正多邊形的不尋常作圖法（上）

?

注：不使用量角器、阿基米德螺線、割圓曲線、極坐標(biāo)系參數(shù)曲線、整系數(shù)多項(xiàng)式一元函數(shù)曲線，支持折疊或旋轉(zhuǎn)刻度尺和圓規(guī)，沒有理論上的誤差。以下多邊形單用無刻度直尺和圓規(guī)無法作出！

?

一．7邊形

????第一種作法

1.如下圖。作圓O，半徑OA，作OA中垂線l。

2.直尺繞著O點(diǎn)轉(zhuǎn)動，同直線l交于P，線段OP交圓O于Q。

3.用圓規(guī)兩腳間距檢驗(yàn)比較線段PQ和AQ的長度，轉(zhuǎn)動直尺直到PQ=AQ后，描出點(diǎn)P。

4.作OP線段中垂線m，同l交于X。以O(shè)X為半徑作圓X。

5.圓X內(nèi)接正七邊形邊長剛好是OA。

?

原理：等腰三角形ABC中，AB=AC＞BC，而D是線段AC上一點(diǎn)，且CD=BC。如果AD=BD則頂角BAC=180/7°。

?

第二種作法

1.如下圖。作圓O，半徑A0A，垂直于A0A的半徑AB。

2.半徑AB的圓A，直尺繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動交OA中垂線于D，線段OD交圓O于A2，交圓A于C。

3.轉(zhuǎn)動直尺直到OA=CD，那么弧A0A2是2/7個圓周。

?

原理：等腰三角形ABC中，AB=AC＞BC，而D是線段AC上一點(diǎn)，且AD=BC。如果BD=sqrt(2)*BC則底角BAC=540/7°。大家不妨根據(jù)余弦定理推出，1+(2*sin(pi/14))^(-2)-2*cos(pi/7)/(2*sin(pi/14))的值恰好等于2。

?

第三種作法

1.如下圖。作圓O半徑為6，直徑AA0，OA處截取線段OP=1。

2.以O(shè)A為半徑作圓A0，圓A，兩個圓分別交圓O于B，C，且在直徑AA0同側(cè)。

3.連接BC，交AA0線段的中垂線于D。

4.作圓P，以PD為半徑。直尺繞著D轉(zhuǎn)，交圓P于E，交直線AA0于F。

5.直到EF=PD，作圓P直徑EG。

6.經(jīng)G點(diǎn)作直線AA0垂線，交圓O于A1, A6?；1A0的弧度正好是1/7圓周。

?

原理：2*cos(2*pi/7)是一元三次方程x^3+x^2-2*x-1=0最大的根。依據(jù)卡爾丹公式能算出其值是(-1+(3.5+10.5*sqrt(-3))^(1/3)+(3.5-10.5*sqrt(-3))^(1/3))/3。為什么不能是其他兩個根(-1+(-1+sqrt(-3))/2*(3.5+10.5*sqrt(-3))^(1/3)+(-1-sqrt(-3))/2*(3.5-10.5*sqrt(-3))^(1/3))/3或者(-1+(-1-sqrt(-3))/2*(3.5+10.5*sqrt(-3))^(1/3)+(-1+sqrt(-3))/2*(3.5-10.5*sqrt(-3))^(1/3))/3？留給大家思考。其中(3.5+10.5*sqrt(-3))^(1/3)是個三次復(fù)根式，模長是343的1/6次方，而輻角可以算出來是1/sqrt(28)反余弦弧度值的1/3抑或是3*sqrt(3)反正切弧度值的1/3。從而根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的知識，(3.5+10.5*sqrt(-3))^(1/3)+(3.5-10.5*sqrt(-3))^(1/3)=2*sqrt(7)*cos(arctan(3*sqrt(3))/3)。上述作圖過程，正好通過巧妙的三等分角方法做出了長度為2*sqrt(7)*cos(arctan(3*sqrt(3))/3)的線段PX，其中X是直線A1A6同AA0的交點(diǎn)。

?

