今天給大家講的是概率論期中考前內(nèi)容，期中考試范圍包括了第一章，第二章以及第三章前三節(jié)的內(nèi)容，考試的題型有10道選擇和5道填空。第一章我會簡單地帶過，然后著重地講一下第二三章內(nèi)容，過程中可能會指出哪些是我個(gè)人覺得比較重要的地方，希望可以用比較易懂的講解幫助大家更好的進(jìn)行知識梳理和期中復(fù)習(xí)，大家也可以根據(jù)自己的需要進(jìn)行觀看。然后我自己也是和大家一起學(xué)習(xí)的嘛，過程中可能會有些地方講錯(cuò)，也歡迎大家在評論區(qū)和彈幕進(jìn)行指正。

第一章：

一：

1.了解概率論里面基本的概念。

2.相較于高中，個(gè)人認(rèn)為新一點(diǎn)的概念可能是“事件之差”還有“分配律”“摩根律”這兩種計(jì)算定律，這兩條定律在后面用得比較多，摩根律概括起來就是“交的補(bǔ)等于補(bǔ)的并”，“并的補(bǔ)等于補(bǔ)的交”。

3.個(gè)人認(rèn)為加法公式（互斥的加法公式）和減法公式是第一章的重點(diǎn)，不出意外應(yīng)該會有一道題用這兩條公式來計(jì)算概率，考察的方式可能會和摩根律以及后面的條件概率相結(jié)合。

二：

1.古典概率：最基礎(chǔ)，要掌握的就是排列，組合的計(jì)算

摸球問題、隨機(jī)抽樣、開房門、分房、電話號碼、生日日期等問題，注意算的時(shí)候有沒有帶順序，有順序用排列A，沒有就用組合C。（這些在高中學(xué)的比較多，我就不舉例了，大家有遺忘的可以看看課本的例題，里面涵蓋了幾乎所有的類型）

2.幾何概率：隨機(jī)取值，判別式求概率、約會問題（經(jīng)典）、取數(shù)問題，遇到后面這兩類問題一般是在平面直角坐標(biāo)系中畫直線，然后算圍成區(qū)域，與總的區(qū)域面積的比值

3.概率的公理定義第二條可以用在第二章或者第三章求一個(gè)概率密度函數(shù)的未知系數(shù)

三：

1.條件概率的公式也是第一章重點(diǎn)

2.乘法定理其實(shí)就是條件概率把分母移到另一邊

3.全概率公式和貝葉斯公式也是第一章重點(diǎn)，個(gè)人認(rèn)為應(yīng)該也會有一道題

四：

1.獨(dú)立可以和前面的加法公式中的P（AB）結(jié)合，也可以和減法公式結(jié)合在一起進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)，它也可以和條件概率結(jié)合，如果兩個(gè)事件相互獨(dú)立，那么豎線后面的事件不對前面的事件產(chǎn)生影響，舉個(gè)例子，也就是P（B|A）＝P（B）

第二章：

一：

1.隨機(jī)變量分為離散型和連續(xù)型，在后面的計(jì)算概率的時(shí)候用到的計(jì)算方法可能會有所不同

2.求系數(shù)用的就是前面說的概率公理定義的第二條，概率和為1。如果n的個(gè)數(shù)為無窮個(gè)的時(shí)候，會用到高中所學(xué)的等差、等比的求和公式，以及列項(xiàng)相消法。

3.寫分布列的時(shí)候，一般隨機(jī)變量從小到大寫。判斷一個(gè)是否為分布列，只需看它每一個(gè)概率是否大于0以及它的概率和是否為1

4.二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布的關(guān)系：二項(xiàng)分布式多次的兩點(diǎn)分布，二項(xiàng)分布也就是前面第一章說的貝努力公式Pn（k）=…

5.幾何分布其實(shí)就是在重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中（注意是在獨(dú)立的前提），前幾次試驗(yàn)中發(fā)生的事件都是“A的補(bǔ)”，最后一次才有A的發(fā)生

6.泊松分布的公式要記熟

7.概率分布函數(shù)是前三章的重中之重，它表示的是把小于等于x的概率全都加起來

8.求離散型的分布函數(shù)：

區(qū)間根據(jù)x取值進(jìn)行分割，比如有-1,2,3三個(gè)x，就分成x小于-1，-1<=x<2，2<=x<3，x>=3，x＜部分不加=號

9.比較簡單的題型有給分布列求分布函數(shù)，以及給分布函數(shù)求分布列

二：

1.如果把F（x）概率看成質(zhì)量，那么f（t）是它的線密度，dt表示每一段小小的微元的線段長度，將它從-∞到x進(jìn)行積分，得到的就是概率F（x）

2.在連續(xù)型隨機(jī)變量中，隨機(jī)變量取個(gè)別值的概率為0，討論連續(xù)型隨機(jī)變量取單個(gè)值的概率是無意義的。一個(gè)重要的結(jié)論：一個(gè)事件的概率等于0，這個(gè)事件不一定是不可能事件；一個(gè)事件的概率等于1，這個(gè)事件的概率也未必是必然事件。

3.求連續(xù)型系數(shù)：

（1）根據(jù)連續(xù)型分布函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)

