量子力學(xué)的數(shù)學(xué)表述（Mathematical formulation of quantum mechanics）是對量子力學(xué)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)描述的數(shù)學(xué)表述體系。與20世紀(jì)初發(fā)展起來的舊量子論的數(shù)學(xué)形式不同，它使用了一些抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)，如無窮維希爾伯特空間和這些空間上的算子。這些結(jié)構(gòu)中有許多源于泛函分析。這一純粹數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的發(fā)展過程既平行于又受影響于量子力學(xué)的需要。簡而言之，物理可觀察量的值，如能量和動量的值不再作為相空間上的函數(shù)值，而是作為本征值，或者更為精確地來說是希爾伯特空間中線性算子的譜值。

這一表述體系一直沿用至今。該體系的核心為“量子態(tài)”和“可觀察量”這兩個(gè)概念。對于原子尺度的系統(tǒng)來說，這兩個(gè)概念與之前用來描述物理現(xiàn)實(shí)的模型大相徑庭。雖然數(shù)學(xué)上允許對許多量的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測量，但是實(shí)際上，在對于符合一定條件的兩個(gè)物理量同時(shí)進(jìn)行精確測量時(shí)，卻存在一個(gè)理論性限制——不確定性原理。這一原理由維爾納·海森堡通過思想實(shí)驗(yàn)首次闡明，且在該體系中以可觀察量的不可交換性進(jìn)行表述。

在量子力學(xué)作為一支獨(dú)立理論形成之前，物理學(xué)中用到的數(shù)學(xué)理論主要是以微積分為源頭、后來又添以微分幾何與偏微分方程的數(shù)學(xué)分析。統(tǒng)計(jì)力學(xué)中還用到概率論。幾何直觀在這兩個(gè)理論中扮演重要角色。相對論中的許多概念和方法也是基于幾何理論。量子物理學(xué)中對于實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的一系列不同以往的理解在1895年到1915年間開始逐步形成。其中具有代表性的思想為波粒二象性。但在量子理論形成之前的10至15年中，物理學(xué)家仍然在經(jīng)典物理學(xué)的框架內(nèi)思考量子理論，所基于的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也是完全相同的。其中具有代表性的例子是玻爾-索末菲量子化條件。這一原理完全建構(gòu)于經(jīng)典框架中的相空間。

歷史

舊量子論與量子力學(xué)的創(chuàng)立

1900年，馬克斯·普朗克提出描述黑體輻射的普朗克公式。普朗克對于黑體的描述規(guī)避了經(jīng)典物理學(xué)結(jié)果中的紫外災(zāi)變。他做出了這一假設(shè)，在物質(zhì)與電磁輻射的相互作用中，能量的傳遞只能以一個(gè)個(gè)分立的單元的形式進(jìn)行。這些小單元被稱為量子，此外他還提出，量子包含的能量與輻射頻率成正比。比例常數(shù)h后來為了紀(jì)念普朗克的功績被命名為“普朗克常數(shù)”。[3]1905年，阿爾伯特·愛因斯坦引用普朗克的假設(shè)，提出了“光子”這一概念，解釋了光電效應(yīng)的一系列實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。

原子的玻爾模型

這兩個(gè)對于實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的理論解釋與當(dāng)時(shí)物理學(xué)的一些觀念迥異。后來，玻爾等人基于這些假設(shè)，對于經(jīng)典力學(xué)進(jìn)行了改造，試圖從第一性原理的角度上推導(dǎo)出原子的玻爾模型。他們假設(shè)，在一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)相空間所能描述的所有可能的經(jīng)典軌道中，物體只能在相空間中所圍面積為普朗克常數(shù)整數(shù)倍的軌道上運(yùn)動，即角動量量子化假設(shè)。后來這一假設(shè)進(jìn)一步發(fā)展為玻爾-索末菲量子化條件。盡管玻爾的氫原子玻爾模型可以通過這一假設(shè)解釋，但其卻并不適用于氦原子等多電子原子。量子理論的數(shù)學(xué)表述在一段時(shí)期內(nèi)仍前途未定。[5]:42-47, 58-65, 73-75[6]:113-117

