我們假設計算機運行一行基礎代碼需要執(zhí)行一次運算。

那么上面這個方法需要執(zhí)行 2 次運算

這個方法需要 (n + 1 + n? + 1) = 2n + 2 次運算。

我們把 算法需要執(zhí)行的運算次數(shù) 用 輸入大小n 的函數(shù) 表示，即 T(n) 。

此時為了 估算算法需要的運行時間 和 簡化算法分析，我們引入時間復雜度的概念。

定義：存在常數(shù) c 和函數(shù) f(N)，使得當 N >= c 時 T(N) <= f(N)，表示為 T(n) = O(f(n)) 。

如圖：

當 N >= 2 的時候，f(n) = n^2 總是大于 T(n) = n + 2 的，于是我們說 f(n) 的增長速度是大于或者等于 T(n) 的，也說 f(n) 是 T(n) 的上界，可以表示為 T(n) = O(f(n))。

因為f(n) 的增長速度是大于或者等于 T(n) 的，即T(n) = O(f(n))，所以我們可以用 f(n) 的增長速度來度量 T(n) 的增長速度，所以我們說這個算法的時間復雜度是 O(f(n))。

算法的時間復雜度，用來度量算法的運行時間，記作: T(n) = O(f(n))。它表示隨著 輸入大小n 的增大，算法執(zhí)行需要的時間的增長速度可以用 f(n) 來描述。

顯然如果 T(n) = n^2，那么 T(n) = O(n^2)，T(n) = O(n^3)，T(n) = O(n^4) 都是成立的，但是因為第一個 f(n) 的增長速度與 T(n) 是最接近的，所以第一個是最好的選擇，所以我們說這個算法的復雜度是 O(n^2) 。

那么當我們拿到算法的執(zhí)行次數(shù)函數(shù) T(n) 之后怎么得到算法的時間復雜度呢？

1、我們知道常數(shù)項對函數(shù)的增長速度影響并不大，所以當 T(n) = c，c 為一個常數(shù)的時候，我們說這個算法的時間復雜度為 O(1)；如果 T(n) 不等于一個常數(shù)項時，直接將常數(shù)項省略。

2、我們知道高次項對于函數(shù)的增長速度的影響是最大的。n^3 的增長速度是遠超 n^2 的，同時 n^2 的增長速度是遠超 n 的。 同時因為要求的精度不高，所以我們直接忽略低此項。

3、因為函數(shù)的階數(shù)對函數(shù)的增長速度的影響是最顯著的，所以我們忽略與最高階相乘的常數(shù)。

綜合起來：如果一個算法的執(zhí)行次數(shù)是 T(n)，那么只保留最高次項，同時忽略最高項的系數(shù)后得到函數(shù) f(n)，此時算法的時間復雜度就是 O(f(n))。為了方便描述，下文稱此為 大O推導法。

由此可見，由執(zhí)行次數(shù) T(n) 得到時間復雜度并不困難，很多時候困難的是從算法通過分析和數(shù)學運算得到 T(n)。對此，提供下列四個便利的法則，這些法則都是可以簡單推導出來的，總結(jié)出來以便提高效率。

1、對于一個循環(huán)，假設循環(huán)體的時間復雜度為 O(n)，循環(huán)次數(shù)為 m，則這個

循環(huán)的時間復雜度為 O(n×m)。

此時時間復雜度為 O(n × 1)，即 O(n)。

2、對于多個循環(huán)，假設循環(huán)體的時間復雜度為 O(n)，各個循環(huán)的循環(huán)次數(shù)分別是a, b, c...，則這個循環(huán)的時間復雜度為 O(n×a×b×c...)。分析的時候應該由里向外分析這些循環(huán)。

此時時間復雜度為 O(n × n × 1)，即 O(n^2)。

3、對于順序執(zhí)行的語句或者算法，總的時間復雜度等于其中最大的時間復雜度。

此時時間復雜度為 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。

4、對于條件判斷語句，總的時間復雜度等于其中 時間復雜度最大的路徑 的時間復雜度。

此時時間復雜度為 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。

時間復雜度分析的基本策略是：從內(nèi)向外分析，從最深層開始分析。如果遇到函數(shù)調(diào)用，要深入函數(shù)進行分析。

最后，我們來練習一下

一. 基礎題

求該方法的時間復雜度

參考答案：

當 i = 0 時，內(nèi)循環(huán)執(zhí)行 n 次運算，當 i = 1 時，內(nèi)循環(huán)執(zhí)行 n - 1 次運算……當 i = n - 1 時，內(nèi)循環(huán)執(zhí)行 1 次運算。

所以，執(zhí)行次數(shù) T(n) = n + (n - 1) + (n - 2)……+ 1 = n(n + 1) / 2 = n^2 / 2 + n / 2。

根據(jù)上文說的 大O推導法 可以知道，此時時間復雜度為 O(n^2)。

二. 進階題

求該方法的時間復雜度

參考答案：

假設循環(huán)次數(shù)為 t，則循環(huán)條件滿足 2^t < n。

可以得出，執(zhí)行次數(shù)t = log(2)(n)，即 T(n) = log(2)(n)，可見時間復雜度為 O(log(2)(n))，即 O(log n)。

三. 再次進階

求該方法的時間復雜度

參考答案：

顯然運行次數(shù)，T(0) = T(1) = 1，同時 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1，這里的 1 是其中的加法算一次執(zhí)行。

顯然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一個斐波那契數(shù)列，通過歸納證明法可以證明，當 n >= 1 時 T(n) < (5/3)^n，同時當 n > 4 時 T(n) >= (3/2)^n。

所以該方法的時間復雜度可以表示為 O((5/3)^n)，簡化后為 O(2^n)。

可見這個方法所需的運行時間是以指數(shù)的速度增長的。如果大家感興趣，可以試下分別用 1，10，100 的輸入大小來測試下算法的運行時間，相信大家會感受到時間復雜度的無窮魅力。

作者：raymondCaptain；鏈接：https://www.jianshu.com/p/f4cca5ce055a

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