萬有引力與宇宙航行(必修二第七章，總結(jié)筆記)

2023-04-02 21:38 作者:syr56 0人讀過 | 我要投稿

1.行星的運(yùn)動；2.萬有引力定律；3.萬有引力理論的成就；4.宇宙航行；5.相對論時(shí)空觀與牛頓力學(xué)的局限性

1.行星的運(yùn)動

（1）兩種對立的學(xué)說

【地心說】

①地球是宇宙的中心，是靜止不動的；②太陽、月亮以及其他行星都繞地球運(yùn)動；③地心說的代表人物是古希臘科學(xué)家托勒密.

【日心說】

①太陽是宇宙的中心，是靜止不動的，地球和其他行星都繞太陽做勻速圓周運(yùn)動；②日心說的代表人物是哥白尼.

局限性：古人都把天體的運(yùn)動看得很神圣，認(rèn)為天體的運(yùn)動必然是最完美、最和諧的勻速圓周運(yùn)動.

（2）開普勒定律

開普勒研究了第谷的行星觀測記錄，發(fā)現(xiàn)如果假設(shè)行星的運(yùn)動是勻速圓周運(yùn)動，計(jì)算所得的數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)不符。

①第一定律(軌道定律)：所有行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點(diǎn)上。

不同行星繞太陽運(yùn)動的橢圓軌道是不同的，但所有軌道都有一個共同的焦點(diǎn)——太陽。

②第二定律(面積定律)：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。

如圖1所示，在相等的時(shí)間內(nèi)，面積 $S_A%3DS_B$ ，這說明離太陽越近，行星在相等時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的弧長越長，即行星的速率越大。

近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)分別是行星距離太陽最近、最遠(yuǎn)的點(diǎn).同一行星在近日點(diǎn)速度最大，在遠(yuǎn)日點(diǎn)速度最小。

③第三定律(周期定律)：所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等。其表達(dá)式為 $%5Cfrac%7Ba%5E3%7D%7BT%5E2%7D%3Dk$ ，其中a是橢圓軌道的半長軸，T是公轉(zhuǎn)周期，是k一個對所有行星都相同的常量。

如圖2所示，由 $%5Cfrac%7Ba%5E3%7D%7BT%5E2%7D%3Dk$ 知橢圓軌道半長軸越長的行星，其公轉(zhuǎn)周期越長。比k一個對所有行星都相同的常量。

該定律不僅適用于行星繞太陽的運(yùn)動，也適用于衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動，對于地球衛(wèi)星，常量k只與地球有關(guān)，而與衛(wèi)星無關(guān)，也就是說k值大小由中心天體決定。

（3）行星運(yùn)動的近似處理

①行星繞太陽運(yùn)動的軌道十分接近圓，太陽處在圓心。

②行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動。

③所有行星軌道半徑r的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方的比值都相等，即 $%5Cfrac%7Br%5E3%7D%7BT%5E2%7D%3Dk$ 。

當(dāng)比較一個行星在橢圓軌道不同位置的速度大小時(shí)，選用開普勒第二定律；當(dāng)比較或計(jì)算兩個行星的周期問題時(shí)，選用開普勒第三定律。

2.萬有引力定律

（1）行星與太陽間的引力

行星繞太陽的運(yùn)動可看作勻速圓周運(yùn)動。設(shè)行星的質(zhì)量為m，速度為v，行星到太陽的距離為r，天文觀測測得行星公轉(zhuǎn)周期為T。

由開普勒第三定律可得太陽對行星的引力為： $F%5Cpropto%5Cfrac%7Bm%7D%7Br%5E2%7D$ ，由牛頓第三定律可得太陽對行星的引力為： $F'%5Cpropto%20%5Cfrac%7Bm_%7B%E5%A4%AA%7D%7D%7Br%7D$ ，故行星合太陽間的引力可以寫為： $F%5Cpropto%20%5Cfrac%7Bm_%7B%E5%A4%AA%7Dm%7D%7Br%5E2%7D$ ，寫成等式： $F%3DG%5Cfrac%7Bm_%7B%E5%A4%AA%7Dm%7D%7Br%5E2%7D$ 。其中G為常數(shù)。