1924年，路易·德布羅意提出了物質(zhì)波假設(shè)，即波粒二象性不只對光子適用，對于電子以及其他物理系統(tǒng)也適用[7][6]:97。量子力學(xué)的數(shù)學(xué)表述也于1925年至1930年獲得突破性進(jìn)展。埃爾溫·薛定諤、維爾納·海森堡、馬克斯·玻恩以及帕斯庫爾·約當(dāng)為奠定量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)做出了突破性的工作。約翰·馮·諾伊曼、赫爾曼·外爾以及保羅·狄拉克也為其做出了基礎(chǔ)性的貢獻(xiàn)。基于不同方法的數(shù)學(xué)表述在后來得到了統(tǒng)一。對于量子理論的物理學(xué)解釋也在海森堡發(fā)現(xiàn)不確定性原理以及尼爾斯·玻爾引入互補(bǔ)原理后得到統(tǒng)一。

新的量子理論

海森堡等人于1926年創(chuàng)立的矩陣力學(xué)是首個(gè)能夠成功解釋原子光譜量子化的理論。薛定諤也在同一年創(chuàng)立了波動力學(xué)[8]。由于是采用當(dāng)時(shí)物理學(xué)家已深為熟諳的微分方程表述的，波動力學(xué)更易理解，也更易計(jì)算并實(shí)現(xiàn)可視化。一年后，兩種表述被發(fā)現(xiàn)是等價(jià)的。

薛定諤本人起初并沒有提出量子力學(xué)中的概率性質(zhì)，因?yàn)樗J(rèn)為電子波函數(shù)的模方應(yīng)該解釋為在空間中彌散的電荷密度。后來玻恩引入了波函數(shù)的概率解釋，即某一位置的波函數(shù)的模方為一個(gè)粒子在該位置出現(xiàn)的概率。玻恩的解釋迅速被玻爾接受。薛定諤所提出的方程與經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓-雅可比方程密切相關(guān)。量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的對應(yīng)在海森堡的矩陣力學(xué)中體現(xiàn)得更為明顯。在博士學(xué)位論文中，狄拉克提出海森堡繪景中的算符方程與哈密頓力學(xué)中的動力學(xué)方程形式類似，正則量子化條件與泊松括號也存在一定的相似性。

更為準(zhǔn)確地說，海森堡是在薛定諤之前創(chuàng)立矩陣力學(xué)的。這一表述是量子力學(xué)第一個(gè)有效的表述，是一個(gè)本質(zhì)性的突破。海森堡的矩陣力學(xué)是基于無窮維矩陣的代數(shù)演算。這一表述與經(jīng)典力學(xué)的數(shù)學(xué)表述方式大相徑庭。不過，他的出發(fā)點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)研究中所用到的“指標(biāo)”，并且他也并沒有意識到他的“指標(biāo)方法”實(shí)際上就是矩陣方法。這一點(diǎn)后來是由玻恩闡明的。實(shí)際上在那個(gè)時(shí)代，線性代數(shù)并不像現(xiàn)在這樣為物理學(xué)家所熟識。

盡管薛定諤在創(chuàng)立波動力學(xué)一年后自行證明了自己的方法與海森堡的方法的等價(jià)性，但證明兩種方法相互調(diào)和并將它們抽象為希爾伯特空間中的運(yùn)動的工作是由狄拉克完成的。他是在1930年發(fā)行的經(jīng)典著作《量子力學(xué)原理》中闡明這一點(diǎn)的。他是量子力學(xué)的第三位也可能是最為重要的支柱性的人物。他在不久后發(fā)現(xiàn)了該理論的相對論推廣。他還發(fā)展出量子力學(xué)的狄拉克符號，引入了希爾伯特空間中泛函分析使用到的一些的抽象概念，并發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)動力學(xué)第三種表述，相互作用繪景。他的工作極大地推廣了量子力學(xué)理論。

