? ? ??觀察發(fā)現(xiàn)，紅色線描繪的軌跡，即為伯德圖的軌跡（可參考前一篇文章）。再次印證：傅里葉變換得到的頻線，只是拉普拉斯變換其中的一條。

? ? ? ??可以看到，極點(diǎn)（Pole）存在會(huì)導(dǎo)致阻抗往容性方向轉(zhuǎn)變，同時(shí)導(dǎo)致相位-90°的能力。零點(diǎn)（Zero）則與極點(diǎn)相反，導(dǎo)致阻抗往感性方向轉(zhuǎn)變，同時(shí)導(dǎo)致相位+90°的能力。由于Z1的零極點(diǎn)出現(xiàn)順序是p->z->p，所以導(dǎo)致Z1阻抗為容->阻->容（對(duì)比前一篇文章可證）。

5、阻抗Z2：RC串并R

? ? ? ??通過簡(jiǎn)單的串并聯(lián)計(jì)算可得其復(fù)阻抗和零極點(diǎn)：

? ?? ? ?先看看Z2函數(shù)圖：

? ? ? ??可以看到函數(shù)圖的虛軸右側(cè)沒有極點(diǎn)，在虛軸左側(cè)有一個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)。現(xiàn)在轉(zhuǎn)到對(duì)數(shù)坐標(biāo)系：

? ? ? ??同樣觀察發(fā)現(xiàn)，紅線描繪的軌跡即為伯德圖的軌跡。因?yàn)閆2的零極點(diǎn)出現(xiàn)順序是p->z，所以Z2阻抗為阻->容->阻。

6、IPDPI器傳遞函數(shù)

? ? ? ??根據(jù)集成運(yùn)放的特性即可得出傳遞函數(shù)為H=-Z1/Z2（具體公式可參見前一篇）。注意由于Z2放在分母，其零極點(diǎn)發(fā)生調(diào)換。并且集成運(yùn)放接成反比例模式，輸出會(huì)與輸入反相（或者說多產(chǎn)生180°相移），所以帶上負(fù)號(hào)。現(xiàn)在觀察其傳遞函數(shù)以及零極點(diǎn)：

? ? ? ??可以看到IPDPI器具有3個(gè)極點(diǎn)，2個(gè)零點(diǎn)。由于C1>C2，R2>R3（設(shè)計(jì)要求），可得知p2>z1（絕對(duì)值），p3>z2（絕對(duì)值）。換句話說就是IPDPI器提供了1個(gè)直流極點(diǎn)，2個(gè)高頻極點(diǎn)和2個(gè)中頻零點(diǎn)。根據(jù)零極點(diǎn)相消特性，當(dāng)其用在開關(guān)電源反饋環(huán)路時(shí)，可消去2個(gè)中頻極點(diǎn)以及2個(gè)高頻零點(diǎn)，提供環(huán)路補(bǔ)償，優(yōu)化電源的響應(yīng)。其最終響應(yīng)需要和開關(guān)電源本身的傳遞函數(shù)相乘結(jié)合，形成閉環(huán)傳遞函數(shù)，方能求出。在實(shí)際設(shè)計(jì)中，一般是先求出開關(guān)電源的傳遞函數(shù)，再根據(jù)其零極點(diǎn)位置設(shè)計(jì)IPDPI器，使零極點(diǎn)相互抵消。

? ? ? ??現(xiàn)在欣賞下IPDPI器的傳遞函數(shù)圖：

? ?? ? ?可以看到虛軸右側(cè)沒有極點(diǎn)，現(xiàn)在轉(zhuǎn)到對(duì)數(shù)坐標(biāo)系：

? ? ? ??同樣觀察發(fā)現(xiàn)，紅色線描繪了其伯德圖響應(yīng)軌跡。按照零極點(diǎn)出現(xiàn)的順序：p1->z1->z2->p2->p1，可得其傳遞函數(shù)體現(xiàn)I（積分）->P（比例）->D（微分）->P（比例）->I（積分）的特性，故我把它稱之為IPDPI器。