月-地檢驗(yàn)：地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力，遵從相同的規(guī)律。

（2）萬有引力定律(law of universal gravitation)

內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量 $m_1$ 和 $m_2$ 的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比。

表達(dá)式： $F%3DG%5Cfrac%7Bm_1m_2%7D%7Br%5E2%7D$ ，其中G叫作引力常量(gravitational constant)。

適用條件：①兩個質(zhì)點(diǎn)間的相互作用；②一個均勻球體與球外一個質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，r為球心到質(zhì)點(diǎn)的距離；③兩個質(zhì)量均勻的球體間的相互作用，r為兩球心間的距離。

牛頓得出了萬有引力與物體質(zhì)量及它們之間距離的關(guān)系，但沒有測出引力常量G。

英國物理學(xué)家卡文迪什通過扭秤實(shí)驗(yàn)推算出引力常量G的值。通常情況下取 $G%3D6.67%5Ctimes%2010%5E%7B-11%7DN%5Ccdot%20m%5E2%2Fkg%5E2$ 。

（3）重力與萬有引力的關(guān)系

【物體在地球表面上所受引力與重力的關(guān)系】

除兩極以外，地面上其他點(diǎn)的物體，都圍繞地軸做圓周運(yùn)動，這就需要一個垂直于地軸的向心力。地球?qū)ξ矬w引力的一個分力F'提供向心力，另一個分力為重力G，如圖3所示。

①當(dāng)物體在兩極時(shí)： $G%3DF_%7B%E5%BC%95%7D$ ，重力達(dá)到最大值 $G_%7Bmax%7D%3DG%5Cfrac%7BMm%7D%7BR%5E2%7D$ 。

②當(dāng)物體在赤道上時(shí)： $F'%3Dm%5Comega%5E2R$ 最大，此時(shí)重力最小 $G_%7Bmin%7D%3DG%5Cfrac%7BMm%7D%7BR%5E2%7D-m%5Comega%5E2R$ 。

③從赤道到兩極隨著緯度增加，向心力 $F'%3Dm%5Comega%5E2R$ 減小， $F'$ 與引 $F_%7B%E5%BC%95%7D$ 夾角增大，故重力G在增大，重力加速度增大。

由于向心力、萬有引力、重力不在同一直線上，重力與萬有引力方向有偏差，重力大小 $mg%3CG%5Cfrac%7BMm%7D%7BR%5E2%7D$ 。

【重力與高度的關(guān)系】

若距離地面的高度為h，則 $mg'%3DG%5Cfrac%7BMm%7D%7B(R%2Bh)%5E2%7D$ 為地球半徑，g'為離地面h高度處的重力加速度)。在同一緯度，距地面越高，重力加速度越小。

【注意】

①重力是物體由于地球吸引產(chǎn)生的，但重力并不是地球?qū)ξ矬w的引力。

②在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下，認(rèn)為 $mg%3DG%5Cfrac%7BMm%7D%7BR%5E2%7D$ 。

3.萬有引力理論的成就

（1）“稱量”地球的質(zhì)量

地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的引力。

由萬有引力定律可得： $mg%3DG%5Cfrac%7Bmm_%7B%E5%9C%B0%7D%7D%7BR%5E2%7D$ ，得到 $m_%7B%E5%9C%B0%7D%3D%5Cfrac%7BgR%5E2%7D%7BG%7D$ ，只要知道g、R、G的值，就可計(jì)算出地球的質(zhì)量。

類似地，若知道其他某星球表面的重力加速度和星球半徑，可計(jì)算出該星球的質(zhì)量。

（2）計(jì)算天體的質(zhì)量

質(zhì)量為m的行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，行星與太陽間的萬有引力充當(dāng)向心力。

