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1.只需用開集就能刻畫函數(shù)在一個集合上的連續(xù)性。

因開集本身就是用鄰域描述的，連續(xù)仍然可以用鄰域描述，因此連續(xù)可以被開集刻畫。

并且證明過程正反兩方向用“x?∈f?1(E)?f(x?)∈E”及“A?f?1(E)?f(A)?E”

（在此f?1表示原像，是原像則可能是“分段”的或?）

2.以后會用到的事實：定義點到集合的距離ρ(p,A)，ρ是Lipschitz連續(xù)的。

3.點列的Bolzano—Weierstrass定理。

范數(shù)不等式又來了，由它可以證明：點列有界?分量數(shù)列有界

因為第一分量數(shù)列有界，故可以從中抽取收斂子列，按同樣序號選取第二個分量的子列，由于仍然有界，則可以從中抽取新的收斂子列，依次操作，最終得到一個序號，按此序號排列的點列就是符合條件的收斂子列。

4.定理2.16，定理2.17（極值定理），定理2.15（一致連續(xù)定理）跟一元證明方法相同。

5.例2.37：若lim(x→∞)f(x)存在且有限，則f在IR?上一致連續(xù)。

先是選定“大球小球”，根據(jù)Cauchy收斂原理、一致收斂定理得知在一定條件下｜f(x?)-f(x?)｜＜ε，（一定條件：x?、x?都在“大球”內(nèi)，或者都在“小球”外）

然后根據(jù)一致連續(xù)條件排除x?、x?一個在“小球”內(nèi)，一個在“大球”外的可能，

從而得出結(jié)論。