我們?nèi)绾卫斫膺@個(gè)圖形？

它在第一集中出現(xiàn)過，直到現(xiàn)在才再次提及。這時(shí)候，相信有的讀者認(rèn)為這是作者有意為之，好讓大家閱讀我的專欄。確實(shí)，我們之前的內(nèi)容便是為接下來理解它打下基礎(chǔ)。我會(huì)兌現(xiàn)承諾，去解釋這個(gè)值得你用一輩子時(shí)間去回味的圖形！

回顧第一節(jié)，我們談到方程:x2+1=0在實(shí)數(shù)域是沒有解的，我們需要引進(jìn)虛數(shù)，把實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域，我們的問題才有解。相信讀者都接觸過函數(shù)（Function），我們通常把函數(shù)畫在一張平面上，我們通常用X軸代表定義域，Y軸代表值域。然后把這兩條數(shù)軸垂直放置，這便是直角坐標(biāo)系（Cartesian Coordinates），它是笛卡兒（René Descartes）在十六世紀(jì)發(fā)明的畫板，用來了解兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

直角坐標(biāo)系的厲害之處在于它首次運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式引入了函數(shù)的觀念，這極大幫助了牛頓等早期科學(xué)家們確定不同類型的函數(shù)。如今，它廣泛用于記錄數(shù)據(jù)、預(yù)測(cè)走勢(shì)等方面。

但是，直角坐標(biāo)系最多只能拓展到三維空間，來研究三個(gè)變量間的關(guān)系。當(dāng)我們考慮定義域和值域都是復(fù)數(shù)的復(fù)變函數(shù)時(shí)，我們需要四維空間來刻畫這四個(gè)變量之間的關(guān)系，我們的維度不夠用了。這意味著我們不能再用之前的方法來研究復(fù)變函數(shù)。

一種替代的方法是用兩個(gè)平面分別記錄函數(shù)的定義域、值域。為了與實(shí)變量函數(shù)區(qū)別開來，我們把自變量改稱為z，把因變量改稱為w。

因?yàn)閦，w都是復(fù)數(shù)，我們令：

z=x+iy w=u+iv

其中

x，y是自變量

u，v是因變量

現(xiàn)在我們來研究函數(shù)f(z)=z2+1：

首先我選擇一個(gè)數(shù)z=1+i ，他在復(fù)平面的坐標(biāo)是(1,1)。經(jīng)運(yùn)算我們得到w=1+2i，坐標(biāo)是(1,2)

把這兩個(gè)點(diǎn)分標(biāo)在兩個(gè)平面上，可以看到點(diǎn)（1,1）被函數(shù)移動(dòng)到了點(diǎn)（1,2）。數(shù)學(xué)家更喜歡用映射（map）這個(gè)詞來描述這個(gè)過程。讓我們嘗試更多點(diǎn)，看看我們能不能找出規(guī)律：

直線是最簡(jiǎn)單的圖形，如果我們?cè)谥本€上取五個(gè)點(diǎn)，重復(fù)上述的過程，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這五個(gè)點(diǎn)分別映射到了不同的位置上，直線變成了曲線。為了加快速度，我們用電腦實(shí)現(xiàn)這個(gè)過程。準(zhǔn)備好了嗎？讓我們畫多幾條直線：

我們首先沿x軸、y軸正向畫一條直線，可以看到它們映射后還是直線，但是沿著y軸的直線卻旋轉(zhuǎn)了90°。隨著劃出越來越多的直線，我們逐漸發(fā)現(xiàn)了一種規(guī)律：

那些與x軸、y軸平行的直線簇在映射f(z)=z2+1下變成了曲線簇。

我們發(fā)現(xiàn)了有趣的變換現(xiàn)象，我們?nèi)绾谓忉屗鼈儯?/p>

更重要的是，這與我們之前所學(xué)的知識(shí)相悖嗎？

還有什么圖形可以作為探究映射規(guī)律的有力工具？希望你課下大膽嘗試！

下一節(jié)，譯者將手把手教大家用Python實(shí)現(xiàn)圖像變換，敬請(qǐng)期待！