基于這一思路的第一個(gè)完備數(shù)學(xué)表述體系現(xiàn)在被稱為狄拉克-馮諾伊曼公理體系。這一理論體系現(xiàn)在一般認(rèn)為是馮·諾伊曼在其1932年發(fā)行的專著《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中提出的。盡管此前外爾已經(jīng)在其1927年發(fā)表的論文著作中引入了希爾伯特空間（他自己將之稱為“幺正空間”）。這一體系采用的方法是數(shù)學(xué)中基于線性算符的譜理論，而非大衛(wèi)·希爾伯特在一個(gè)世代前所采用的二次型方法。盡管量子力學(xué)理論如今依然在發(fā)展，但所采用的數(shù)學(xué)表述的基本框架仍是基于馮·諾伊曼的工作的。換言之，目前有關(guān)量子力學(xué)詮釋的探討及其延伸話題大多是圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論中共用假設(shè)的基礎(chǔ)展開的。

后續(xù)進(jìn)展

20世紀(jì)30年代，物理學(xué)家將新的量子理論應(yīng)用于電磁現(xiàn)象，由此構(gòu)建了量子場論。由于量子場論的需要，量子力學(xué)的數(shù)學(xué)表述又進(jìn)一步得到了發(fā)展。在下文中所敘述的形式是一種簡單的特例。在這之后發(fā)展起來的量子力學(xué)表述包括：

• 路徑積分表述

• 相空間表述以及幾何量子化

• 符號粒子表述

• 彎曲時(shí)空中的量子場論

• 公理化量子場論、代數(shù)量子場論以及構(gòu)造量子場論

• C*-代數(shù)表示

• 量子力學(xué)的廣義統(tǒng)計(jì)模型

此外，馮諾伊曼還依據(jù)他對于波函數(shù)坍縮的描述提出了一種量子測量方案，引發(fā)了對于這一問題的哲學(xué)討論。在相關(guān)問題爭論了70多年后，測量問題仍是目前的研究熱點(diǎn)之一，并由此衍生出一些新的量子力學(xué)闡釋方式及分析結(jié)果，其中包括：

• 多世界詮釋

• 量子退相干

• 一致性歷史

• 量子邏輯

另一個(gè)相關(guān)的問題是量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)之間的聯(lián)系。一些物理學(xué)理論可以通過近似的方式還原為舊有的理論，對于量子力學(xué)而言，對應(yīng)的就是量子力學(xué)的經(jīng)典極限。此外，玻爾曾提出，人類的感知能力以及語言與經(jīng)典領(lǐng)域有不可分割的聯(lián)系，所以對于一個(gè)問題的經(jīng)典描述要比對其的量子描述更為直觀一些。其中構(gòu)造量子論的量子化過程的經(jīng)典極限是量子物理的一個(gè)重要問題。

最后，一些量子理論的創(chuàng)始人（包括愛因斯坦以及薛定諤）實(shí)際上對于量子力學(xué)后來的發(fā)展并不滿意[22][23]:324, 352。愛因斯坦對于量子力學(xué)的完備性一直存在質(zhì)疑[23]:311, 324, 340, 352, 460, 471。隱變量理論正是產(chǎn)生于這一質(zhì)疑[23]:460, 471。在量子光學(xué)的幫助下，隱變量問題可以通過實(shí)驗(yàn)手段進(jìn)行驗(yàn)證。相關(guān)理論包括：

• 導(dǎo)航波

• 貝爾不等式

• 科亨－施佩克爾定理

量子力學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

對于一個(gè)物理學(xué)系統(tǒng)的描述基于以下三個(gè)基本要素：量子態(tài)、可觀測量以及動力學(xué)表述（或者說時(shí)間演化規(guī)則），或者更普遍的來說是物理對稱群。經(jīng)典力學(xué)中，物理學(xué)系統(tǒng)直接在相空間中進(jìn)行描述：相空間是一個(gè)辛流形，系統(tǒng)的狀態(tài)是相空間中的一個(gè)點(diǎn)，可觀測量是相空間上的實(shí)函數(shù)，時(shí)間演化規(guī)則由描述相空間辛變換的單參數(shù)群給出，物理對稱性由辛變換實(shí)現(xiàn)。量子力學(xué)的描述則是：系統(tǒng)的狀態(tài)構(gòu)成一個(gè)希爾伯特空間，可觀測量是狀態(tài)空間的自共軛算符，時(shí)間演化規(guī)則由狀態(tài)空間幺正變換的單參數(shù)群給出，物理對稱性是由幺正變換實(shí)現(xiàn)的。