第四種作法

1.如下圖。作大圓O半徑OP為3.5，從OP截取OR=3.25。

2.經(jīng)過R作OP的垂線，交大圓O于Q。

3.三等分弧PQ得到PS弧，可參前面的方法實(shí)現(xiàn)三等分任意角。

4.作半徑為2的小圓O，并交線段OS于J。J在線段OP的投影為I。

5.從OP截取線段OM=sqrt(7)*(OI-1)/3（顯然能尺規(guī)作圖得到）。

6.過M作OP垂線，交小圓O于K。垂直于OP的小圓O半徑為OA。AK的弧度恰好為pi/7。

?

原理：2*sin(pi/7)=(-sqrt(7)+(6.5*sqrt(7)+1.5*sqrt(-21))^(1/3)+(6.5*sqrt(7)-1.5*sqrt(-21))^(1/3))/3又可以簡寫成sqrt(7)*(-1+2cos(arccos(13/14)/3))/3，是三次方程x^3+sqrt(7)*x^2-sqrt(7)=0最大的一個根。通過三等分角arccos(13/14)（數(shù)值很小，普通圓規(guī)刻度尺作誤差大），作出線段長度為2cos(arccos(13/14)/3)就離作出正七邊形不遠(yuǎn)了。

其他作圖方法，歡迎大家交流！

?

二．9邊形

1.如下圖作圓O，直徑AA0，作半徑為OA的圓A，交圓O于A3、A6。

2.直尺繞著A3轉(zhuǎn)，交圓A于B，交直線AA0于C。直到BC=OA。

3.BA延長線交圓O于A8。A0A8的弧度就是九分之一圓周。

?

原理：cos(pi/3)=1/2，但4*cos(pi/9)=(4+4*sqrt(-3))*(1/3)+(4-4*sqrt(-3))*(1/3)是無法尺規(guī)作出的！然而只要巧妙地運(yùn)用轉(zhuǎn)尺三等分60度角，作九邊形輕而易舉。

其他作圖方法，歡迎大家交流！你可以基于n*pi/9的正切值、余切值去構(gòu)想，也可以根據(jù)頂角是20倍數(shù)的等腰非等邊三角形的幾何性質(zhì)去構(gòu)思。

?

三．11邊形

第一種作法

1.如下圖。作圓O，半徑OE1=10/sqrt(11)，y軸方向。

2.x軸上作OP=1，OE=1.25，EQ=OE/sqrt(5)。圓Q半徑為1.09，同x軸交于T1、T2。

3.作半徑4.84的大圓E，過T1、T2作x軸垂線交上半圓E于S1、S2。

4.作半徑2的小圓E，交線段ES1、ES2于R1、R2。

5.最重要一步：可折疊直尺始終過R1點(diǎn)，第一段R1A，第二段AH，R1、A、H共線，H在x軸上。第二段繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)，原來的H點(diǎn)再次落在x軸上即為點(diǎn)I，用圓規(guī)對比EI、AH的長度。倘若EI=AH，不再調(diào)整A點(diǎn)位置，此時角AEI=1/5*角T1ER1。然后延長AE交小圓E于V1，作過V1的x軸垂線交其于U1。

6.根據(jù)第5步的操作要領(lǐng)，作1/5角T2ER2。然后加上36度角（正五邊形能尺規(guī)作，36度角也能尺規(guī)作）。這個角的一邊為ET2，另一邊則交小圓E于V2。作過V2 的x軸垂線交其于U2。

7.在線段OH上截取OZ=OP+EU1-EU2。這樣一來，OZ與OE1之比正好是sin(2*pi/11)！

8.經(jīng)過Z點(diǎn)作x軸垂線交上半圓O于E2，E1E2即為圓內(nèi)接正11邊形邊長。

?

