各位同學大家好！今天是大年初三！先給大家拜個年！祝新的一年身體健康！財源滾滾！

今天，我要來教大家一個關(guān)于“根”的技能——手算開平方根！學了這個技能，在新的一年中，你又能在小伙伴面前炫耀啦！

一? 連分數(shù)法

手算開平方的方法其實有很多，我先來教大家一種連分數(shù)的方法。如果要計算一個數(shù)s的平方根，只需要把這個數(shù)寫成s=a2+b （a2>>b）的形式，然后就可以通過下面的式子計算：

觀察這個式子，你會發(fā)現(xiàn)：除了第一項是a，其余的加號前面都是2a，分子都是b，很好記。這個連分數(shù)有無限多層，但是我們在計算過程中不需要取無限多層，只需要一兩層，就能得到很好的效果。

比如，我們要計算150的平方根。我們將150寫成144+6，前者是12的平方，即150=122+6，也就是在（1）式中a=12，b=6

我們可以按照不同的精度，分別取0層、1層、2層…近似

如果我們用計算機按出根號150，它等于12.2474487…，大家會發(fā)現(xiàn)，其實1層近似就已經(jīng)很準確了，到了2層近似的時候，已經(jīng)準確到小數(shù)點后第四位了，誤差在百萬分之二，怎么樣？還是很不錯的方法吧！?

這種方法的證明也不難。如下：

大家觀察最后一個表達式：左右兩側(cè)都等于√s，而在右側(cè)表達式的右下角還有√s。于是，我們可以把右側(cè)整個代入到右下角的√s中。

這樣就得到

大家看，這樣就出現(xiàn)了一個2a。我們可以重復這個步驟，用（2）中的綠色框再次替代（3）中右下角的√s，這樣就得到了：

如此，我們反反復復計算下去，就會得到最初的結(jié)論（1）了。怎么樣？簡單吧!

二 長除法

除了剛才的方法，還有一種很方便的方法——長除法，看起來和我們小學時候?qū)W過的除法長得差不多。它大體有分段、試根、求余項、更新余項等幾個步驟，其中試根和求余項要反復進行。與普通的除法不同的是：它求出的每一位商與除數(shù)的末尾是相同的。我們舉個例子：求1234的平方根。在求解過程中，我用同樣顏色的方框表示同樣的數(shù)字。

1. 分段：從小數(shù)點開始，向左和向右每兩位分一段。1234分段后就是12，34 . 00,00，…分段之后，每一段上面要求出一個一位數(shù)字的商，一共有4位數(shù)。這些商合起來就是所求的平方根的前幾位。注意：平方根的小數(shù)點與原來的小數(shù)點對齊。

2. 試根 首先計算第一段【12】上面的商，類似于除法，我們要找到一個除數(shù)和商，它們的乘積最接近12，又小于12. 與普通除法不同的是：除數(shù)和商需要是同樣的一位數(shù)字。顯然，這個數(shù)字是3，3x3=9。然后把12和9做減法，得到余項3。

3. 更新余項：將第二段【34】落下來，構(gòu)成新的余項334。

? 4. 乘20：這一步是理解算法的關(guān)鍵。我們需要將原來已經(jīng)得到的商乘以20，然后把除了最后一位0以外的其他數(shù)字寫到剛才得到的余項的左側(cè)，構(gòu)成新的除數(shù)的一部分。例如：已經(jīng)得到了第一段的商是3，乘以20得到60，把0空著，數(shù)字6寫到余項334的左側(cè)：

?5. 再試根?，F(xiàn)在要求第二位商，它必須和第二個除數(shù)末位數(shù)字相同。而且，按照除法規(guī)則，第二位商和除數(shù)的乘積不能超過余項334。經(jīng)過嘗試，第二位的商最大可以填5. 5x65=325，再用334-325求出新的余項9.

? 6. 再將00段落下，更新余項為900, 重復上述過程：將已經(jīng)得到的商35乘20，把結(jié)果700寫到除數(shù)上，但留下最后一位不寫。

?7. 求第三位的商，這個商與除數(shù)末位數(shù)字相同，并且二者乘積不超過900，應該商1，1x701=701，再求出余項900-701=199。

?8. 按照同樣的方法，將后一段00落下，把剛得到的商351乘20，并加上一個待定的數(shù)字寫在除數(shù)的位置上，這個待定的數(shù)字要與第四位商相同，二者的乘積不超過19900. 這個商是2

按照這樣的方法，只要我們愿意，就能手動得到任意精度的平方根。實際上，1234的平方根是35.128336… 前面幾位正是35.12

這個方法的證明也不難。我們假設一個數(shù)字s的平方根是兩位數(shù)，它的十位是a，個位是b，我們寫作

將這個式子兩邊平方

再進行移項，和提公因式，得到

大家看，左邊有s-100a2，100代表了兩位數(shù)字一段，每一段要求一次余項。右側(cè)有20a，就是把之前得到的商乘以20，然后加上b乘上b，意思是除數(shù)的最后一位和商必須是相同的數(shù)字。如果兩側(cè)剛好相等，就說明開根號完成了，這恰恰就是剛才我們的計算過程。實際上，a不一定是一位數(shù)，它可以代表一串數(shù)字，這種算法具有普遍性。

怎么樣？這么炫酷的技能學會了沒有？快去跟小伙伴們炫耀吧！

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