（2）根據(jù)概率密度函數(shù)從-∞到+∞積分值為1

4.求連續(xù)型的分布函數(shù)：

區(qū)間根據(jù)概率密度函數(shù)的區(qū)間范圍進(jìn)行分割，和離散型分布函數(shù)一樣，x＜部分不加=號

5.求連續(xù)型落在某區(qū)間的概率：

（1）用分布函數(shù)求

（2）用概率密度函數(shù)積分求

6.求連續(xù)型概率密度函數(shù)：對分布函數(shù)求導(dǎo)

7.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有特定的符號，任何一個(gè)正態(tài)分布的分布函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)進(jìn)行計(jì)算

三：

1.本節(jié)討論的重點(diǎn)是已知X的分布，求函數(shù)Y=f（X）的分布，同樣分為離散型和連續(xù)型兩類。

2.對于離散型的分布列，比較簡單，只需要計(jì)算相應(yīng)的Y，Y的概率和計(jì)算這個(gè)Y使用的X的概率一樣

3.對于連續(xù)型的分布列，一種是嚴(yán)格單調(diào)，一種是分段單調(diào)，無論是哪種都應(yīng)該把公式記牢，并懂得運(yùn)用（個(gè)人認(rèn)為是重點(diǎn)）。對于分段單調(diào)的計(jì)算時(shí)多了一個(gè)求和，也就是把每一段的合并在一起。

第三章：

一：

1.聯(lián)合分布函數(shù)F（x，y）表示事件{X<=x}和{Y<=y}同時(shí)發(fā)生的概率。性質(zhì)1，如果x和y有一個(gè)取值為-∞的時(shí)候，它表示其中有一個(gè)是x<-∞它的聯(lián)合分布函數(shù)就是0。當(dāng)x和y兩個(gè)取值都是+∞，它表示囊括了所有x、y的所有可取的值，所表示的分布函數(shù)值為1。

2.性質(zhì)2可以參考一維隨機(jī)變量進(jìn)行理解，表示對于x和y其中一個(gè)變量而言，F(xiàn)（x，y）都是單調(diào)不減的

3.性質(zhì)4可以通過畫圖理解

4.聯(lián)合分布列也可分成離散型和連續(xù)型

5.引入邊緣分布列的定義，對X的邊緣分布列就是在每一個(gè)X的取值條件下，將所有的Y進(jìn)行求和，同理，對Y的邊緣分布列就是在每一個(gè)Y的取值條件下，將所有的X進(jìn)行求和。對于X的邊緣分布列，它將Y的變量抹去，得到的概率只與X有關(guān)，同理可得對于Y的邊緣分布列，得到的概率只與Y有關(guān)。因此邊緣分布列具有一維分布列的性質(zhì)。并且聯(lián)合分布列唯一決定邊緣分布列。

6.對于離散型的邊緣分布列，引入pi.和p.j分別放在聯(lián)合分布列的最右一列和最下一行作為邊緣分布列。

7對于離散型的分布函數(shù)，分類依據(jù)類比于一維變量的分布函數(shù)，根據(jù)X和Y的取值條件進(jìn)行分段。

8.聯(lián)合分布函數(shù)尤其是連續(xù)型的聯(lián)合分布函數(shù)是第三章的重點(diǎn)內(nèi)容。同樣的，如果把F（x，y）概率看成質(zhì)量，那么f（x，y）是它的面密度，dxdy表示每一段小小的微元的面積，將它們分別從-∞到x，從-∞到y(tǒng)進(jìn)行積分，得到的就是概率F（x，y）。

9.關(guān)于X的邊緣概率密度是將y從-∞到+∞進(jìn)行積分，從而抹去y這一變量，剩下的概率密度只與x有關(guān)；關(guān)于Y的邊緣概率密度是將x從-∞到+∞進(jìn)行積分，從而抹去x這一變量，剩下的概率密度只與y有關(guān)。

10.求聯(lián)合概率密度的系數(shù)，用到的也是概率之和為1這一性質(zhì)，將x、y進(jìn)行二重積分，所得的值為1

11.求對X的邊緣分布列則對y進(jìn)行積分；求對X的邊緣分布列則對y進(jìn)行積分。

12.求在某個(gè)區(qū)域的概率，如果只有X（或Y），則用對X（或Y）的邊緣概率密度進(jìn)行計(jì)算，將所要求的區(qū)域結(jié)合x，y的定義域進(jìn)行積分；如果含有X和Y兩者，則需對聯(lián)合概率密度進(jìn)行二重積分，積分區(qū)域同樣需要綜合考慮聯(lián)合概率密度的積分域以及題目所給區(qū)域。

13.求聯(lián)合分布函數(shù)F（x，y），則對（X，Y）的概率密度進(jìn)行二重積分，積分域即為聯(lián)合概率密度的定義域。

14.題目如果給了某一種分布類型，相當(dāng)于給了一個(gè)聯(lián)合概率密度。

15.一維的均勻分布相當(dāng)于是1/長度，二維的均勻分布相當(dāng)于1/面積。

二：

1.求連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度時(shí)，需要先求關(guān)于|后面的的變量的邊緣分布列，再代入公式

2.如果題目給了條件概率密度和邊緣概率密度，則相乘可得到聯(lián)合概率密度，從而可算出另一個(gè)變量的邊緣密度

3.驗(yàn)證隨機(jī)變量獨(dú)立性：

（1）離散型：驗(yàn)證不獨(dú)立只需要有一個(gè)（i，j）不滿足式子，驗(yàn)證獨(dú)立需要全部的（i，j）都滿足式子

（2）連續(xù)型：需要求兩個(gè)邊緣分布列