預(yù)備知識(shí)：

1. 【菲赫金哥爾茨微積分學(xué)教程精讀筆記Ep40】數(shù)列性質(zhì)一小波攻勢(shì)中的預(yù)備定理2：有界數(shù)列乘以無(wú)窮小的積還是無(wú)窮??；
   

2. 夾逼準(zhǔn)則：若三個(gè)數(shù)列{xn}，{yn}，{zn}從某項(xiàng)開(kāi)始成立xn<=yn<=zn，n>n0，且lim xn =lim zn=a，則lim yn=a；

3. 定義：設(shè)f(x)=anx^n+an-1x^(n-1)+……+a1x+a0，如果an≠0，那么稱anx^n是f(x)的首項(xiàng)，稱n是f(x)的次數(shù)，記作deg f(x)或deg f.
   

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析》（陳紀(jì)修 於崇華 金路）

2. 《解析幾何》（呂林根 許子道?編）

3. 《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析（陳紀(jì)修?於崇華?金路）》）——

按定義證明下列數(shù)列是無(wú)窮小量——

1. {3^n/n!}；

2. {n!/n^n}；

3. {1/n-1/（n+1）+1/（n+2）-…+[（-1）^n]/（2n）}.

證：

1. 注意到從n>=6開(kāi)始，之后每一個(gè)因數(shù)都小于1/2——

1. 3^n/n!

   =（3^5/5!）[3^（n-5）/（6*7*……*n）]

   <（3^5/5!）[3^（n-5）/6^（n-5）]

   =（3^5/5!）*[（1/2）^（n-5）]；

2. 3^5/5!是一個(gè)常數(shù)，lim（1/2）^（n-5）=0，由預(yù)備知識(shí)1：{3^n/n!}為無(wú)窮小量。

2. 注意到每個(gè)因數(shù)都不大于1——

1. 0
   

   <n!/n^n

   =（1/n）（2/n）……（n/n)

   <1/n；

2. lim 1/n=0，由夾逼準(zhǔn)則：{n!/n^n}為無(wú)窮小量。

3. 從第一項(xiàng)開(kāi)始兩兩合并看，注意到合并的每一項(xiàng)都大于0，從第二項(xiàng)開(kāi)始兩兩合并成，注意到合并的每一項(xiàng)都小于0——

1. 0

   <[1/n-1/（n+1）]+[1/（n+2）-1/（n+3）]……

   =1/n+[-1/（n+1）+1/（n+2）]+……

   <1/n；

2. lim 1/n=0，由夾逼準(zhǔn)則：{1/n-1/（n+1）+1/（n+2）-…+[（-1）^n]/（2n）}為無(wú)窮小量。
   

解析幾何——

例題（來(lái)自《解析幾何（呂林根 許子道?編）》）——

在三角形ABC中，設(shè)AB=e1，AC=e2.設(shè)D，E是邊BC的三等分點(diǎn)，將向量AD，AE分解為e1，e2的線性組合.

解：

1. D，E是邊BC的三等分點(diǎn)，即BD=BC/3=（AC-AB）/3=（e2-e1）/3，BE=2BC/3=2（AC-AB）/3=2（e2-e1）/3；

2. AD=AB+BD=e1+（e2-e1）/3=（2e1+e2）/3，

   AE=AB+BE=e1+2（e2-e1）/3=（e1+2e2）/3.
   

高等代數(shù)——

例題（來(lái)自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——

（命題）設(shè)f(x)，g(x)∈K[x]，則

deg(f±g)<=max{deg f，deg g}，

deg(fg)=deg f+deg g.

證：

1. 如果f=0或g=0，那么上二式顯然成立；

2. 若f≠0且g≠0，則

1. f(x)=a0+a1x+……+anx^n，an≠0，deg f=n；

2. g(x)=b0+b1x+……+bmx^m，bm≠0，deg g=m；

3. 不妨設(shè)n>=m，則f(x)±g(x)=(a0±b0)+……+(am±bm)x^m+……+anx^n，因此

   deg(f±g)<=n=max{deg f，deg g}；

4. 因?yàn)閍n≠0，bm≠0，則anbm≠0，故而anbmx^（n+m）是f(x)g(x)的首項(xiàng)，從而

   deg(fg)=n+m=deg f+deg g.