基本表述

以下幾條對于量子力學(xué)的數(shù)學(xué)框架的總結(jié)部分源于狄拉克-馮諾伊曼公理體系。除了下面幾條性質(zhì)外，還需要考慮到系統(tǒng)的一些基本性質(zhì)與原理，如下文提到的自旋及泡利不相容原理。

量子態(tài)

每個(gè)物理學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)都與一個(gè)拓?fù)淇煞謴?fù)希爾伯特空間有關(guān)，這個(gè)希爾伯特空間具有內(nèi)積。H中的束（一維亞空間）與系統(tǒng)的量子態(tài)有關(guān)。換言之，物理學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)可以利用H中長度為1的矢量等價(jià)類表述，兩個(gè)矢量只有在相差一個(gè)相位因子時(shí)才能表示同一個(gè)態(tài)?？煞中赃@一假設(shè)在詮釋當(dāng)狀態(tài)經(jīng)過有限次的測量可以確定時(shí)的情形中可以用到。一個(gè)量子態(tài)是射影希爾伯特空間中的一個(gè)“束”，而并非一個(gè)“矢量”。但在一些現(xiàn)實(shí)情景中，卻并不強(qiáng)調(diào)這兩個(gè)概念間的區(qū)別。這一點(diǎn)部分源于薛定諤方程的表述中涉及到的是希爾伯特空間“矢量”，并近而衍生出“態(tài)矢”這一并不嚴(yán)格的術(shù)語。

復(fù)合系統(tǒng)的狀態(tài)空間是分系統(tǒng)狀態(tài)空間的希爾伯特空間張量積[28]。對于一個(gè)由可數(shù)的可分粒子組成的非相對論系統(tǒng)，其分系統(tǒng)就是單一的粒子。

對稱性

依據(jù)維格納定理，作用于狀態(tài)空間的物理學(xué)對稱性是幺正的或是反幺正的。超對稱性的情況與之不同。

可觀測量

可觀測量是以埃爾米特矩陣表述的[29]:423-426。在采用波函數(shù)的概率詮釋時(shí)，對于狀態(tài)為ψ?∈?H的可觀測量A，其期望值為<psi | A | psi>。

通過譜理論，我們可以將概率測度與任意狀態(tài) ψ 下A的值聯(lián)系起來，同時(shí)還可以得到A任意可能值必須是A的譜值。在特定條件下，A只有分立譜。A所有可能的測量值將是它的本征值。更為精確地來說，如果我們以A的本征矢表示態(tài)矢ψ時(shí)，給定本征矢的分量模方將是觀察到相應(yīng)本征值的概率。

推廣上述表述，一個(gè)狀態(tài)可以用跡類非負(fù)自共軛算符，密度算符ρ表示。這個(gè)算符是一個(gè)進(jìn)行了歸一化的矩陣，其跡為1。在態(tài)為ρ時(shí)，A的期望值為：

如果ρψ是一個(gè)經(jīng)由|ψ?得到的H到一維亞空間的正交投影，那么存在

密度算符可以看作一維正交投影的閉合凸包。反之，一個(gè)一維正交投影是密度矩陣的極限點(diǎn)。物理學(xué)家也將一維正交投影稱作“純態(tài)”，將其他密度算符稱作“混合態(tài)”。

不確定性原理

此外，兩個(gè)可觀測量間還存在不確定性關(guān)系，即對于任意兩個(gè)可觀測量

，存在：

其中[A,B]=AB-BA為兩個(gè)算符的對易算符。[30]:41-44

動力學(xué)繪景

依據(jù)所關(guān)注的問題不同，我們可以構(gòu)造不同的動力學(xué)繪景。較為重要的繪景包括：薛定諤繪景、海森堡繪景以及相互作用繪景。

薛定諤繪景

在薛定諤繪景中，狀態(tài)的時(shí)間演化是通過一個(gè)自變量為實(shí)數(shù)的可微函數(shù)表征的。自變量代表過程中的某一時(shí)刻，函數(shù)為系統(tǒng)狀態(tài)的希爾伯特空間中的某個(gè)態(tài)矢。如果|ψ(t)?代表系統(tǒng)在時(shí)刻t時(shí)的狀態(tài)，那么這個(gè)映射以下面這個(gè)方程進(jìn)行表征：

