? ? ? ?在力學的轉動部分中，有這樣一個極其重要的物理量－－－轉動慣量，由于在一般的情況下，大多數的人在大學才會正式接觸到這樣一個量，所以很多人對它并不怎么熟悉。但是它在轉動中的地位，可毫不亞于牛頓第二定律中“質量”的地位。那么，我們如何“自然而然”的理解這個量呢？

? ?（注： “轉動”指物體繞某點或線為軸做的曲線運動（如勻速圓周運動），另與“平動”等共同組成了機械運動的基本形式）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1.矢量的叉乘

? ? ? ? ? 說到這兒，不得不提矢量基本運算的另一種法則－－－叉乘（或稱“向量外積”）。我們知道矢量都是有大小有方向的量，那給它定義的運算規(guī)則自然和一般的標量（數量）必然是不同的。其中，矢量乘法有兩種不同的規(guī)則：點乘和叉乘，它們分別寫做：

? ?? ? ? ? ?點乘：a?b＝laⅠlblcos〈a，b〉? ? ? ? ?結果是一個標量

? ? ? ? ? ??叉乘：a×b＝lallblsin〈a，b〉e? ? ? ?結果是一個矢量（e為單位矢量）

? ? ? ? ? ?從上面兩式可以看出：叉乘、點乘表示的意義和結果是完全不同的，所以，各位可不要把“?”和“×”弄混了哦～

? ? ? ? ? ?矢量外積的數值為以兩矢量模長為鄰邊長構成平行四邊形的面積，而我們既然提到這個外積它也是一個矢量，那我們如何判定它的方向呢？學過電磁學的小伙伴們請注意！熟悉的操作又要來了，現在，請大家伸出你的右手…這是要干啥呢？沒錯！判定叉積方向的神奇操作叫做“右手螺旋定則”，我們先讓四指和矢量a重合（就是說如果兩個矢量都在紙面上，那么你四指所形成的平面應該垂直于紙面，而不是掌心朝向紙面），然后，以四指的指關節(jié)為軸，向被叉乘矢量b轉動，此時，你的右手拇指指向應該就是叉乘結果矢量c的方向，怎么樣，你學廢會了嗎？

? ? ? ??? ? ? ? ?2.力矩

? ? ? ? ? ?我們知道：力能改變物體的運動狀態(tài)，在某質點的質量不變時，它的加速度與其所受合外力成正比（F＝ma）這是牛頓第二定律的內容。

? ? ? ? ? ?那么在轉動中，影響物體運動狀態(tài)改變的只有合外力一個量嗎？各位可以試著用差不多大小的力去推門把手的內部（近軸端）、中部和外部（遠軸端），各位發(fā)現了沒有，在內部用力，門把手幾乎紋絲不動，而在中部，門把手則會開始緩緩地轉動，而在外部，門把手“啪”的一聲，很快啊！到頭了。而稍微把手傾斜一個角度用力，結果也會是不一樣的（當然，有測力計更為精確）

? ? ? ? ? ?事實證明，轉動物體運動狀態(tài)的改變不但和作用力大小有關，還與力作用點到軸距離、作用線與軸夾角、力的大?。ㄟ@肯定不用說）三個量有關，整理一下，即為：轉動物體運動狀態(tài)與力的大小及力的作用線與軸的距離兩個量有關，而物理學上，它們被整合成了一個物理量－－－力矩（Moment of force）用以衡量力對轉動物體的效應，它被定義為軸指向作用點的矢徑r與作用力F的叉乘

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即：M＝r×F＝lrⅠlFlsin〈r，F〉e

? ? ? ? ? ? ?它是一個有大小、方向的矢量，在數值上等于力與力作用線到轉軸距離的乘積

? ? ? ? ? ? ? ?3.轉動慣量的引入

? ? ? ??好了！接下來進入正題，我們所需要做的知識儲備只有牛二定律

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 對！??！只有牛頓第二定律！

? ? ? ? ?我們先來假設一個情形：一個質量為m的質點可繞定點O在平面上做圓周運動，轉動半徑恒為r不變，如下圖（1）

? ? ? ? ?現在，我沿與OM連線成θ角方向施加一大小為F的力F，然后捏？

? ? ? ? 我們選取一個十分小的時間間隔dt，這時候，質點m的運動可以近似看成直線，代入牛頓第二定律，結果得到：? ? ? ? ??F＝ma

? ? ? ? ?熟悉運動學的同學可能還知道，加速度可以寫成微商（求導）的形式：

? ? ? ? ? ? 我們對dv進行繼續(xù)簡化，在圓周運動中，由圓的性質可以推知，瞬時速度與瞬時角速度（角速度：單位時間內轉過的角度）與矢徑r的關系為：v＝ω×r，由于這兩個矢量是垂直的關系（sin90度＝1），所以右上角那項可以直接寫成d（ωr）ee，根據求導法則：

? ? ? ? ?這時我們定義角加速度（β）為單位時間角速度的變化量，那將這一項乘回單位矢量，代回到原式就成了這樣：

? ? ? ? ?我們發(fā)現：如果在左右兩邊矢量的前頭都叉乘上一個矢徑r的話，式子的左右都可以化成轉動有關的物理量，于是我在兩邊叉上一個r：

? ? ? ? ? 這時我們去做一個計算的話，就會發(fā)現r×β×r的向量的模正好是半徑的平方與角加速度之積，由于這是在同一參考系，所以單位向量應該是相同的，把左邊用M替換并寫成標量的形式即為：

? ? ? ? ? ? ? 這樣的形式應該順眼多了吧，其中M是力矩，對應平動中的力，β是角加速度，對應平動中的加速度，那么mr＾2應該在轉動中與質量的地位差不多，這玩意決定了相同力矩時物體運動狀態(tài)變化的劇烈程度…熟悉不，這和“慣性”有著異曲同工之妙啊！于是乎，我們給它一個名字－－－轉動慣量（用J或I表示），J＝mr＾2，我們的轉動定理也可以寫成：M＝Jβ的形式。至此，我們便從一個小球的運動中自然而然的引出了“轉動慣量”，而其它奇形怪狀剛體的轉動慣量怎么求呢？還能用軸到質心距離的平方乘質量嗎？哪有那么簡單，學了牛爵爺的微積分后你就會“自然而然”的明白了！