由牛頓第二定律合和萬有引力定律可得： $%5Cfrac%7BGmm_%7B%E5%A4%AA%7D%7D%7Br%5E2%7D%3Dm%5Cfrac%7B4%5Cpi%5E2%7D%7BT%5E2%7Dr$ ，得到 $m_%7B%E5%A4%AA%7D%3D%5Cfrac%7B4%5Cpi%5E2r%5E3%7D%7BGT%5E2%7D$ ，只要再知道引力常數(shù)G，行星繞太陽運(yùn)動的周期T和軌道半徑r就可以計(jì)算出太陽的質(zhì)量。

若已知引力常量G，衛(wèi)星繞行星運(yùn)動的周期和衛(wèi)星與行星之間的距離，可計(jì)算出行星的質(zhì)量。

（3）發(fā)現(xiàn)未知天體

海王星的發(fā)現(xiàn)：英國劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國年輕的天文學(xué)家勒維耶根據(jù)天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計(jì)算出天王星外“新”行星的軌道。1846年9月23日，德國的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星——海王星。

其他天體的發(fā)現(xiàn)：海王星之外殘存著太陽系形成初期遺留的物質(zhì).近100年來，人們在海王星的軌道之外又發(fā)現(xiàn)了冥王星、鬩神星等幾個較大的天體。

（4）預(yù)言哈雷彗星回歸

英國天文學(xué)家哈雷計(jì)算了1531年、1607年和1682年出現(xiàn)的三顆彗星的軌道，他大膽預(yù)言這三顆彗星是同一顆星，周期約為76年，并預(yù)言了這顆彗星再次回歸的時(shí)間。1759年3月這顆彗星如期通過了近日點(diǎn)，它最近一次回歸是1986年，它的下次回歸將在2061年左右。

（5）天體質(zhì)量和密度的計(jì)算方法

【重力加速度法】

已知天體的半徑R和天體表面的重力加速度g，物體在天體表面的重力近似等于天體與物體間的萬有引力： $mg%3DG%5Cfrac%7BMm%7D%7BR%5E2%7D$ 。

可以得到天體質(zhì)量為： $M%3D%5Cfrac%7BgR%5E2%7D%7BG%7D$ ；天體密度為 $%5Crho%3D%5Cfrac%7BM%7D%7B%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20R%5E3%7D$ 。

g為天體表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用實(shí)驗(yàn)測出，例如讓小球做自由落體、平拋、上拋等運(yùn)動。

【環(huán)繞法】

行星或衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力充當(dāng)向心力： $G%5Cfrac%7BMm%7D%7Br%5E2%7D%3Dm(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7BT%7D)%5E2r$ 。

得到中心天體質(zhì)量： $M%3D%5Cfrac%7B4%5Cpi%5E2r%5E3%7D%7BGT%5E2R%5E3%7D$ ；天體密度： $%5Crho%3D%5Cfrac%7BM%7D%7B%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20R%5E3%7D%3D%5Cfrac%7B3%5Cpi%20r%5E3%7D%7BGT%5E2R%5E3%7D$ 。

這種方法只能求中心天體質(zhì)量，不能求環(huán)繞星體質(zhì)量。公式中T為公轉(zhuǎn)周期，r為軌道半徑，R為中心天體半徑。

（6）天體運(yùn)動的分析與計(jì)算

一般行星(或衛(wèi)星)的運(yùn)動可看做勻速圓周運(yùn)動，所需向心力由中心天體對它的萬有引力提供，可以得到基本公式： $G%5Cfrac%7BMm%7D%7Br%5E2%7D%3Dma_n%3Dm%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%7D%3Dm%5Comega%5E2r%3Dm%5Cfrac%7B4%5Cpi%5E2%7D%7BT%5E2%7Dr$ 。

忽略自轉(zhuǎn)時(shí)， $mg%3DG%5Cfrac%7BMm%7D%7BR%5E2%7D$ ，整理可得： $GM%3DgR%5E2$ 。在引力常量G和中心天體質(zhì)量M未知時(shí)，可用 $gR%5E2$ 替換GM， $GM%3DgR%5E2$ 被稱為“黃金代換式”。