• 薛定諤方程（一般形式）

其中H為系統(tǒng)的哈密頓算符，i為虛數(shù)單位，?為約化普朗克常數(shù)。作為一個(gè)可觀測量，H對應(yīng)系統(tǒng)的總能量。

此外，依據(jù)斯通定理，可以得到存在一個(gè)強(qiáng)連續(xù)單參數(shù)酉群U(t):?H?→?H，對所有的s，t符合：|\psi (t+s)> =U(t)|psi (s)>

且存在一個(gè)自共軛哈密頓算符H：

此時(shí)H不含時(shí)，且微擾始于t0?= 0，否則需要使用戴森級數(shù)表示U(t)：

其中T為時(shí)間排序算符(注釋1)。

海森堡繪景

海森堡繪景主要關(guān)注可觀測量隨時(shí)間的演化。其將狀態(tài)視為固定的，可觀測量為可變的。如果要從薛定諤繪景得到海森堡繪景，則需要定義不含時(shí)的態(tài)矢以及含時(shí)的算符：

• |?psi>=|?psi(0)>
  

• A(t)=U(-t)AU(t)

可以得到，兩種繪景中可觀測量的期望值是相同的：

• <psi | A(t) | psi >=<psi(t)?|?A?|?psi(t)?>

對于一個(gè)含時(shí)的海森堡算符A?=?A(t)，存在：

• 海森堡繪景（一般形式）

需要注意的是，對易表示在其中一個(gè)算符為無界算符時(shí)僅為形式上的表示，需要定義一個(gè)表象令其具有實(shí)際意義。

相互作用繪景

相互作用繪景中的狀態(tài)與可觀察量都含時(shí)，并會分別伴隨不同的哈密頓算符演化。這一繪景適用于可觀測量的演化情況精確可解，狀態(tài)演化并不復(fù)雜的情況。因而，可觀測量對應(yīng)的哈密頓算符被稱為“自由哈密頓算符”，狀態(tài)對應(yīng)的哈密頓算符為“相互作用哈密頓”。用符號表示這一繪景則為：

• 相互作用繪景(一般形式)

然而相互作用繪景卻并非總是存在。依據(jù)哈格定理，相對論性相互作用量子場論終究不存在相互作用繪景。這是因?yàn)樵谝粋€(gè)超選擇區(qū)內(nèi)，哈密頓算符并不能分為自由與相互作用兩個(gè)部分。此外，哈密頓算符即使在薛定諤繪景中不含時(shí)，如H?=?H0?+?V，但在相互作用繪景至少在V與H0的情況下仍會含時(shí)，這是由于：

此時(shí)，需要使用上文提到的戴森級數(shù)。

三種繪景的比較

海森堡繪景與經(jīng)典物理學(xué)中的哈密頓力學(xué)的聯(lián)系最為密切，例如海森堡方程中出現(xiàn)的對易子的性質(zhì)與泊松括號的性質(zhì)就存在類似之處。從教學(xué)的角度上來說，薛定諤繪景一般認(rèn)為是三種繪景中最易于理解、可視化的。相互作用繪景常用于微擾理論，在量子場論及多體問題中特別常用。

通過物理系統(tǒng)的對稱性的單參數(shù)群，還可以構(gòu)造類似的繪景。時(shí)間可以由一個(gè)合適的表征酉群的參數(shù)取代，例如旋轉(zhuǎn)角或是平移距離，而哈密頓量則可以由與對稱性有關(guān)的守恒量取代，例如動量或者角動量。

表象

薛定諤方程的形式取決于海森堡正則對易關(guān)系所選定的表象。依據(jù)斯通-馮諾伊曼定理，所有不可約的有限維海森堡對易關(guān)系都是酉等價(jià)的。由此可以得到量子力學(xué)的相空間表述，即可以在相空間而不一定是希爾伯特空間中解決問題。這一方法與經(jīng)典力學(xué)的直觀聯(lián)系更為密切，同時(shí)可以簡化由經(jīng)典力學(xué)到量子力學(xué)的量子化問題。

