命題4.4：

可作已知三角形的內切圓

已知：△ABC

求：作△ABC的內切圓

解：

作BD平分∠ABC

（命題1.9）

作CD平分∠ACB，于BD交點記為點D

（命題1.9）

過點D作DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC

（命題1.12）

證：

∵DE⊥AB，DF⊥BC

（已知）

∴∟BED=∟BFD

（公設1.4）

∵∠ABD=∠CBD，BD公用

（已知）

∴△BDE≌△BDF，DE=DF

（命題1.26）

同理可證，DG=DF

∴DE=DF=DG

（公理1.1）

∴以點D為圓心，DE,DF,DG任意一個為半徑作圓EFG經過其余的點

（公設1.3＆定義1.15）

∵DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC

（已知）

∴AB，BC，AC切于圓EFG

（命題3.16推論）

∴圓EFG是△ABC的內切圓

（定義4.5）

證畢

此命題在《幾何原本》中再未被使用

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