【天體運(yùn)動的物理量與軌道半徑的關(guān)系】

①由 $G%5Cfrac%7BMm%7D%7Br%5E2%7D$ 得 $v%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BGM%7D%7Br%7D%7D$ ；

②由 $G%5Cfrac%7BMm%7D%7Br%5E2%7D%3Dm%5Comega%5E2r$ 得 $%5Comega%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BGM%7D%7Br%5E3%7D%7D$ ；

③由 $G%5Cfrac%7BMm%7D%7Br%5E2%7D%3Dm(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7BT%7D)%5E2r$ 得 $T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Br%5E3%7D%7BGM%7D%7D$ ；

④由 $G%5Cfrac%7BMm%7D%7Br%5E2%7D%3Dma_n$ 得 $a_n%3D%5Cfrac%7BGM%7D%7Br%5E2%7D$ 。

結(jié)論：①衛(wèi)星的軌道半徑r確定后，其相對應(yīng)的線速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，與衛(wèi)星的質(zhì)量無關(guān)，即同一軌道上的不同衛(wèi)星具有相同的周期、線速度大小、角速度和向心加速度大小。②衛(wèi)星的軌道半徑r越大，v、 $%5Comega$ 、 $a_n$ 越小，T越大，即越遠(yuǎn)越慢。

4.宇宙航行

（1）宇宙速度(cosmic velocity)

牛頓的設(shè)想：把物體從高山上水平拋出，如果速度足夠大，物體就不再落回地面，它將繞地球運(yùn)動，成為人造地球衛(wèi)星。

常見的宇宙速度有三個，分別為第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度，其大小和意義如下表所示。

【第一宇宙速度的推導(dǎo)】

①物體繞地球的運(yùn)動可視為勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，則有 $G%5Cfrac%7Bmm_%7B%E5%9C%B0%7D%7D%7BR%5E2%7D%3Dm%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7BR%7D$ ，得到 $v_1%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BGm_%7B%E5%9C%B0%7D%7D%7BR%7D%7D$ ，地球半徑R=6400km，地球質(zhì)量 $m_%7B%E5%9C%B0%7D%3D5.98%5Ctimes%2010%5E%7B24%7Dkg$ ，萬有引力常量 $G%3D6.67%5Ctimes10%5E%7B-11%7Dm%5E2%2Fkg%5E2$ 。

②近似求解：如圖3所示，向心力和重力是萬有引力的分力，向心力與重力相比小很多，所以可以近似地認(rèn)為重力和萬有引力大小相同，即從原來的萬有引力提供向心力變?yōu)橹亓μ峁┫蛐牧Γ瑒t有 $mg%3Dm%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7BR%7D$ ，得到 $v_1%3D%5Csqrt%7BgR%7D$ 。

【宇宙速度的含義】

①第一宇宙速度

是近地衛(wèi)星的圓軌道運(yùn)行速度，大小為7.9 km/s，也是衛(wèi)星圓軌道的最大運(yùn)行速度。

人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，向高軌道發(fā)射衛(wèi)星比向低軌道發(fā)射衛(wèi)星困難，需要更多能量。

②第二宇宙速度

在地面附近發(fā)射飛行器，使之能夠克服地球的引力，永遠(yuǎn)離開地球所需的最小發(fā)射速度，其大小為11.2km/s。當(dāng)發(fā)射速度7.9km/s<v_0<11.2km/s時(shí)，物體繞地球運(yùn)行的軌跡是橢圓，且在軌道不同點(diǎn)速度大小一般不同。

③第三宇宙速度

在地面附近發(fā)射飛行器，使之能夠掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系外的最小發(fā)射速度，其大小為16.7 km/s。

（2）人造地球衛(wèi)星

衛(wèi)星的軌道平面可以在赤道平面內(nèi)(如同步軌道)，可以通過兩極上空(極地軌道)，也可以和赤道平面成任意角度，如圖7.5所示。

因?yàn)榈厍驅(qū)πl(wèi)星的萬有引力提供了衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動的向心力，所以地心必定是衛(wèi)星圓軌道的圓心。