選定不同表象的結(jié)果在量子諧振子這個(gè)精確可解的系統(tǒng)中體現(xiàn)得尤為明顯。在這一系統(tǒng)中，除了可以選定位置表象與動量表象以及相空間表象外，還可以選定量子數(shù)表象以及諧振子表象。這幾種表象都是酉等價(jià)的。

作為算符的時(shí)間

在上文已經(jīng)述及的框架中，時(shí)間一直作為其他變量變化所依靠的參數(shù)，但時(shí)間自身作為可觀察量的量子力學(xué)表述也是存在的。在經(jīng)典力學(xué)中，可以以任意一個(gè)非物理參數(shù)s來去描述粒子運(yùn)動軌跡。在這樣的情況中，時(shí)間t成為了系統(tǒng)額外的一個(gè)廣義坐標(biāo)。在量子力學(xué)中，系統(tǒng)在s中的平移可以由“哈密頓算符”H???E表述，其中E為能量算符，H為“一般”哈密頓算符。然而，由于s是一個(gè)非物理學(xué)參數(shù)，系統(tǒng)在s演化前后保持不變，所以物理狀態(tài)空間是H???E的零空間。這需要用到結(jié)構(gòu)希爾伯特空間以及范數(shù)的重正化。這一問題與約束系統(tǒng)的量子化及規(guī)范量子化理論有關(guān)。

自旋

除了上述性質(zhì)外，所有粒子還具有一個(gè)內(nèi)稟性質(zhì)——自旋。粒子對應(yīng)存在自旋角動量。需要注意的是，粒子并不會繞著一個(gè)軸“自轉(zhuǎn)”，盡管“自旋”這個(gè)術(shù)語容易造成這種誤會。量子力學(xué)中的自旋在經(jīng)典力學(xué)中并沒有與之對應(yīng)的概念。在位置表象下，無自旋系統(tǒng)的波函數(shù)是以位置r及時(shí)間t作為連續(xù)變量的，即ψ?=?ψ(r,?t)，而對于有自旋的系統(tǒng)，其波函數(shù)還具有另一個(gè)分立取值的變量，即ψ?=?ψ(r,?t,?σ)。其中σ如下取值：

也就是說，一個(gè)具有自旋量子數(shù)S的粒子的狀態(tài)可以用復(fù)值波函數(shù)中具有(2S?+ 1)個(gè)分量的旋量表示。

依據(jù)自旋量子數(shù)不同的取值情況，粒子可以分為自旋量子數(shù)為整數(shù)（S?=?0,?1,?2...）的玻色子以及自旋量子數(shù)為半整數(shù)（S?=?1?2,?3?2,?5?2,?...）的費(fèi)米子。在非相對論量子力學(xué)中，所有的粒子不是玻色子就是費(fèi)米子，但在相對論量子力學(xué)中，還存在超對稱的情形，即一個(gè)粒子可能是玻色子部分及費(fèi)米子部分的線性疊加。在維度d?= 2時(shí)，可能存在一種粒子，任意子，對應(yīng)的(?1)^2S會被一個(gè)模為2的復(fù)數(shù)取代。

全同粒子

在經(jīng)典力學(xué)中，對于一個(gè)由大量物理性質(zhì)完全相同的粒子組成的系統(tǒng)，其中的粒子盡管性質(zhì)完全相同，但仍被認(rèn)為是“可分辨的”，即可以使用精確的軌道描述其中粒子各自的運(yùn)動。但在量子力學(xué)中，由于位置與動量間的不確定性關(guān)系，經(jīng)典力學(xué)中精確的軌道將不復(fù)存在。換言之，系統(tǒng)中的全同粒子是“不可分辨的”。[30]:209