原理：2*sin(2*pi/11)是方程x^5-sqrt(11)*x^4+3*sqrt(11)*x^2-11*x+sqrt(11)=0的一個根。這個五次方程雖不可約卻是特殊形式，有解析解。通過相關(guān)求根公式以及數(shù)值檢驗(yàn)得到2*sin(2*pi/11)=0.1*(2*sqrt(11)+e3*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)+40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e2*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)-40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)+40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2+(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)-40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2)，ei=exp(2*i*pi*j/5), i=1,2,3,4。具體表達(dá)式：e1=(-1+sqrt(5)+sqrt(-10-2*sqrt(5)))/4;e2=(-1-sqrt(5)+sqrt(-10+2*sqrt(5)))/4;

e3=(-1-sqrt(5)-sqrt(-10+2*sqrt(5)))/4; e4=(-1+sqrt(5)-sqrt(-10-2*sqrt(5)))/4。化簡成三角函數(shù)的加減組合表達(dá)式：sin(2*pi/11)=0.1*sqrt(11)*(1-2*cos(0.2*arccos((109+25*sqrt(5))/484)+pi/5)+2*cos(0.2*arccos((109-25*sqrt(5))/484)))。這樣就能很清楚地指引11邊形的5等分角作圖。

?

第二種作法

1~6同第一種的前6步。

7.從點(diǎn)O出發(fā)，沿著x軸正方向作OM=6OP+4EU2-4EU1，則角OE1M=3*pi/11。翻倍后即得到3/11圓周。

原理：tan(3*pi/11)=sqrt(11)-4*sin(2*pi/11)=0.2*sqrt(11)*(3+4*cos(0.2*arccos((109+25*sqrt(5))/484)+pi/5)-4*cos(0.2*arccos((109-25*sqrt(5))/484)))

?

第三種作法

1.如下圖。作大圓O，半徑OE0=10，x軸方向。延長E1O作點(diǎn)A，OA=1。

2.再作半徑2*sqrt(11)的小圓O。從OE0截取線段OT=25*sqrt(5)/22。作圓T其半徑為89/22，同x軸左交點(diǎn)為U1、右交點(diǎn)U2。

3.從U1、U2引x軸垂線交小圓O上半弧于R1、R2。

4.作五分之一的角E0OR2再加上36度，得到角E0OS2，S2在小圓O弧上。作五分之一的角AOR1再加上36度，得角AOS1，S1也在小圓O弧上。

5.S1、S2在x軸投影為V1、V2，作線段AE=OV1+OV2，E在x軸上A點(diǎn)右側(cè)。

6.從E點(diǎn)引x軸垂線交大圓O于E1、E10，線段E1E0或E10E0即為大圓O內(nèi)接正11邊形邊長。

?

原理：2*cos(2*pi/11)是x^5+x^4-4*x^3-3*x^2+3*x+1=0的五個實(shí)數(shù)根最大者。而該五次方程是具有解析解的。其根最大者就是0.1*(-2-e3*(7832+2200*sqrt(5)+440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e2*(7832+2200*sqrt(5)-440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e3*(7832-2200*sqrt(5)+440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2-e2*(7832-2200*sqrt(5)-440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2)，e1~e4依次是輻角為2*pi/5~8*pi/5的4個5次單位根。cos(2*pi/11)可以簡寫為-0.1+2*sqrt(11)/5*(cos(0.2*arccos((89-25*sqrt(5))/(44*sqrt(11)))+pi/5)+cos(0.2*arccos((89+25*sqrt(5))/(44*sqrt(11)))+pi/5))。通過5等分角，可以構(gòu)造出長度為cos(0.2*arccos((89-25*sqrt(5))/(44*sqrt(11)))+pi/5)和cos(0.2*arccos((89-25*sqrt(5))/(44*sqrt(11)))+pi/5)的線段，并乘以2*sqrt(11)倍。二者之和減去1，即為10*cos(2*pi/11)。

其他作圖方法，歡迎大家交流！