總結(jié)

???? ? ?本文對(duì)IPDPI器進(jìn)行了拉普拉斯變換分析，得出其傳遞函數(shù)，其精髓也在其傳遞函數(shù)，。至于其輸出信號(hào)波形（時(shí)域解析式）無需其過多關(guān)注，若真想看借助計(jì)算機(jī)電路仿真軟件即可，不必在此浪費(fèi)自己的精力。在寫本文時(shí)本人就曾嘗試計(jì)算其輸出波形（拉普拉斯逆變換），但最終發(fā)現(xiàn)，其輸出時(shí)域解析式無外乎以下形式：

? ?? ? ?K1到K4是個(gè)常數(shù)，只是給不同波形加權(quán)不一樣罷了，但其值與Uin有關(guān)，所以不同輸入波形Ui都會(huì)導(dǎo)致不同的K值，全部求解費(fèi)時(shí)費(fèi)力，不如有現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景使用數(shù)值解，而不是解析解。其中式子1--3項(xiàng)都是「暫態(tài)響應(yīng)」，因?yàn)闃O點(diǎn)（Poles）的實(shí)部Real都是小于（等于）0的，隨著時(shí)間t推移，其值都會(huì)歸0（保持一個(gè)常數(shù)），只剩下第4項(xiàng)「強(qiáng)迫響應(yīng)」。（當(dāng)Real p=0時(shí)，若Imag p=0，則是一個(gè)直流分量，值為K；若Imag p≠0，則是一個(gè)正/余弦分量，振幅為K）。所以除了第4項(xiàng)和Real p=0的項(xiàng)需要關(guān)注外，其它項(xiàng)可以省略不算（除非目的就是觀察暫態(tài)響應(yīng)）。至于K4的值在前一篇傅里葉變換中已經(jīng)給出解析解，本文此處不再重復(fù)。

? ? ? ??不過有個(gè)結(jié)論需要記一下：如果Uin波形的拉普拉斯變換后的極點(diǎn)，正好命中傳遞函數(shù)的零點(diǎn)（Zeros）的話，其強(qiáng)迫響應(yīng)會(huì)被“吞掉”（K4=0），只剩下暫態(tài)響應(yīng)。換個(gè)通俗的話說，傳遞函數(shù)的零點(diǎn)相等于表示電路對(duì)這部分波形的響應(yīng)是零，輸入這部分波形電路就會(huì)直接把它吞掉。這也是零極相消的意思，如果電路輸入了一個(gè)波形（極點(diǎn)），但我不想輸出有這個(gè)波形，那就弄個(gè)零點(diǎn)去把它給“吞”了。反過來思考，如果電路中有一個(gè)零點(diǎn)在那吞波形但我想保留波形，那就制造一個(gè)極點(diǎn)去把這個(gè)零點(diǎn)給“湮滅”掉。這就是環(huán)路補(bǔ)償?shù)乃枷搿?/p>

? ? ? ??如果輸入波形的極點(diǎn)正好命中傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，這時(shí)候極點(diǎn)稱之為「雙重極點(diǎn)」，其輸出響應(yīng)將為冪指函數(shù)：t*exp(p*t)，此時(shí)輸出開始時(shí)將是增長(zhǎng)狀態(tài)（雖然最后會(huì)被exp拉回到0），雙重極點(diǎn)不利于電路穩(wěn)定，設(shè)計(jì)時(shí)最好避免產(chǎn)生雙重極點(diǎn)。

? ? ? ??總之，IPDPI器是在開關(guān)電源反饋環(huán)路上摳下來的，要分析其起到的作用，只能放回開關(guān)電源里進(jìn)行綜合分析，看整個(gè)電源的總體效果。若單獨(dú)摳下來使用，那它確實(shí)只能作為一個(gè)IPDPI器了。（完）

by HD-nuke8800

2022/3/25

附錄

? ? ? ??本文函數(shù)圖像采用MATLAB繪制，以下為繪制傳遞函數(shù)代碼：

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