由粒子的不可分辨性可以得到的一條結(jié)論是，全同粒子系統(tǒng)中兩個(gè)粒子對換時(shí)，系統(tǒng)的波函數(shù)與變換前波函數(shù)在物理上是完全相同的，即波函數(shù)的模保持不變，但須乘以一個(gè)相位因子?？紤]到在進(jìn)行逆對換后，系統(tǒng)將還原為原始狀態(tài)，那么這個(gè)相位因子可能的取值僅為±1。[30]:208-209至于對換后系統(tǒng)的狀態(tài)具體應(yīng)該是這兩種情況的哪一種，則需要考察粒子自旋性質(zhì)。在位置表象下，當(dāng)全同粒子系統(tǒng)中任意兩個(gè)粒子發(fā)生對換時(shí)，系統(tǒng)波函數(shù)與自旋量子數(shù)S存在：

也就是說任意兩個(gè)粒子對換時(shí)，系統(tǒng)的波函數(shù)所需要乘以的因子為(?1)^2S。對于玻色子來說，其自旋量子數(shù)為整數(shù)，這個(gè)因子值為+1，即系統(tǒng)波函數(shù)在對換后保持不變，這時(shí)稱系統(tǒng)波函數(shù)是“對稱的”；而對于費(fèi)米子來說，其自旋量子數(shù)為半整數(shù)，這個(gè)因子值為?1，即系統(tǒng)波函數(shù)在對換后會改變符號，這時(shí)稱系統(tǒng)波函數(shù)是“反對稱的”。[30]:208-209

考察一個(gè)雙粒子系統(tǒng)：對于玻色子，這個(gè)系統(tǒng)的波函數(shù)可以由兩個(gè)粒子的波函數(shù)表示為：

而對于費(fèi)米子，則為：

當(dāng)兩個(gè)粒子的波函數(shù)完全相同時(shí)，對于費(fèi)米子系統(tǒng)而言，則存在psi (r_a,r_b)=0?？紤]到波函數(shù)的概率詮釋，這一情況可以解釋為：在一個(gè)由費(fèi)米子組成的系統(tǒng)中，不可能存在兩個(gè)狀態(tài)完全相同的粒子。這就是著名的泡利不相容原理，是由沃爾夫?qū)づ堇?925年提出的。[30]:210-212

盡管自旋與泡利不相容原理只能在進(jìn)行了相對論推廣的量子力學(xué)中推導(dǎo)出來，但是這兩條性質(zhì)在非相對論極限情況下卻是系統(tǒng)的基本性質(zhì)。自然科學(xué)中，許多重要的現(xiàn)象，如化學(xué)中的元素周期律，都源于這兩條性質(zhì)的。

測量問題

在上面所敘述的理論框架對于描述一個(gè)完全孤立的系統(tǒng)而言已經(jīng)足夠充足。然而，它卻沒有涉及到量子力學(xué)與經(jīng)典物理學(xué)的一大分野——測量效應(yīng)。[32][6]:123馮·諾伊曼曾給出系統(tǒng)處于純態(tài)ψ時(shí)，對于測量可觀測量A過程的描述(注釋2)：

令A(yù)具有一定的譜分辨率：

式中，E_A為分辨率，或稱投影值測度。那么觀測結(jié)果落在實(shí)數(shù)區(qū)間B內(nèi)的概率為

。換言之，這一概率可以通過B的特征函數(shù)對可加加測度<psi | E_A | psi>積分得到。

如果測量值在區(qū)間B內(nèi)，那么在測量完成瞬間，系統(tǒng)會處于態(tài)

（這個(gè)態(tài)通常未進(jìn)行歸一化）。如果測量值沒有落在B內(nèi)，則需要以B的補(bǔ)集來取代B來獲取上述態(tài)。

例如，假設(shè)狀態(tài)空間是一個(gè)n維的復(fù)希爾伯特空間C^n。A是一個(gè)埃爾米特矩陣，本征值為λ_i，對應(yīng)的本征矢為ψ_i。那么與A相關(guān)的投影值測度E_A為：