【地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)】

地球同步衛(wèi)星位于赤道上方高度約36000 km處，因相對地面靜止，也稱靜止衛(wèi)星。地球同步衛(wèi)星與地球以相同的角速度轉(zhuǎn)動，“同步”的含義就是和地面保持相對靜止，周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同。

定周期：所有同步衛(wèi)星周期均為T=24h。

定軌道：同步衛(wèi)星軌道必須在地球赤道的正上方，運(yùn)轉(zhuǎn)方向必須跟地球自轉(zhuǎn)方向一致，即由西向東。

定高度：由 $G%5Cfrac%7BmM%7D%7B(R%2Bh)%5E2%7D%3Dm%5Cfrac%7B4%5Cpi%5E2%7D%7BT%5E2%7D(R%2Bh)$ 可得，同步衛(wèi)星離地面高度為 $h%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7BGMT%5E2%7D%7B4%5Cpi%5E2%7D%7D-R%5Capprox3.58%5Ctimes%2010%5E%7B4%7Dkm%5Capprox6R$ 。

定速度：由于同步衛(wèi)星高度確定，軌道半徑確定，因此線速度、角速度大小均不變。

定加速度：由于同步衛(wèi)星高度確定，則其軌道半徑確定，因此向心加速度大小也不變。

人造地球衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動的最大線速度為 $v_1%3D7.9km%2Fs$ ，最小周期對應(yīng)為 $T%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%20R%7D%7Bv_1%7D%5Capprox85min$ 。

（3）載人航天與太空探索

①1961年蘇聯(lián)宇航員加加林進(jìn)入東方一號載人飛船，鑄就了人類首次進(jìn)入太空的豐碑。

②1969年，美國阿波羅11號飛船發(fā)射升空，拉開人類登月這一偉大歷史事件的帷幕。

③2003年10月15日9時(shí)，我國神舟五號宇宙飛船把中國第一位航天員楊利偉送入太空，截止到2017年底，我國已經(jīng)將11名航天員送入太空，包括兩名女航天員。

④2013年6月，神舟十號分別完成與天宮一號空間站的手動和自動交會對接；2016年10月19日，神舟十一號完成與天宮二號空間站的自動交會對接。2017年4月20日，我國發(fā)射了貨運(yùn)飛船天舟一號，入軌后與天宮二號空間站進(jìn)行自動交會對接、自主快速交會對接等3次交會對接及多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)。

5.相對論時(shí)空觀與牛頓力學(xué)的局限

（1）相對論時(shí)空論

19世紀(jì)，英國物理學(xué)家麥克斯韋根據(jù)電磁場理論預(yù)言了電磁波的存在，并證明電磁波的傳播速度等于光速c。

1887年邁克耳孫—莫雷實(shí)驗(yàn)以及其他一些實(shí)驗(yàn)表明：在不同的參考系中，光的傳播速度都是一樣的！這與牛頓力學(xué)中不同參考系之間的速度變換關(guān)系不符。

愛因斯坦假設(shè)：在不同的慣性參考系中，物理規(guī)律的形式都是相同的；真空中的光速在不同的慣性參考系中大小都是相同的。

低速：通常所見物體的運(yùn)動，如行駛的汽車、發(fā)射的導(dǎo)彈、人造地球衛(wèi)星及宇宙飛船等物體皆為低速運(yùn)動物體。

高速：有些微觀粒子在一定條件下其速度可以與光速相接近，這樣的速度稱為高速。

【時(shí)間延緩效應(yīng)(鐘慢)】

如果相對于地面以v運(yùn)動的慣性參考系上的人觀察到與其一起運(yùn)動的物體完成某個動作的時(shí)間間隔為 $%5CDelta%20%5Ctau$ ，地面上的人觀察到該物體在同一地點(diǎn)完成這個動作的時(shí)間間隔為 $%5CDelta%20t$ ，那么兩者之間的關(guān)系是 $%5CDelta%20t%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20%5Ctau%7D%7B%5Csqrt%7B1-(%5Cfrac%7Bv%7D%7Bc%7D)%5E2%7D%7D$