式中，B是一個(gè)包含單一本征態(tài)λi的博雷爾集。如果系統(tǒng)處于態(tài)?|psi>，那么測量值回歸到λ_i的概率可以以譜測度

在B_i上積分得到。由此可得一個(gè)平凡結(jié)果：<psi | psi_i><psi _i |?psi >?=|<psi |?psi _i>|^2

馮·諾伊曼測量方案的特征是重復(fù)相同的測量可以得到相同結(jié)果。這一方案又被稱作“投影原理”。

在更為普遍的表述中，投影值測度通常會被正算符值測度。為了說明這一問題，這里仍以有限維情況為例子。

先將秩為1的投影?|psi _i><psi _i|?以正算符的有限集Fi?Fi*取代。其中元素的和仍是一個(gè)特定算符。正算符值測度也會像投影值測度一樣與可能的測量結(jié)果集{λ_1?...?λ_n}相關(guān)。假設(shè)測量結(jié)果為λ_i，則系統(tǒng)在測量完成后，不會坍縮至非歸一態(tài)?|psi_i><psi _i|psi>，而是會處于態(tài)?F_i|psi>。

由于Fi?Fi*之間并不一定正交，馮·諾伊曼的投射原理將不再成立。

相同的表述也適用于普通的混合態(tài)。

在馮·諾伊曼方案中，測度導(dǎo)致的態(tài)變換會由于時(shí)間演化的原因發(fā)生變化。時(shí)間演化方式是確定且幺正時(shí)，測量過程卻可能是非確定且非幺正的。然而由于兩種態(tài)變換本質(zhì)都是一個(gè)量子態(tài)到另一個(gè)量子態(tài)，這一差異并不能讓物理學(xué)家滿意。正算符值測度表述是將測量視為一種量子操作。這種操作是用不會令跡變大的全正映射描述的。無論是哪種情況，上述問題可能只會在時(shí)間演化不僅包含量子系統(tǒng)，而且還包含經(jīng)典測量儀器時(shí)才能解決。

相對態(tài)詮釋

休·艾弗雷特三世曾提出測量問題的另一種詮釋——相對態(tài)詮釋。后世的物理學(xué)家一般稱其為多世界詮釋。

涉及到的數(shù)學(xué)理論

由理查·科朗特基于大衛(wèi)·希爾伯特在哥廷根大學(xué)的數(shù)學(xué)物理學(xué)講義改編而成的教科書《數(shù)學(xué)物理方法》與量子力學(xué)的數(shù)學(xué)表述有關(guān)。物理學(xué)家曾一度拒絕使用這部教材。在薛定諤方程被提出之后，物理學(xué)家才發(fā)現(xiàn)，量子力學(xué)中所用到的數(shù)學(xué)理論其實(shí)在那部專著中已有涉及。[33]:337海森堡及玻恩等人曾向希爾伯特咨詢過矩陣力學(xué)的表述問題。希爾伯特基于其對于無窮維矩陣的研究，向海森堡建議這種矩陣可以從微分方程中導(dǎo)出，但海森堡并沒有接受這個(gè)建議，從而錯(cuò)失統(tǒng)一量子理論的機(jī)會。[33]:182直到多年后，外爾與狄拉克才實(shí)現(xiàn)這一統(tǒng)一。無論相關(guān)理論溯源如何，盡管量子力學(xué)這一物理理論帶有一定革命性，但所用到的數(shù)學(xué)理論在當(dāng)時(shí)卻已為數(shù)學(xué)家所熟知。

量子力學(xué)中所用到的主要數(shù)學(xué)概念包括：

• 線性代數(shù)：特征向量、特征值

• 泛函分析：希爾伯特空間、線性算子、譜理論

• 微分方程：偏微分方程、分離變量法、常微分方程、施圖姆-劉維爾理論、固有函數(shù)

• 調(diào)和分析：傅里葉變換

注釋

? ? 1.這個(gè)符號可以將一系列非對易算符的積通過置換的方法重新排序?yàn)椋河纱丝梢缘玫揭粋€(gè)? ? ? ? ?因果鏈，初始的原因在最右端，最終的結(jié)果在最左端。

通過置換的方法重新排序?yàn)椋?/span>

， 其中

由此可以得到一個(gè)因果鏈，初始的原因在最右端，最終的結(jié)果在最左端。

2.?馮·諾伊曼是在20世紀(jì)30年代基于當(dāng)時(shí)的進(jìn)行過的實(shí)驗(yàn)，特別是康普頓散射實(shí)驗(yàn)，給出這一描述的。這一描述對于目前量子領(lǐng)域大多數(shù)的測量可能并不適用。